Das Nyquist-Shannon-Theorem: Das Verständnis von abgetasteten Systemen

Die moderne Technik, wie wir sie kennen, würde ohne Analog-Digital-Wandlung und Digital-Analog-Wandlung nicht existieren. Tatsächlich sind diese Operationen so alltäglich geworden, dass es wie eine Binsenweisheit klingt, wenn man sagt, dass ein analoges Signal ohne nennenswerten Informationsverlust in ein digitales und wieder in ein analoges umgewandelt werden kann.

Aber woher wissen wir, dass dies tatsächlich der Fall ist? Warum ist die Abtastung ein nicht-destruktiver Vorgang, wenn sie so viel Signalverhalten zu verwerfen scheint, das wir zwischen den einzelnen Abtastungen beobachten?

Wie um alles in der Welt können wir mit einem Signal beginnen, das so aussieht:

Und es in dies digitalisieren:

Und dann zu behaupten wagen, das ursprüngliche Signal könne ohne Informationsverlust wiederhergestellt werden?

Das Nyquist-Shannon-Theorem

Eine solche Behauptung ist möglich, weil sie mit einem der wichtigsten Prinzipien der modernen Elektrotechnik übereinstimmt:

Wenn ein System ein analoges Signal gleichmäßig mit einer Rate abtastet, die die höchste Frequenz des Signals um mindestens den Faktor zwei übersteigt, kann das ursprüngliche analoge Signal aus den diskreten Werten, die durch die Abtastung erzeugt werden, perfekt wiederhergestellt werden.

Es gibt noch viel mehr, was über dieses Theorem gesagt werden muss, aber lassen Sie uns zuerst versuchen, herauszufinden, wie man es nennen soll.

Shannon? Nyquist? Kotelnikov? Whittaker?

Ich bin sicherlich nicht die Person, die entscheiden kann, wer das meiste Verdienst für die Formulierung, Demonstration oder Erklärung der Shannon-Nyquist-Kotelnikov-Whittaker-Theorie der Abtastung und Interpolation verdient. Alle vier genannten Personen waren in irgendeiner Form prominent beteiligt.

Es scheint jedoch, dass die Rolle von Harry Nyquist über seine ursprüngliche Bedeutung hinaus erweitert wurde. Zum Beispiel wird in Digital Signal Processing: Fundamentals and Applications von Tan und Jiang wird das oben genannte Prinzip als „Shannon Sampling Theorem“ bezeichnet, und in Microelectronic Circuits von Sedra und Smith finde ich den folgenden Satz: „Die Tatsache, dass wir unsere Verarbeitung auf einer begrenzten Anzahl von Abtastwerten durchführen können … während wir die Details des analogen Signals zwischen den Abtastwerten ignorieren, basiert auf … Shannons Abtasttheorem.“

Daher sollten wir es wahrscheinlich vermeiden, „das Nyquist-Abtasttheorem“ oder „Nyquists Abtasttheorie“ zu verwenden. Wenn wir einen Namen mit diesem Konzept assoziieren müssen, schlage ich vor, dass wir nur Shannon oder sowohl Nyquist als auch Shannon einbeziehen. Und vielleicht ist es sogar an der Zeit, zu etwas Anonymerem überzugehen, wie z. B. „Fundamentales Abtasttheorem“

Wenn Sie das etwas verwirrend finden, denken Sie daran, dass das oben genannte Abtasttheorem sich von der Nyquist-Rate unterscheidet, die später in diesem Artikel erklärt wird. Ich glaube nicht, dass irgendjemand versucht, Nyquist von seiner Rate zu trennen, so dass wir mit einem guten Kompromiss enden: Shannon bekommt das Theorem und Nyquist die Rate.

Abtasttheorie im Zeitbereich

Wenn wir das Abtasttheorem auf eine Sinuskurve der Frequenz fSIGNAL anwenden, müssen wir die Wellenform bei fSAMPLE ≥ 2fSIGNAL abtasten, wenn wir eine perfekte Rekonstruktion ermöglichen wollen. Eine andere Möglichkeit, dies zu sagen, ist, dass wir mindestens zwei Abtastungen pro Sinuszyklus benötigen. Versuchen wir zunächst, diese Anforderung zu verstehen, indem wir im Zeitbereich denken.

In der folgenden Darstellung wird die Sinuskurve mit einer Frequenz abgetastet, die viel höher ist als die Signalfrequenz.

Jeder Kreis repräsentiert einen Abtastzeitpunkt, d.h., einen genauen Zeitpunkt, an dem die analoge Spannung gemessen und in eine Zahl umgewandelt wird.

Um besser zu visualisieren, was uns dieses Abtastverfahren beschert hat, können wir die Abtastwerte einzeichnen und dann mit Geraden verbinden. Die im nächsten Plot gezeigte Geradenapproximation sieht genauso aus wie das Originalsignal: Die Abtastfrequenz ist sehr hoch im Verhältnis zur Signalfrequenz, und folglich unterscheiden sich die Liniensegmente nicht merklich von den entsprechenden gekrümmten Sinussegmenten.

Wenn wir die Abtastfrequenz reduzieren, weicht das Aussehen der Geradenapproximation vom Original ab.

20 Stichproben pro Zyklus (fSAMPLE = 20fSIGNAL)

10 Stichproben pro Zyklus (fSAMPLE = 10fSIGNAL)

5 Samples pro Zyklus (fSAMPLE = 5fSIGNAL)

Bei fSAMPLE = 5fSIGNAL, ist die zeitdiskrete Wellenform nicht mehr eine ansprechende Darstellung der zeitkontinuierlichen Wellenform. Beachten Sie jedoch, dass wir die Frequenz der zeitdiskreten Wellenform immer noch deutlich erkennen können. Die zyklische Natur des Signals ist nicht verloren gegangen.

Der Schwellwert: Zwei Samples pro Zyklus

Die durch die Abtastung erzeugten Datenpunkte behalten weiterhin die zyklische Natur des analogen Signals, wenn wir die Anzahl der Samples pro Zyklus unter fünf verringern. Irgendwann erreichen wir jedoch einen Punkt, an dem die Frequenzinformation verfälscht wird. Betrachten Sie die folgende Darstellung:

2 Samples pro Zyklus (fSAMPLE = 2fSIGNAL)

Bei fSAMPLE = 2fSIGNAL ist die Sinusform komplett verschwunden. Dennoch hat die durch die abgetasteten Datenpunkte erzeugte Dreieckswelle die grundlegende zyklische Natur der Sinuskurve nicht verändert. Die Frequenz der Dreieckswelle ist identisch mit der Frequenz des ursprünglichen Signals.

Sobald wir jedoch die Abtastfrequenz so weit reduzieren, dass es weniger als zwei Abtastungen pro Zyklus gibt, kann diese Aussage nicht mehr getroffen werden. Zwei Abtastungen pro Zyklus für die höchste Frequenz in der ursprünglichen Wellenform sind daher ein wichtiger Schwellenwert in Mixed-Signal-Systemen, und die entsprechende Abtastfrequenz wird als Nyquist-Rate bezeichnet:

Wenn wir ein analoges Signal mit einer Frequenz abtasten, die niedriger ist als die Nyquist-Rate, können wir das ursprüngliche Signal nicht perfekt rekonstruieren.

Die nächsten beiden Diagramme zeigen den Verlust der zyklischen Äquivalenz, der auftritt, wenn die Abtastfrequenz unter die Nyquist-Rate fällt.

2 Samples pro Zyklus (fSAMPLE = 2fSIGNAL)

1.9 Samples pro Zyklus (fSAMPLE = 1.9fSIGNAL)

Bei fSAMPLE = 1.9fSIGNAL hat die zeitdiskrete Wellenform ein grundlegend neues zyklisches Verhalten angenommen. Die vollständige Wiederholung des abgetasteten Musters erfordert mehr als einen Sinuszyklus.

Der Effekt einer unzureichenden Abtastfrequenz ist jedoch bei 1,9 Samples pro Zyklus etwas schwierig zu interpretieren. Die nächste Darstellung macht die Situation deutlicher.

1,1 Samples pro Zyklus (fSAMPLE = 1.1fSIGNAL)

Wenn Sie nichts über eine Sinuskurve wüssten und eine Analyse mit der zeitdiskreten Wellenform durchführen würden, die sich aus der Abtastung bei 1,1fSIGNAL ergibt, würden Sie sich ernsthaft falsche Vorstellungen über die Frequenz des ursprünglichen Signals machen. Wenn Sie nur die diskreten Daten haben, ist es außerdem unmöglich zu wissen, dass die Frequenzcharakteristik verfälscht wurde. Die Abtastung hat eine neue Frequenz erzeugt, die im ursprünglichen Signal nicht vorhanden war, aber Sie wissen nicht, dass diese Frequenz nicht vorhanden war.

Das Fazit ist folgendes: Wenn wir bei Frequenzen unterhalb der Nyquist-Rate abtasten, gehen Informationen dauerhaft verloren, und das ursprüngliche Signal kann nicht perfekt rekonstruiert werden.