Números_infinitos – Números grandes

N0

aleph-null

También se conoce coloquialmente como infinito. En la teoría de los transfinitos de Cantor se conoce como aleph-null cuando se trata como un número cardinal, y omega cuando se trata como un número ordinal. En un sentido informal, todos estos conceptos son iguales, pero hay que hacer importantes distinciones técnicas. El infinito en el cálculo se refiere a una cantidad real que aumenta sin límite. No es tanto un número como una forma de expresar el comportamiento de un límite. omega se refiere al orden-tipo del conjunto de enteros no negativos. Aleph-null, en cambio, se define como la cardinalidad del conjunto de enteros positivos. En términos sencillos, Aleph-null es el «número» de los números. El problema es que el conjunto de números enteros positivos representa todas las cosas que podemos contar. Sin embargo, no puede contarse a sí mismo. Entonces, ¿es el «número» de los números un número? Cantor pensaba que sí. En cierto modo, podemos tratar el aleph-null como un número, ya que podemos compararlo con otros números y determinar cuál es mayor. Utilizando el concepto de correspondencia uno a uno, Cantor demostró que podemos decir racionalmente que el aleph-null es mayor que cualquier número entero positivo, aunque la opinión predominante hasta entonces era que el infinito no era un número y no podía compararse de esta manera. Pero aceptar este punto de vista nos lleva a algunas anomalías de la mente. Utilizando la correspondencia uno a uno podemos demostrar que hay tantos números pares, cuadrados, cubos, etc. como enteros positivos, a pesar de que todos ellos son subconjuntos de los enteros positivos. Esto viola el principio de que el «todo es siempre mayor que cualquier parte propia del todo». Así que aleph-null es un número tal que una parte propia del mismo sigue siendo igual de grande… desconcertante. Al trabajar con números finitos entendemos implícitamente la exclusividad de «mayor» frente a «igual». Un número no puede ser ambas cosas. Por lo tanto, cuando una correspondencia particular muestra que un conjunto finito tiene más que otro conjunto finito, sabemos que no puede existir ninguna correspondencia que muestre que son iguales. No es el caso de los conjuntos infinitos. Incluso si tenemos una correspondencia que muestra que uno es mayor que el otro, no significa necesariamente que no exista una correspondencia que muestre que son iguales. En el universo cantoriano de los cardinales, para que un infinito sea realmente mayor que otro infinito hay que demostrar que «no existe NINGUNA correspondencia uno a uno». Como debe haber un número infinito de tales correspondencias, comprobar cada una de ellas individualmente no es una opción. Es necesario presentar una prueba que demuestre la imposibilidad de tal correspondencia. Se podría suponer que todos los infinitos son esencialmente iguales y que se pueden poner en correspondencia uno a uno entre ellos. Sin embargo, lo sorprendente que hizo Cantor fue demostrar que había infinitos que no podían ponerse en correspondencia uno a uno con el aleph-null. Así, Cantor demostró que no había un infinito… sino una infinidad de infinitos… (Ver aleph-uno). Este es el paraíso de Cantor, o la pesadilla, dependiendo de su perspectiva.

w+1

omega y uno

Este es el número ordinal más pequeño después de «omega». Informalmente podemos pensar en esto como el infinito más uno. Una formulación de los ordinales es tratarlos como conjuntos de todos los ordinales más pequeños. Para decir que omega y uno es «más grande» que «omega» definimos que un ordinal es más grande que otro si el ordinal más pequeño está incluido en el conjunto del más grande. El conjunto w+1 sería {w,0,1,2,3,…}. Estaría compuesto por todos los enteros no negativos más omega. Por tanto, w+1, según esta definición, es mayor. Sin embargo, como la cardinalidad de todo ordinal está representada por la cardinalidad de su conjunto, también podemos demostrar que en cierto sentido w = w+1, ya que w={0,1,2,3,…} y w+1={w,0,1,2,…} podemos emparejar los argumentos como: {(0,w),(1,0),(2,1),(3,2),…}, lo que demuestra que ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos, aunque w+1 incluye uno más. ¿Estás confundido? Básicamente, hay dos formas de ver la comparación de infinitos: la visión cardinal y la visión ordinal. Según el punto de vista ordinal, omega y uno son mayores, según el punto de vista cardinal, omega y omega más uno son la misma cosa. Los cardinales no juegan un papel importante en la googología, pero los ordinales contables sí. Así que para nuestros propósitos la distinción entre w y w+1 es importante.

w+2

omega y dos

Así como podemos extender los números grandes arbitrariamente, podemos hacer lo mismo con el ordinal w. Sólo hay que pensar en «w» como un número MUY grande. Así que podemos añadirle uno, o dos, o tener …

2w

dos omega

2w+1

dos omega y uno

2w+2

dos omega y dos

3w

tres omega

w2

omega al cuadrado

w2+1

omega al cuadrado y uno

w2+w

omega al cuadrado y omega

w2+w+1

omega al cuadrado, omega y uno

2w2

dos omega al cuadrado

w3

omega al cubo

ww

φ(w,0)

omega al omega

ww^w

omega al omega al omega

ε0

φ(0,1)

epsilon-cero

Cantor dio a este ordinal el nombre especial de epsilon-cero. ¿Qué es? Es el ordinal más pequeño y más grande que cualquier ordinal que pueda ser «nombrado» utilizando la suma, la multiplicación y la exponenciación con el símbolo w. En otras palabras:

e0 = lim{w,w^w,w^w^w,w^w^w,…}

En otras palabras, e0 = w^w^w^… donde hay omega w’s. Se puede definir como el menor ordinal «a», tal que a=w^a. Esto implica que e0=w^e0. Qué raro. También es igual a phi(0,1) en la jerarquía de puntos fijos de Veblen.

¡Informalmente se puede pensar en ella como una torre de potencia infinita de infinitos! También se puede llamar informalmente w^^w.

Este ordinal es realmente importante para nosotros ya que representa el tamaño de las matrices tetracionales de Jonathan Bowers. Las matrices tetracionales de Bowers no sólo tienen una aridad exacta de épsilon-cero (una matriz tetracional está bien definida siempre que sólo un número finito de entradas sea mayor que 1. El resto son todas iguales a 1 por defecto. Si utilizamos los ordinales para contar todas las entradas en el espacio tetracional, hay exactamente entradas épsilon-cero), pero la función épsilon-cero de la jerarquía de crecimiento rápido tiene una tasa de crecimiento equivalente a la de las matrices tetracionales. Epsilon-cero también representa un impasse importante. Hasta este punto, la notación es bastante natural, y existe un acuerdo básicamente universal sobre cómo «nombrar» los ordinales menores que épsilon-cero y cómo determinar cuál de dos ordinales cualesquiera es mayor. Sin embargo, a partir de épsilon-cero empezamos a tener problemas. Hay al menos dos formas diferentes de seguir nombrando los ordinales, y ciertas expresiones son difíciles de interpretar, como w^^(w+1). El hecho es que nos vemos obligados a tomar ciertas decisiones sobre la notación después de este punto, y ninguna de ellas se deduce de forma tan natural como hasta épsilon-cero. Sin embargo, existe una extensión ampliamente aceptada conocida como la jerarquía de Veblen. Desgraciadamente, esta extensión es radicalmente diferente de la extensión de Bowers a los ordinales pentacionales y más allá. Es una cuestión abierta cómo convertir los ordinales de Bowers en ordinales de Veblen.

ε0+1

epsilon-cero y uno

¿Qué es tan difícil de continuar…? Bueno, por supuesto, siempre podemos añadir uno en el sistema de ordinales, al igual que hacemos con los números finitos (esto sugiere que NO hay un ordinal más grande, al igual que no hay un número entero más grande). El problema no es tanto añadir uno. Es lo que ocurre cuando continuamos más adelante…

w^(ε0+1) / w*ε0

omega al épsilon-cero y uno / omega épsilon-cero

Aquí nos encontramos con uno de nuestros primeros problemas, aunque hay que reconocer que es bastante menor. Hay más de una notación ordinal posible que podríamos utilizar. En la primera versión estamos construyendo una pila de omegas, en la segunda una pila de épsilon-zeros. Verás lo que quiero decir a medida que continuemos

w^w^(ε0+1) / ε0^w

omega al omega al épsilon-cero y uno / épsilon-cero al omega

A pesar de que tenemos al menos dos formas diferentes de escribir ordinales después de épsilon-cero, la buena noticia es que no es demasiado difícil hasta este punto crear una correspondencia entre ellos. Es decir, podemos convertir una notación a la otra y así comparar los ordinales en ambos sistemas y determinar cuál es mayor. La clave de esta conversión es la definición e0=w^e0. Usando esto podemos convertir la primera forma en la segunda como sigue:

w^w^(e0+1) = w^(w*w^e0) = (w^w^e0)^w = (w^e0)^w = e0^w

Hay que acostumbrarse a esto, pero w^e0 es simplemente e0, mientras que w^(e0+1) > e0. De hecho es peor que eso porque e0 = w^e0 = w^w^e0 = w^w^w^e0 = … etc.

ε0^ε0

epsilon-cero al epsilon-cero

Este es un ordinal genial. Esto es el épsilon-cero elevado al épsilon-cero. ¿Qué es esto en la forma normalizada de Cantor? Veamos (recuerda que e0=w^e0):

e0^e0 = (w^e0)^e0 = w^(e0*e0) = w^(w^e0*w^e0) = w^w^(2e0)

Raro. Aun así, parece que los ordinales después de épsilon-cero se comportan bien hasta ahora. Sin embargo, ¿cuál es el límite de extender e0 usando la exponenciación?

ε1

φ(1,1)

epsilon-one

Epsilon-one es el siguiente gran paso en la jerarquía de puntos fijos de Veblen. El épsilon-uno puede definirse como el ordinal más pequeño que cualquier ordinal expresable utilizando sólo la suma, la multiplicación y la exponenciación en los ordinales «w» y «e0». Una forma de definirlo es:

e1 = lim{e0+1,w^(e0+1),w^w^(e0+1),w^w^w^(e0+1),…}

Ahora que has visto esto probablemente puedas adivinar lo que ocurre a continuación….

ε2

φ(2,1)

epsilon-dos

Epsilon-dos es el límite de las expresiones que utilizan w,e0 y e1:

e2 = lim{e1+1,w^(e1+1),w^w^(e1+1),…}

εw

φ(w,1)

epsilon-omega

Ahora que hemos establecido una regla general podemos continuar con cualquier índice ordinal de epsilon … incluyendo infinitos ordinales. YIKES …

εw^w

φ(w^w,1)

epsilon-omega-a-omega

εe0

φ(φ(0,1),1)

epsilon-epsilon-cero

εe(e0)

φ(φ(φ(0,1),1),1)

epsilon-epsilon-cero

εe(e(e(…

φ(0,2)

Ordinal límite de Epsilon / zeta-minor-naught

Aquí llegamos al límite de la idea de «números Epsilon». Este ordinal se denomina a veces zeta-naught. Sin embargo, he evitado usar esta notación aquí, porque he reservado zeta-naught para el hipotético ordinal w^^w. Es dudoso que este ordinal sea tan grande. Aun así, es un ordinal bastante bueno. Suele ser el ordinal más grande que se menciona en una discusión popular sobre los ordinales transfinitos de Cantor. Eso es probablemente porque después de esto, necesitamos desarrollar un medio más generalizado para continuar y se vuelve mucho menos natural y más técnico. La mayoría de los autores considerarían esto suficiente como una introducción a los ordinales de Cantor. Después de esto empieza a ser algo académico…