1.5: Dimensionsanalyse
Lernziele
- Bestimmen Sie die Dimensionen eines mathematischen Ausdrucks mit physikalischen Größen.
- Bestimmen, ob eine Gleichung, die physikalische Größen einbezieht, dimensional konsistent ist.
Die Dimension einer beliebigen physikalischen Größe drückt ihre Abhängigkeit von den Basisgrößen als Produkt von Symbolen (oder Potenzen von Symbolen) aus, die die Basisgrößen darstellen. Die Tabelle \(\PageIndex{1}\) listet die Basisgrößen und die für ihre Dimension verwendeten Symbole auf. Zum Beispiel hat eine Längenmessung die Dimension L oder L1, eine Massenmessung hat die Dimension M oder M1 und eine Zeitmessung hat die Dimension T oder T1. Wie die Einheiten gehorchen auch die Dimensionen den Regeln der Algebra. So ist die Fläche das Produkt aus zwei Längen und hat somit die Dimension L2, also die Länge zum Quadrat. In ähnlicher Weise ist das Volumen das Produkt aus drei Längen und hat die Dimension L3, also Länge zum Quadrat. Die Geschwindigkeit hat die Dimension Länge über Zeit, L/T oder LT-1. Die volumetrische Massendichte hat die Dimension M/L3 oder ML-3, oder Masse über Länge kubisch. Im Allgemeinen kann die Dimension einer beliebigen physikalischen Größe geschrieben werden als
\
für einige Potenzen a, b, c, d, e, f und g. Wir können die Dimensionen einer Länge in dieser Form schreiben, wobei a = 1 ist und die restlichen sechs Potenzen alle gleich Null gesetzt werden:
| Basismenge | Symbol für Maß |
|---|---|
| Länge | L |
| Masse | M |
| Zeit | T |
| Strom | I |
| Thermodynamische Temperatur | (\Theta\) |
| Stoffmenge | N |
| Lichtstärke | J |
Physiker verwenden oft eckige Klammern um das Symbol für eine physikalische Größe, um die Abmessungen dieser Größe darzustellen. Wenn z. B. r der Radius eines Zylinders und h seine Höhe ist, dann schreiben wir = L und = L, um anzugeben, dass die Dimensionen des Radius und der Höhe beide die der Länge sind, oder L. Ähnlich, wenn wir das Symbol A für die Oberfläche eines Zylinders und V für sein Volumen verwenden, dann = L2 und = L3. Wenn wir das Symbol m für die Masse des Zylinders und \(\rho\) für die Dichte des Materials, aus dem der Zylinder besteht, verwenden, dann ist = M und = ML-3.
Die Bedeutung des Begriffs der Dimension ergibt sich aus der Tatsache, dass jede mathematische Gleichung, die physikalische Größen miteinander in Beziehung setzt, dimensionsmäßig konsistent sein muss, was bedeutet, dass die Gleichung den folgenden Regeln gehorchen muss:
- Jeder Term in einem Ausdruck muss die gleichen Dimensionen haben; es macht keinen Sinn, Mengen unterschiedlicher Dimension zu addieren oder zu subtrahieren (denken Sie an den alten Spruch: „Man kann nicht Äpfel und Birnen addieren“). Insbesondere müssen die Ausdrücke auf jeder Seite der Gleichheit in einer Gleichung die gleichen Dimensionen haben.
- Die Argumente aller mathematischen Standardfunktionen wie trigonometrische Funktionen (z. B. Sinus und Kosinus), Logarithmen oder Exponentialfunktionen, die in der Gleichung erscheinen, müssen dimensionslos sein. Diese Funktionen benötigen reine Zahlen als Eingaben und geben reine Zahlen als Ausgaben.
Wenn eine dieser Regeln verletzt wird, ist eine Gleichung nicht maßhaltig und kann unmöglich eine korrekte Aussage eines physikalischen Gesetzes sein. Diese einfache Tatsache kann verwendet werden, um Tipp- oder Algebra-Fehler zu überprüfen, um sich an die verschiedenen Gesetze der Physik zu erinnern und sogar um die Form vorzuschlagen, die neue physikalische Gesetze annehmen könnten. Diese letzte Verwendung von Dimensionen geht über den Rahmen dieses Textes hinaus, ist aber etwas, das Sie zweifellos später in Ihrer akademischen Laufbahn lernen werden.
Beispiel \(\PageIndex{1}\): Dimensionen verwenden, um sich eine Gleichung zu merken
Angenommen, wir brauchen die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises für eine Berechnung. Wie viele Leute, die Geometrie vor zu langer Zeit gelernt haben, um sich mit Sicherheit daran zu erinnern, kommen uns vielleicht zwei Ausdrücke in den Sinn, wenn wir an Kreise denken: \(\pi r^{2}\) und \(2 \pi r\). Der eine Ausdruck ist der Umfang eines Kreises mit dem Radius r und der andere ist seine Fläche. Aber welcher ist welcher?
Strategie
Eine natürliche Strategie ist es, nachzuschlagen, aber das kann dauern, um Informationen aus einer seriösen Quelle zu finden. Außerdem, selbst wenn wir denken, dass die Quelle seriös ist, sollten wir nicht alles glauben, was wir lesen. Es ist gut, eine Möglichkeit zu haben, alles noch einmal zu überprüfen, indem man einfach darüber nachdenkt. Außerdem könnten wir uns in einer Situation befinden, in der wir Dinge nicht nachschlagen können (z. B. während eines Tests). Die Strategie besteht also darin, die Dimensionen beider Ausdrücke zu finden, indem man die Tatsache ausnutzt, dass Dimensionen den Regeln der Algebra folgen. Wenn einer der beiden Ausdrücke nicht die gleichen Dimensionen wie der Flächeninhalt hat, dann kann es unmöglich die richtige Gleichung für den Flächeninhalt eines Kreises sein.
Lösung
Wir wissen, dass die Dimension des Flächeninhalts L2 ist. Nun ist die Dimension des Ausdrucks \(\pi r^{2}\)
= \cdotp ^{2} = 1 \cdotp L^{2} = L^{2},\]
da die Konstante \(\pi\) eine reine Zahl ist und der Radius r eine Länge. Daher hat \(\pi r^{2}\) die Dimension der Fläche. In ähnlicher Weise ist die Dimension des Ausdrucks \(2 \pi r\)
= \cdotp \cdotp = 1 \cdotp 1 \cdotp L = L,\]
da die Konstanten 2 und \(\pi\) beide dimensionslos sind und der Radius r eine Länge ist. Wir sehen, dass \(2 \pi r\) die Dimension einer Länge hat, was bedeutet, dass es unmöglich eine Fläche sein kann.
Wir schließen \(2 \pi r\) aus, weil es dimensionsmäßig nicht mit einer Fläche vereinbar ist. Wir sehen, dass \(\pi r^{2}\) dimensionsmäßig mit einer Fläche übereinstimmt. Wenn wir also zwischen diesen beiden Ausdrücken wählen müssen, ist \(\pi r^{2}\) derjenige, den wir wählen müssen.
Bedeutung
Dies mag wie ein albernes Beispiel erscheinen, aber die Ideen sind sehr allgemein. Solange wir die Dimensionen der einzelnen physikalischen Größen, die in einer Gleichung vorkommen, kennen, können wir prüfen, ob die Gleichung dimensionsmäßig konsistent ist. Auf der anderen Seite können wir, wenn wir wissen, dass wahre Gleichungen dimensional konsistent sind, Ausdrücke aus unserem unvollkommenen Gedächtnis den Größen zuordnen, für die sie Ausdruck sein könnten. Das hilft uns zwar nicht, uns an dimensionslose Faktoren zu erinnern, die in den Gleichungen vorkommen (wenn Sie z. B. die beiden Ausdrücke aus dem Beispiel versehentlich zu \(2 \pi r^{2}\) zusammengefasst haben, dann ist die Dimensionsanalyse keine Hilfe), aber es hilft uns, uns an die korrekte Grundform von Gleichungen zu erinnern.
Übung \(\PageIndex{2}\)
Ist die Gleichung v = at maßhaltig?
Antwort
Hier Texte einfügen. Löschen Sie diesen Text nicht vorher.
Ein weiterer Punkt, der erwähnt werden muss, ist die Auswirkung der Operationen des Kalküls auf Dimensionen. Wir haben gesehen, dass Dimensionen den Regeln der Algebra gehorchen, genau wie Einheiten, aber was passiert, wenn wir die Ableitung einer physikalischen Größe nach einer anderen nehmen oder eine physikalische Größe über eine andere integrieren? Die Ableitung einer Funktion ist einfach die Steigung der Linie, die ihren Graphen tangiert, und Steigungen sind Verhältnisse, so dass für physikalische Größen v und t gilt, dass die Dimension der Ableitung von v nach t einfach das Verhältnis der Dimension von v zu der von t ist:
= \frac{}{} \ldotp\]
Analog dazu, da Integrale nur Summen von Produkten sind, ist die Dimension des Integrals von v bezüglich t einfach die Dimension von v mal der Dimension von t:
= \cdotp \ldotp\]
Auf die gleiche Weise gelten analoge Regeln für die Einheiten von physikalischen Größen, die durch Integration oder Differenzierung von anderen Größen abgeleitet werden.
Mitwirkende und Zuschreibungen
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Samuel J. Ling (Truman State University), Jeff Sanny (Loyola Marymount University) und Bill Moebs mit vielen mitwirkenden Autoren. Dieses Werk ist lizenziert von OpenStax University Physics unter einer Creative Commons Attribution License (by 4.0).