Notas sobre la presión hidrostática
En primer lugar se considera el caso básico de un fluido estancado, donde sólo se consideran significativas las fuerzas de peso y presión. Se define un sistema de coordenadas (x, y, z) donde el eje vertical z apunta hacia arriba. Aquí, la presión absoluta p es, por definición, hidrostática, es decir, \(p=p_{mathrm{h}}.\) Llamando \(\rho \) a la densidad local del fluido y g a la aceleración de la gravedad, un balance de fuerzas verticales sobre un elemento del fluido arroja el conocido resultado:
El lado izquierdo es en realidad una derivada exacta ya que p también se encuentra independiente de las coordenadas horizontales. En situaciones prácticas cuando la densidad del fluido es uniforme, la Ec. (1) da como resultado
En esta etapa, \a(p_{0}\a) es simplemente una constante de integración clave para una elección de origen para el eje z.
Para cualquier función del espacio (campo) f definida en un volumen cerrado V delimitado por la superficie S, el teorema de la divergencia de Gauss establece que
donde el signo menos en el lado izquierdo indica que la normal \({\vec {n}}) a S apunta hacia dentro, y \nabla f\) es el gradiente de f. Cuando \(f=p\), el lado derecho representa la fuerza de presión ejercida por el fluido sobre el cuerpo.
Consideremos un cuerpo de volumen \({{mathcal {V}}_{mathrm{w}}) completamente sumergido en agua (densidad \(\rho _{mathrm{w}})\N.) Cuando se aplica la ecuación (3) en este caso con \(f=p), se determina la componente vertical (no nula) de la fuerza de presión hidrostática \(F_{mathrm{w}} y se obtiene el conocido resultado de Arquímedes \(F_{mathrm{w} ={rho _{mathrm{w} g{{mathcal {V}_{mathrm{w}}). En el caso de los cuerpos flotantes, el volumen sumergido {{mathcal {V}_{mathrm{w}} está limitado no sólo por el área mojada {{mathcal {S}_{mathrm{w}}, como antes, sino también por el área del plano de agua {{mathcal {S}_{0}}. Esto sugiere una elección natural para el origen del eje z en la superficie del agua; en consecuencia, \(p_{0}\) es la presión atmosférica (al «nivel del agua»). En este caso, el teorema de la divergencia da como resultado
Con \(p_{0}\) aproximadamente un orden de magnitud mayor que \(\rho _{mathrm{w} g\), parece difícil o arbitrario ignorar simplemente el término derivado de las fuerzas de presión que se ejercerían sobre \({{mathcal {S}}_{0}}) (en general, \({{mathcal {S}}_{0}}) no es un límite físico a menos que el cuerpo flote exactamente inundado con la superficie del agua). Para resolver la cuestión, también se puede considerar la superficie seca del cuerpo \ {{mathcal {S}_{mathrm{A}}). Con poca pérdida de generalidad, se puede considerar que el cuerpo es convexo, con un volumen seco \({{mathcal {V}_\mathrm{A}}) delimitado por \({{mathcal {S}_{mathrm{A}}) y \({{mathcal {S}_{0}}). En este caso, el volumen total es \ {{mathcal {V}}={mathcal {V}}_{mathrm{w}} +{mathcal {V}}_{mathrm{A}}, como se ilustra en la Fig. 1. Siempre que la densidad del aire \(\rho _\mathrm{A}\) no varíe mucho, la presión del aire puede escribirse como \(p_\mathrm{A}=p_0-\rho _\mathrm{A}gz\). El teorema de la divergencia puede aplicarse al volumen seco para determinar la fuerza de presión vertical (F_{mathrm{A}) ejercida por el aire sobre el cuerpo:
Se deduce que la fuerza vertical global del fluido F es igual a
El momento ejercido por fuerzas de presión del fluido alrededor del origen es
donde \({\vec {r}}) es el vector de posición. Después de expandir los productos cruzados y expresar la presión mediante la Ec. (2) tanto en el agua como en el aire, es sencillo demostrar que, aplicando el teorema de divergencia de Gauss, sólo las integradas que contienen \(zn_{z}\) contribuyen con términos distintos de cero. Más concretamente, obtenemos
Let \(C_{\mathrm{w}}=(x_{{mathrm{w}},y_{\mathrm{w}},z_{\mathrm{w}})\) and \(C_\mathrm{A}=(x_\mathrm{A},y_\mathrm{A},z_\mathrm{A})\} son los centroides de volumen de \({{mathcal {V}}_{mathrm{w}}) y \({{mathcal {V}}_{mathrm{A}}), respectivamente. La aplicación de la Ec. (3) con \(f =yz\) y \(f=xz\) conduce a la siguiente forma final:
Debido a que \rho _\mathrm{A}ll \rho _{mathrm{w}}, por casi tres órdenes de magnitud, los términos que surgen de las fuerzas de presión del aire pueden ser despreciados en las Ecs. (6) y (7) siempre que \ {{mathcal {V}_\mathrm{A}\}) no sea mucho mayor que \ {{mathcal {V}_\mathrm{w}}. Aquí, las fórmulas hidrostáticas tradicionales para un cuerpo flotante se derivan sin hacer ninguna suposición sobre \(p_{0},\}), sino invocando el hecho de que la densidad del aire es mucho menor que la del agua. De hecho, \(p_{0}\) no aparece explícitamente en los resultados anteriores. Además, el caso de los cuerpos sumergidos se recupera si establecemos \(\rho _\mathrm{A}=\rho _{mathrm{w}} \rho) en las Ecs. (6) y (7).
Diagrama esquemático para la aplicación del teorema de divergencia de Gauss al campo de presión hidrostática que rodea a un cuerpo convexo a flote en un fluido estancado
Con cuerpos flotantes cóncavos, para los cuales \({{mathcal {V}}={mathcal {V}_{mathrm{w}} -{mathcal {V}_{mathrm{A}}), se puede seguir un enfoque similar. Estas geometrías son quizás más representativas de los cascos de los barcos. Los resultados se dan a continuación, pero se omiten los detalles:
En lo que sigue, se desprecia \N(\rho _\mathrm{A}ll \rho _{mathrm{w}}), y como se ha demostrado que las fuerzas globales del fluido sobre el cuerpo son independientes de \N(p_{0}\N), \N(p_{0}\Ntambién puede fijarse en 0.
Hay que tener en cuenta que muchos libros de texto habituales de arquitectura naval recogen el Principio de Arquímedes como punto de partida para el estudio de la estabilidad de los buques, sin expresar explícitamente la presión hidrostática ni resolver las fuerzas hidrostáticas aplicadas sobre los cuerpos sumergidos o flotantes (por ejemplo, Gillmer y Jonhson 1982; Lewis 1988; Zubaly 1996; Tupper 2004). A veces, \(p_{0}\) se fija implícitamente en cero, como en Newman (1977), donde la presión atmosférica se considera formalmente al derivar los potenciales de oleaje (es decir, la ecuación (3), p. 239), pero se omite posteriormente al tratar las respuestas de los cuerpos en las olas (es decir, la ecuación (129), p. 289). Otros autores reconocen que \(p_{0}\a también actúa sobre la superestructura de un cuerpo flotante; afirman (Molin 2002) o demuestran en una forma simple (Biran 2003) que \(p_{0}\a) no da lugar a ninguna fuerza neta en todo el cuerpo y, por lo tanto, puede establecerse en cero. Semyonov-Tyan-Shansky (1966) destaca por proporcionar una derivación precisa de la Ec. (8) en el caso práctico de cuerpos flotantes cóncavos y delgados similares a los cascos de los barcos \({({\mathcal {V}}_\mathrm{w} ={\mathcal {V}_\mathrm{A} )}\), que conduce a la Ecuación (4.17), p. 19.
Cuando un cuerpo flotante se desplaza verticalmente a lo largo de una distancia Z (sin perturbar el fluido), la fuerza vertical cambia en una cantidad igual a \({\delta F_{mathrm{w} =\rho _{mathrm{w} g\delta {\mathcal {V}_{mathrm{w}} \), donde el volumen incremental (algebraico) sumergido \ {\delta {\mathcal {V}_{mathrm{w}}) está delimitado por las superficies \ {{mathcal {S}{0},{\mathcal {S}{1}) y \ {{mathcal {S}}{registro}}, como se ilustra en la Fig. 2. Obsérvese que si Z es pequeño, la integral de las fuerzas de presión hidrostática sobre \({{mathcal {S}_{mathrm{ring}}) es de orden \(Z^{2}\) y puede despreciarse; en este caso, la única contribución no nula a la fuerza vertical incremental es igual a \ {-\rho _{mathrm{w}}g{\mathcal {S}_{0}Z}\), un resultado bien conocido para la fuerza de restauración hidrostática en el análisis linealizado del movimiento de los cuerpos flotantes. Aunque esos resultados son bastante obvios, el caso de cuerpos flotantes desplazados verticalmente en un fluido estancado se consideró principalmente para destacar el hecho de que el efecto de un campo de ondas sobre la presión hidrostática es fundamentalmente diferente del efecto del movimiento del cuerpo.
Diagrama esquemático para la aplicación del teorema de divergencia de Gauss al campo de presión hidrostática que rodea a un cuerpo desplazado verticalmente a flote en un fluido estancado