Proyección Mercator

Modelo esférico

Aunque la superficie de la Tierra se modela mejor mediante un elipsoide oblato de revolución, para los mapas a pequeña escala el elipsoide se aproxima mediante una esfera de radio a. Existen muchos métodos diferentes para calcular a. Los más sencillos incluyen (a) el radio ecuatorial del elipsoide, (b) la media aritmética o geométrica de los semiejes del elipsoide, y (c) el radio de la esfera que tiene el mismo volumen que el elipsoide. El rango de a entre las posibles opciones es de unos 35 km, pero para aplicaciones a pequeña escala (región grande) esta variación puede ignorarse, y pueden tomarse valores medios de 6.371 km y 40.030 km para el radio y la circunferencia respectivamente. Estos son los valores utilizados para los ejemplos numéricos de las secciones posteriores. Sólo la cartografía de alta precisión en mapas de gran escala requiere un modelo elipsoidal.

Proyecciones cilíndricasEditar

La aproximación esférica de la Tierra con radio a puede ser modelada por una esfera más pequeña de radio R, llamada globo terráqueo en esta sección. El globo terráqueo determina la escala del mapa. Las distintas proyecciones cilíndricas especifican cómo se transfiere el detalle geográfico desde el globo a un cilindro tangente a él en el ecuador. A continuación, el cilindro se desenrolla para obtener el mapa plano. La fracción R/a se denomina fracción representativa (RF) o escala principal de la proyección. Por ejemplo, un mapa de Mercator impreso en un libro puede tener una anchura ecuatorial de 13,4 cm que corresponde a un radio del globo de 2,13 cm y una RF de aproximadamente 1/300M (M se utiliza como abreviatura de 1.000.000 al escribir una RF) mientras que el mapa original de Mercator de 1569 tiene una anchura de 198 cm que corresponde a un radio del globo de 31.5 cm y una RF de aproximadamente 1/20M.

Una proyección cartográfica cilíndrica se especifica mediante fórmulas que vinculan las coordenadas geográficas de latitud φ y longitud λ a coordenadas cartesianas en el mapa con origen en el ecuador y eje x a lo largo del ecuador. Por construcción, todos los puntos del mismo meridiano se encuentran en la misma generatriz del cilindro a un valor constante de x, pero la distancia y a lo largo de la generatriz (medida desde el ecuador) es una función arbitraria de la latitud, y(φ). En general, esta función no describe la proyección geométrica (como la de los rayos de luz sobre una pantalla) desde el centro del globo al cilindro, que es sólo una de las ilimitadas formas de proyectar conceptualmente un mapa cilíndrico.

Dado que el cilindro es tangente al globo en el ecuador, el factor de escala entre el globo y el cilindro es la unidad en el ecuador pero en ningún otro lugar. En particular, dado que el radio de un paralelo, o círculo de latitud, es R cos φ, el paralelo correspondiente en el mapa debe haber sido estirado por un factor de 1/cos φ = sec φ. Este factor de escala en el paralelo se denota convencionalmente por k y el factor de escala correspondiente en el meridiano se denota por h.

Geometría de los elementos pequeñosEditar

Las relaciones entre y(φ) y las propiedades de la proyección, como la transformación de los ángulos y la variación de la escala, se derivan de la geometría de los elementos pequeños correspondientes en el globo terráqueo y en el mapa. La figura siguiente muestra un punto P en latitud φ y longitud λ en el globo terráqueo y un punto Q cercano en latitud φ + δφ y longitud λ + δλ. Las líneas verticales PK y MQ son arcos de meridianos de longitud Rδφ. Las líneas horizontales PM y KQ son arcos de paralelos de longitud R(cos φ)δλ.

Para elementos pequeños, el ángulo PKQ es aproximadamente un ángulo recto y por tanto

tan α ≈ R cos φ δ λ R δ φ , tan β = δ x δ y , {\displaystyle \tan \alpha \approx {\frac {Rcos \varphi \,\delta \lambda }{R,\delta \varphi }},\qquad \qquad \tan beta ={frac {delta x}{delta y}},

${displaystyle \tan \alpha \approx {\frac {\cos \varphi ,\delta \lambda},\qquad \qquad \tan \ta ={frac {\delta x}{\delta y}},$

Los factores de escala anteriormente mencionados del globo al cilindro vienen dados por

factor de escala paralelo k ( φ ) = P ′ M ′ P M = δ x R cos φ λ , {\displaystyle \quad k(\varphi )λ;)=\;{\frac {P’M’}{PM}};=\frac {\delta x}{R\cos \varphi \},\delta \lambda },

$\quad k(\varphi )\\}{\frac{\frac {P'M'}{PM}};=\frac {\delta x}{R\cos \varphi \},\delta \lambda},}'M'}{PM}}\;=\;{\frac {\delta x}{R\cos \varphi \,\delta \lambda }},$

factor de escala del meridiano h ( φ ) = P ′ K ′ P K = δ y R δ φ . {\displaystyle \quad h(\varphi )=\frac {P’K’}{PK}};=\frac {\delta y}{R\delta \varphi},}.

${displaystyle \quad h(\varphi )\};=\frac {P'K'}{PK}};=\frac {\delta y}{R\delta \varphi},}.}'K'}{PK}}\;=\;{\frac {\delta y}{R\delta \varphi \,}}.}$

Dado que los meridianos están mapeados a líneas de constante x, debemos tener x = R(λ – λ0) y δx = Rδλ, (λ en radianes). Por tanto, en el límite de elementos infinitesimales

tan β = R sec φ y ′ ( φ ) tan α , k = sec φ , h = y ′ ( φ ) R . {\displaystyle \tan \beta ={frac {sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha \,,\qquad k={sec \varphi \},,\qquad h={frac {y'(\varphi )}{R}.}

${displaystyle \tan \beta ={frac {R\sec \varphi }{y'(\varphi )}{tan \alpha \},,\qquad k=\sec \phi \},,\qquad h={frac {y'(\varphi )}{R}.}'(\varphi )}}\tan \alpha \,,\qquad k=\sec \varphi \,,\qquad h={\frac {y'(\varphi )}{R}}.}$

Derivación de la proyección de MercatorEditar

La elección de la función y(φ) para la proyección de Mercator viene determinada por la exigencia de que la proyección sea conforme, condición que puede definirse de dos formas equivalentes:

Igualdad de ángulos. La condición de que un rumbo de navegación de acimut constante α en el globo terráqueo se mapee en un rumbo de cuadrícula constante β en el mapa. Fijando α = β en las ecuaciones anteriores se obtiene y ′(φ) = R sec φ.
Isotropía de los factores de escala. Es la afirmación de que el factor de escala del punto es independiente de la dirección, de modo que las formas pequeñas son preservadas por la proyección. Fijando h = k en las ecuaciones anteriores se obtiene de nuevo y ′(φ) = R sec φ.

Integrando la ecuación

y ′ ( φ ) = R sec φ , {\displaystyle y'(\varphi )=R\sec \varphi ,}

${displaystyle y'(\varphi )=R\sec \varphi ,}'(\varphi )=R\sec \varphi ,}$

con y(0) = 0, utilizando tablas integrales o métodos elementales, da y(φ). Por tanto,

x = R ( λ – λ 0 ) , y = R ln . {\displaystyle x=R(\lambda -\lambda _{0}),\qquad y=R\ln \left.}

${displaystyle x=R(\lambda -\lambda _{0}),\qquad y=R\ln \left.}$

En la primera ecuación λ0 es la longitud de un meridiano central arbitrario normalmente, pero no siempre, el de Greenwich (es decir, cero). La diferencia (λ – λ0) está en radianes.

La función y(φ) se traza junto a φ para el caso R = 1: tiende a infinito en los polos. Los valores lineales del eje y no suelen aparecer en los mapas impresos; en su lugar, algunos mapas muestran la escala no lineal de los valores de latitud a la derecha. Lo más frecuente es que los mapas muestren sólo un retículo de meridianos y paralelos seleccionados

Transformaciones inversasEditar

λ = λ 0 + x R , φ = 2 tan – 1 – π 2 . {\displaystyle \lambda =\lambda _{0}+{\frac {x}{R}},\qquad \varphi =2\tan ^{-1}\left-{\frac {\pi }{2},.}

${displaystyle \\lambda ={lambda _{0}+{{frac {x}{R}},\qquad \phi =2\tan ^{-1}{left-{frac {\pi }{2},.$

La expresión de la derecha de la segunda ecuación define la función gudermanniana; es decir φ = gd(y/R): la ecuación directa puede escribirse, por tanto, como y = R-gd-1(φ).

Expresiones alternativasEditar

Hay muchas expresiones alternativas para y(φ), todas ellas derivadas mediante manipulaciones elementales.

y = R 2 ln = R ln = R ln ( sec φ + tan φ ) = R tanh – 1 ( sin φ ) = R sinh – 1 ( tan φ ) = R sgn ( φ ) cosh – 1 ( sec φ ) = R gd – 1 ( φ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}y&&{frac {R}{2}ln \left&&{R}ln \Izquierda&=Izquierda(\sec \varphi +\tan \varphi \right)\&&R\tanh ^{-1}\a la izquierda(\a la síntesis \a la várfia \a la derecha)&&Rsinh ^{-1}\a la izquierda(\a la síntesis \a la várfia \a la derecha)&=Roperatorname {sgn} (\varphi )\cosh ^{-1}(\sec \varphi \right)=Roperatorname {gd} ^{-1}(\varphi ).|end{aligned}}

${displaystyle}y=&{\frac {R}{2}}ln \left=&{R}ln \left=R\ln \left(\sec \varphi +\tan \varphi \right)\\\\f=R\tanh ^{-1}\a la izquierda(\a la suma de \avarphi \a la derecha)=R\a la suma de ^{-1}\a la izquierda(\a la suma de \a lavarphi \a la derecha)=R\a la operadora {sgn} (\varphi )\\NCosh ^{-1}[izquierda]\N(\varphi \N-derecha)=Roperación {gd} ^{-1}(\varphi ).\\\N-fin{aligned}}$

Los inversos correspondientes son:

φ = sen – 1 ( tanh y R ) = tan – 1 ( sinh y R ) = sgn ( y ) sec – 1 ( cosh y R ) = gd y R . {\displaystyle \varphi =\sin ^-1}left(\tanh {\frac {y}{R}}right)=\tan ^{-1}left(\sinh {\frac {y}{R}right)=\operatorname {sgn} (y)^{-1}\a la izquierda(\cosh {\frac {y}{R}}a la derecha)=operador nombre {gd} {\frac {y}{R}}.}

${displaystyle \\\Nde la vara =\Nsin ^{-1}\a la izquierda(\tanh {\frac {y}{R}\a la derecha)=\Ntan ^{-1}\a la izquierda(\sinh {\frac {y}{R}a la derecha)=operador {sgn} (y)\sec ^{-1}\left(\cosh {\frac {y}{R}}right)=operatorname {gd} {\frac {y}{R}}.}$

Para ángulos expresados en grados:

x = π R ( λ ∘ – λ 0 ∘ ) 180 , y = R ln . {\displaystyle x={frac {\pi R(\\\circ }-\lambda _{0}^{\circ })}{180},\qquad \quad y=R\ln \left.}

${displaystyle x={frac {\pi R(\{circ}}-{\\\\c})}{180},\qquad \quad y=R\ln \c}.$

Las fórmulas anteriores están escritas en términos del radio del globo R. A menudo es conveniente trabajar directamente con la anchura del mapa W = 2πR. Por ejemplo, las ecuaciones básicas de transformación se convierten en

x = W 2 π ( λ – λ 0 ) , y = W 2 π ln . {\displaystyle x={frac {W}{2\pi }}left(\lambda -\lambda _{0}\right),\qquad \quad y={frac {W}{2\pi }}ln \left.}

${displaystyle x={frac {W}{2\pi }}left(\lambda -\lambda _{0}\right),\qquad \quad y={frac {W}{2\pi }ln \left.}$

Truncamiento y relación de aspectoEditar

La ordenada y de la proyección Mercator se hace infinita en los polos y el mapa debe truncarse en alguna latitud menor de noventa grados. Esto no tiene por qué hacerse de forma simétrica. El mapa original de Mercator está truncado en 80°N y 66°S, con el resultado de que los países europeos fueron desplazados hacia el centro del mapa. La relación de aspecto de su mapa es de 198/120 = 1,65. Se han utilizado truncamientos aún más extremos: un atlas escolar finlandés se truncó aproximadamente en 76°N y 56°S, una relación de aspecto de 1,97.

Muchos mapas basados en la web utilizan una versión ampliable de la proyección Mercator con una relación de aspecto de uno. En este caso, la máxima latitud alcanzada debe corresponder a y = ±W/2, o, de forma equivalente, y/R = π. Para calcular las latitudes correspondientes puede utilizarse cualquiera de las fórmulas de transformación inversa:

φ = tan – 1 = tan – 1 = tan – 1 = 85,05113 ∘ . {\displaystyle \varphi =\tan ^{-1}\left=tan ^{-1}\left=tan ^{-1}\left=85,05113^{circ}.}

${displaystyle \\\_varphi =\tan ^{-1}left=\tan ^{-1}left=\tan ^{-1}left=85,05113^{{circ}.}$

Factor de escalaEditar

La figura que compara los elementos infinitesimales en globo y proyección muestra que cuando α=β los triángulos PQM y P′Q′M′ son similares de modo que el factor de escala en una dirección arbitraria es el mismo que los factores de escala paralelos y meridianos:

δ s ′ δ s = P ′ Q ′ P Q = P ′ M ′ P M = k = P ′ K ′ P K = h = sec φ . {\displaystyle {\frac {\delta s’}{\delta s}}={frac {P’Q’}{PQ}}={frac {P’M’}{PM}}=k={frac {P’K’}{PK}}=h=\sec \varphi .}

${displaystyle {\frac {\delta s'}{delta s}}={frac {P'Q'}{PQ}}={frac {P'M'}{PM}}=k={frac {P'K'}{PK}=h=sec \varphi .}'}{\delta s}}={\frac {P'Q'}{PQ}}={\frac {P'M'}{PM}}=k={\frac {P'K'}{PK}}=h=\sec \varphi .}$

Este resultado es válido para una dirección arbitraria: la definición de isotropía del factor de escala del punto. El gráfico muestra la variación del factor de escala con la latitud. A continuación se indican algunos valores numéricos.

En la latitud 30° el factor de escala es k = sec 30° = 1,15, en la latitud 45° el factor de escala es k = sec 45° = 1,41, en la latitud 60° el factor de escala es k = sec 60° = 2, en la latitud 80° el factor de escala es k = sec 80° = 5.76, en la latitud 85° el factor de escala es k = sec 85° = 11,5

El trabajo a partir del mapa proyectado requiere el factor de escala en términos de la ordenada y de Mercator (a menos que el mapa esté provisto de una escala explícita de latitud). Dado que las medidas de la regla pueden proporcionar la ordenada del mapa y y también la anchura W del mapa, entonces y/R = 2πy/W y el factor de escala se determina utilizando una de las formas alternativas para las formas de la transformación inversa:

k = sec φ = cosh ( y R ) = cosh ( 2 π y W ) . {\displaystyle k=\sec \varphi =\cosh \left({\frac {y}{R}\right)=\cosh \left({\frac {2\pi y}{W}\right).}

${displaystyle k=\sec \varphi =\cosh \left({\frac {y}{R}}right)=\cosh \left({\frac {2\pi y}{W}{right).}$

La variación con la latitud se indica a veces mediante múltiples escalas de barras como se muestra a continuación y, por ejemplo, en un atlas escolar finlandés. La interpretación de estas escalas de barras no es trivial. Véase la discusión sobre las fórmulas de distancia más adelante.

Escala de áreaEditar

El factor de escala de área es el producto de las escalas de paralelos y meridianos hk = sec2φ. Para Groenlandia, tomando 73° como latitud media, hk = 11,7. Para Australia, tomando 25° como latitud media, hk = 1,2. Para Gran Bretaña, tomando 55° como latitud media, hk = 3,04.

DistorsiónEditar

Las indicatrices de Tissot en la Proyección Mercator

La forma clásica de mostrar la distorsión inherente a una proyección es utilizar la indicatriz de Tissot. Nicolas Tissot observó que los factores de escala en un punto de una proyección cartográfica, especificados por los números h y k, definen una elipse en ese punto. Para las proyecciones cilíndricas, los ejes de la elipse están alineados con los meridianos y los paralelos. Para la proyección Mercator, h = k, por lo que las elipses degeneran en círculos de radio proporcional al valor del factor de escala para esa latitud. Estos círculos se representan en el mapa proyectado con una variación extrema de tamaño, indicativa de las variaciones de escala de Mercator.

ExactitudEditar

Una medida de la exactitud de un mapa es la comparación de la longitud de los elementos de línea correspondientes en el mapa y el globo. Por lo tanto, por construcción, la proyección Mercator es perfectamente precisa, k = 1, a lo largo del ecuador y en ninguna otra parte. A una latitud de ±25°, el valor de sec φ es de aproximadamente 1,1 y, por tanto, la proyección puede considerarse exacta con una precisión del 10% en una franja de 50° de anchura centrada en el ecuador. Las franjas más estrechas son mejores: sec 8° = 1,01, por lo que una franja de 16° de anchura (centrada en el ecuador) tiene una precisión del 1% o de 1 parte entre 100. Del mismo modo, el segmento 2,56° = 1,001, por lo que una franja de 5,12° de anchura (centrada en el ecuador) tiene una precisión del 0,1% o de 1 parte entre 1.000. Por tanto, la proyección Mercator es adecuada para cartografiar países cercanos al ecuador.

Proyección secanteEditar

En una proyección Mercator secante (en el sentido de cortar) el globo se proyecta en un cilindro que corta la esfera en dos paralelos con latitudes ±φ1. La escala es ahora verdadera en estas latitudes mientras que los paralelos entre estas latitudes están contraídos por la proyección y su factor de escala debe ser menor que uno. El resultado es que la desviación de la escala respecto a la unidad se reduce en un rango más amplio de latitudes.

Un ejemplo de este tipo de proyección es

x = 0,99 R λ y = 0,99 R ln tan ( π 4 + φ 2 ) k = 0,99 sec φ . {\displaystyle x=0,99R\lambda \qquad y=0,99R\ln \tan \!\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}\right)\qquad k\;=0,99\sec \varphi .}

${displaystyle x=0.99R\qquad y=0.99Rln |tan ||left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}right)\qquad k\;=0.99\sec \varphi .}$

La escala en el ecuador es 0,99; la escala es k = 1 a una latitud de aproximadamente ±8° (el valor de φ1); la escala es k = 1,01 a una latitud de aproximadamente ±11,4°. Por lo tanto, la proyección tiene una precisión del 1%, en una franja más amplia de 22° en comparación con los 16° de la proyección normal (tangente). Se trata de una técnica estándar para ampliar la región sobre la que una proyección cartográfica tiene una precisión determinada.

Generalización al elipsoideEditar

Cuando la Tierra es modelada por un esferoide (elipsoide de revolución) la proyección Mercator debe ser modificada si quiere seguir siendo conforme. Las ecuaciones de transformación y el factor de escala para la versión no secante son

x = R ( λ – λ 0 ) , y = R ln = R ( sinh – 1 ( tan φ ) – e tanh – 1 ( e sin φ ) ) , k = sec φ 1 – e 2 sin 2 φ . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\left(\lambda -\lambda _{0}\right),\y&=R\ln \left=R\left(\sinh ^{-1}\left(\tan \varphi \right)-e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\right),\\k&=\sec \varphi {\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}.\end{aligned}}}

${displaystyle {\begin{aligned}x=R\left(\lambda -\lambda _{0}\right),\y=R\ln \left=R\left(\sinh ^{-1}\left(\tan \varphi \right)-e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\right),\k=\sec \varphi {\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}.\El factor de escala es la unidad en el ecuador, ya que el cilindro es tangente al elipsoide en el ecuador. La corrección elipsoidal del factor de escala aumenta con la latitud, pero nunca es mayor que e2, una corrección inferior al 1%. (El valor de e2 es de aproximadamente 0,006 para todos los elipsoides de referencia.) Esto es mucho menor que la inexactitud de la escala, excepto muy cerca del ecuador. Sólo las proyecciones Mercator precisas de las regiones cercanas al ecuador necesitarán las correcciones elipsoidales.$

Formulas para la distanciaEditar

Convertir la distancia de la regla en el mapa Mercator en la distancia verdadera (círculo máximo) en la esfera es sencillo a lo largo del ecuador pero en ningún otro lugar. Uno de los problemas es la variación de la escala con la latitud, y otro es que las líneas rectas del mapa (líneas de rumbo), que no sean los meridianos o el ecuador, no se corresponden con los grandes círculos.

La distinción entre la distancia de rumbo (de navegación) y la distancia del gran círculo (verdadera) fue claramente comprendida por Mercator. (Véase la Leyenda 12 del mapa de 1569.) Subrayó que la distancia rumbos es una aproximación aceptable para la verdadera distancia ortodrómica para los rumbos de distancia corta o moderada, especialmente en las latitudes más bajas. Incluso cuantifica su afirmación: «Cuando las distancias ortodrómicas que han de medirse en las proximidades del ecuador no exceden de 20 grados de un gran círculo, o de 15 grados cerca de España y Francia, o de 8 e incluso 10 grados en las partes septentrionales es conveniente utilizar las distancias de la línea de rumbo».

Para una medición con regla de una línea corta, con punto medio en la latitud φ, donde el factor de escala es k = sec φ = 1/cos φ:

Distancia verdadera = distancia de la línea de rumbo ≅ distancia de la regla × cos φ / RF. (líneas cortas)

Con radio y circunferencia del gran círculo iguales a 6.371 km y 40.030 km respectivamente una RF de 1/300M, para la que R = 2,12 cm y W = 13,34 cm, implica que una medida de la regla de 3 mm. en cualquier dirección desde un punto del ecuador corresponde a aproximadamente 900 km. Las distancias correspondientes para las latitudes 20°, 40°, 60° y 80° son 846 km, 689 km, 450 km y 156 km respectivamente.

Distancias más largas requieren varias aproximaciones.

En el ecuadorEditar

La escala es la unidad en el ecuador (para una proyección no secante). Por lo tanto, la interpretación de las medidas de la regla en el ecuador es sencilla:

Distancia real = distancia de la regla / RF (ecuador)

Para el modelo anterior, con RF = 1/300M, 1 cm corresponde a 3.000 km.

En otros paralelosEditar

En cualquier otro paralelo el factor de escala es sec φ de manera que

Distancia en el paralelo = distancia de la regla × cos φ / RF (paralelo).

Para el modelo anterior 1 cm corresponde a 1.500 km a una latitud de 60º.

Esta no es la distancia más corta entre los puntos extremos elegidos en el paralelo porque un paralelo no es un gran círculo. La diferencia es pequeña para distancias cortas, pero aumenta a medida que aumenta λ, la separación longitudinal. Para dos puntos, A y B, separados por 10° de longitud en el paralelo a 60°, la distancia a lo largo del paralelo es aproximadamente 0,5 km mayor que la distancia ortodrómica. (La distancia AB a lo largo del paralelo es (a cos φ) λ. La longitud de la cuerda AB es 2(a cos φ) sin λ/2. Esta cuerda subtiende un ángulo en el centro igual a 2arcsin(cos φ sin λ/2) y la distancia ortodrómica entre A y B es 2a arcsin(cos φ sin λ/2)). En el caso extremo en que la separación longitudinal es de 180°, la distancia a lo largo del paralelo es la mitad de la circunferencia de dicho paralelo; es decir, 10.007,5 km. Por otro lado, la geodésica entre estos puntos es un arco de círculo máximo que pasa por el polo y subtiende un ángulo de 60° en el centro: la longitud de este arco es un sexto de la circunferencia del círculo máximo, unos 6.672 km. La diferencia es de 3.338 km, por lo que la distancia de la regla medida a partir del mapa es bastante engañosa, incluso después de corregir la variación de latitud del factor de escala.

En un meridianoEditar

Un meridiano del mapa es un gran círculo en el globo, pero la variación continua de la escala significa que la medición de la regla por sí sola no puede dar la verdadera distancia entre puntos distantes en el meridiano. Sin embargo, si el mapa está marcado con una escala de latitud precisa y finamente espaciada de la que se puede leer directamente la latitud -como es el caso del mapamundi Mercator 1569 (hojas 3, 9, 15) y todas las cartas náuticas posteriores- la distancia meridiana entre dos latitudes φ1 y φ2 es simplemente

m 12 = a | φ 1 – φ 2 | . {\displaystyle m_{12}=a|\varphi _{1}-\varphi _{2}|.}

${displaystyle m_{12}=a|\varphi _{1}-\varphi _{2}|.}$

Si las latitudes de los puntos finales no se pueden determinar con seguridad, entonces se pueden encontrar en su lugar mediante el cálculo de la distancia de la regla. Llamando a las distancias de la regla de los puntos extremos en el meridiano del mapa, medidas desde el ecuador y1 e y2, la verdadera distancia entre estos puntos en la esfera se da utilizando cualquiera de las fórmulas de Mercator inverso:

m 12 = a | tan – 1 – tan – 1 | , {\displaystyle m_{12}=a||tan ^{-1}\left-\tan ^{-1}\left\right|,

$m_{12}=a\aquierda|\tan ^{-1}\aquierda-\tan ^{-1}\aquierdaderecha|,$

donde R puede calcularse a partir de la anchura W del mapa mediante R = W/2π. Por ejemplo, en un mapa con R = 1 los valores de y = 0, 1, 2, 3 corresponden a latitudes de φ = 0°, 50°, 75°, 84° y, por tanto, los intervalos sucesivos de 1 cm en el mapa corresponden a intervalos de latitud en el globo de 50°, 25°, 9° y a distancias de 5.560 km, 2.780 km y 1.000 km en la Tierra.

Sobre una RumbEdit

Una línea recta en el mapa de Mercator con un ángulo α respecto a los meridianos es una línea de rumbo. Cuando α = π/2 o 3π/2 la rumbosidad corresponde a uno de los paralelos; sólo uno, el ecuador, es un gran círculo. Cuando α = 0 o π corresponde a un gran círculo meridiano (si se continúa alrededor de la Tierra). Para todos los demás valores es una espiral de polo a polo del globo que cruza todos los meridianos con el mismo ángulo, por lo que no es un gran círculo. En esta sección se analiza sólo el último de estos casos.

Si α no es ni 0 ni π entonces la figura anterior de los elementos infinitesimales muestra que la longitud de una línea de rumbo infinitesimal en la esfera entre las latitudes φ; y φ + δφ es un seg α δφ. Dado que α es constante en la línea de rumbo esta expresión puede integrarse para dar, para líneas de rumbo finitas en la Tierra:

r 12 = a sec α | φ 1 – φ 2 | = a sec α Δ φ . {\displaystyle r_{12}=a\\Nsec \\Nalfa,||varphi _{1}-\Nvarphi _{2}|=a,\Nsec \\Nalfa;\NDelta \Nvarphi .}

${displaystyle r_{12}=a\a\a\a\aalfa,||varphi _{1}-\a\a\a\a\a2}|=a,\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\autoridad.$

Una vez más, si Δφ puede leerse directamente desde una escala de latitud precisa en el mapa, entonces la distancia rumbos entre puntos del mapa con latitudes φ1 y φ2 viene dada por lo anterior. Si no existe tal escala, entonces las distancias de la regla entre los puntos extremos y el ecuador, y1 e y2, dan el resultado mediante una fórmula inversa:

r 12 = a sec α | tan – 1 sinh ( y 1 R ) – tan – 1 sinh ( y 2 R ) | . {\displaystyle r_{12}=a\sec \alpha \left||tan ^{-1}\sinh \left({\frac {y_{1}{R}}right)-tan ^{-1}\sinh \left({\frac {y_{2}{R}right)\right|.}

$r_{12}=a\Nsec \Nalfa ||tan ^{-1}sinh \Nizquierda({\frac {y_1}{R}}derecha)-tan ^{-1}sinh \Nizquierda({\frac {y_2}{R}}derecha)\Nderecha.$