1.5: Análisis dimensional
Objetivos de aprendizaje
- Hallar las dimensiones de una expresión matemática que involucra cantidades físicas.
- Determinar si una ecuación que involucra cantidades físicas es dimensionalmente consistente.
La dimensión de cualquier cantidad física expresa su dependencia de las cantidades base como un producto de símbolos (o potencias de símbolos) que representan las cantidades base. La tabla \ (\PageIndex{1}) enumera las magnitudes base y los símbolos utilizados para su dimensión. Por ejemplo, una medida de longitud se dice que tiene dimensión L o L1, una medida de masa tiene dimensión M o M1, y una medida de tiempo tiene dimensión T o T1. Al igual que las unidades, las dimensiones obedecen a las reglas del álgebra. Así, el área es el producto de dos longitudes y, por tanto, tiene la dimensión L2, o longitud al cuadrado. Del mismo modo, el volumen es el producto de tres longitudes y tiene la dimensión L3, o longitud al cubo. La velocidad tiene la dimensión longitud sobre tiempo, L/T o LT-1. La densidad volumétrica de la masa tiene la dimensión M/L3 o ML-3, o la masa sobre la longitud al cubo. En general, la dimensión de cualquier cantidad física puede escribirse como
para algunas potencias a, b, c, d, e, f y g. Podemos escribir las dimensiones de una longitud de esta forma con a = 1 y las seis potencias restantes todas iguales a cero:
| Cantidad base | Símbolo de la dimensión |
|---|---|
| Longitud | L | Masa | M |
| Hora | T |
| Actualidad | I | Temperatura termodinámica | (\\ Theta\) |
| Cantidad de sustancia | N | Intensidad luminosa | J |
Los físicos suelen utilizar corchetes alrededor del símbolo de una cantidad física para representar las dimensiones de dicha cantidad. Por ejemplo, si r es el radio de un cilindro y h es su altura, entonces escribimos = L y = L para indicar que las dimensiones del radio y la altura son ambas las de la longitud, o L. De forma similar, si utilizamos el símbolo A para la superficie de un cilindro y V para su volumen, entonces = L2 y = L3. Si utilizamos el símbolo m para la masa del cilindro y \(\rho\) para la densidad del material del que está hecho el cilindro, entonces = M y = ML-3.
La importancia del concepto de dimensión surge del hecho de que cualquier ecuación matemática que relacione cantidades físicas debe ser dimensionalmente consistente, lo que significa que la ecuación debe obedecer las siguientes reglas:
- Cada término de una expresión debe tener las mismas dimensiones; no tiene sentido sumar o restar cantidades de diferente dimensión (pensemos en el viejo dicho: «No se pueden sumar manzanas y naranjas»). En particular, las expresiones a cada lado de la igualdad en una ecuación deben tener las mismas dimensiones.
- Los argumentos de cualquiera de las funciones matemáticas estándar, como las funciones trigonométricas (como el seno y el coseno), los logaritmos o las funciones exponenciales que aparecen en la ecuación deben ser adimensionales. Estas funciones requieren números puros como entradas y dan números puros como salidas.
-
Samuel J. Ling (Truman State University), Jeff Sanny (Loyola Marymount University), y Bill Moebs con muchos autores colaboradores. Esta obra está licenciada por OpenStax University Physics bajo una Licencia de Atribución de Creative Commons (por 4.0).
Si se viola alguna de estas reglas, una ecuación no es dimensionalmente consistente y no puede ser un enunciado correcto de la ley física. Este simple hecho puede utilizarse para comprobar si hay errores tipográficos o de álgebra, para ayudar a recordar las distintas leyes de la física e incluso para sugerir la forma que podrían adoptar las nuevas leyes de la física. Este último uso de las dimensiones está más allá del alcance de este texto, pero es algo que sin duda aprenderá más adelante en su carrera académica.
Ejemplo \(\PageIndex{1}\a): Usar las dimensiones para recordar una ecuación
Supongamos que necesitamos la fórmula del área de un círculo para algún cálculo. Al igual que muchas personas que aprendieron geometría hace demasiado tiempo como para recordarlo con certeza, dos expresiones pueden venir a nuestra mente cuando pensamos en círculos: \ (\pi r^{2}\) y \ (2 \pi r\). Una expresión es la circunferencia de un círculo de radio r y la otra es su área. Pero, ¿cuál es cuál?
Estrategia
Una estrategia natural es buscarlo, pero esto podría llevar tiempo para encontrar información de una fuente fiable. Además, aunque pensemos que la fuente es reputada, no debemos confiar en todo lo que leemos. Es bueno tener una manera de hacer una doble comprobación con sólo pensarlo. Además, es posible que nos encontremos en una situación en la que no podamos buscar las cosas (por ejemplo, durante un examen). Por lo tanto, la estrategia consiste en encontrar las dimensiones de ambas expresiones haciendo uso del hecho de que las dimensiones siguen las reglas del álgebra. Si alguna de las dos expresiones no tiene las mismas dimensiones que el área, entonces no es posible que sea la ecuación correcta del área de un círculo.
Solución
Sabemos que la dimensión del área es L2. Ahora bien, la dimensión de la expresión \(\pi r^{2}\) es
= \cdotp ^{2} = 1 \cdotp L^{2} = L^{2},\]
ya que la constante \(\pi\) es un número puro y el radio r es una longitud. Por tanto, \(\pi r^{2}\) tiene la dimensión de área. Análogamente, la dimensión de la expresión \(2 \pi r\) es
es = \cdotp \cdotp = 1 \cdotp 1 \cdotp L = L,\]
ya que las constantes 2 y \(\pi\) son ambas adimensionales y el radio r es una longitud. Vemos que \(2 \pi r\) tiene la dimensión de longitud, lo que significa que no es posible que sea un área.
Descartamos \(2 \pi r\) porque no es dimensionalmente consistente con ser un área. Vemos que \(\pi r^{2}\️) es dimensionalmente consistente con ser un área, por lo que si tenemos que elegir entre estas dos expresiones, \(\pi r^{2}\️) es la que hay que elegir.
Significado
Esto puede parecer un ejemplo un poco tonto, pero las ideas son muy generales. Siempre que conozcamos las dimensiones de las cantidades físicas individuales que aparecen en una ecuación, podemos comprobar si la ecuación es dimensionalmente consistente. Por otra parte, sabiendo que las ecuaciones verdaderas son dimensionalmente consistentes, podemos hacer coincidir las expresiones de nuestra memoria imperfecta con las cantidades para las que podrían ser expresiones. Hacer esto no nos ayudará a recordar los factores adimensionales que aparecen en las ecuaciones (por ejemplo, si accidentalmente habías confundido las dos expresiones del ejemplo en \(2 \pi r^{2}\), entonces el análisis dimensional no es de ayuda), pero sí nos ayuda a recordar la forma básica correcta de las ecuaciones.
¿Es la ecuación v = at dimensionalmente consistente?
Responde
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Un punto más que hay que mencionar es el efecto de las operaciones de cálculo sobre las dimensiones. Hemos visto que las dimensiones obedecen a las reglas del álgebra, al igual que las unidades, pero ¿qué ocurre cuando tomamos la derivada de una magnitud física respecto a otra o integramos una magnitud física sobre otra? La derivada de una función no es más que la pendiente de la recta tangente a su gráfica y las pendientes son cocientes, por lo que para las magnitudes físicas v y t, tenemos que la dimensión de la derivada de v respecto a t no es más que el cociente de la dimensión de v sobre la de t:
= \frac{}{} \ldotp]
De forma similar, dado que las integrales son sólo sumas de productos, la dimensión de la integral de v con respecto a t es simplemente la dimensión de v por la dimensión de t:
\ = \cdotp \ldotp]
Por el mismo razonamiento, reglas análogas valen para las unidades de las cantidades físicas derivadas de otras cantidades por integración o diferenciación.