1.5 : Analyse dimensionnelle
Objectifs d’apprentissage
- Trouver les dimensions d’une expression mathématique impliquant des quantités physiques.
- Déterminer si une équation impliquant des quantités physiques est dimensionnellement cohérente.
La dimension d’une quantité physique quelconque exprime sa dépendance aux quantités de base sous la forme d’un produit de symboles (ou de puissances de symboles) représentant les quantités de base. Le tableau \(\PageIndex{1}\) répertorie les grandeurs de base et les symboles utilisés pour leur dimension. Par exemple, on dit qu’une mesure de longueur a la dimension L ou L1, qu’une mesure de masse a la dimension M ou M1, et qu’une mesure de temps a la dimension T ou T1. Comme les unités, les dimensions obéissent aux règles de l’algèbre. Ainsi, l’aire est le produit de deux longueurs et a donc la dimension L2, ou longueur au carré. De même, le volume est le produit de trois longueurs et a pour dimension L3, ou longueur au cube. La vitesse a pour dimension la longueur par rapport au temps, L/T ou LT-1. La densité de masse volumique a la dimension M/L3 ou ML-3, ou masse sur longueur au cube. En général, la dimension de toute quantité physique peut s’écrire comme
pour certaines puissances a, b, c, d, e, f et g. Nous pouvons écrire les dimensions d’une longueur sous cette forme avec a = 1 et les six autres puissances toutes égales à zéro :
| Quantité de base | Symbole de la dimension |
|---|---|
| Longueur | L |
| Masse | M |
| Heure | T |
| Current | I |
| Température thermodynamique | \(\Theta\) |
| Montant de la substance | N |
| Intensité lumineuse | J |
Les physiciens utilisent souvent des crochets autour du symbole d’une quantité physique pour représenter les dimensions de cette quantité. Par exemple, si r est le rayon d’un cylindre et h sa hauteur, nous écrivons = L et = L pour indiquer que les dimensions du rayon et de la hauteur sont toutes deux celles de la longueur, ou L. De même, si nous utilisons le symbole A pour la surface d’un cylindre et V pour son volume, alors = L2 et = L3. Si l’on utilise le symbole m pour la masse du cylindre et \(\rho\) pour la densité du matériau dont est fait le cylindre, alors = M et = ML-3.
L’importance du concept de dimension découle du fait que toute équation mathématique mettant en relation des quantités physiques doit être dimensionnellement cohérente, ce qui signifie que l’équation doit obéir aux règles suivantes :
- Chaque terme d’une expression doit avoir les mêmes dimensions ; cela n’a pas de sens d’ajouter ou de soustraire des quantités de dimension différente (pensez au vieux dicton : « On ne peut pas additionner des pommes et des oranges »). En particulier, les expressions de chaque côté de l’égalité dans une équation doivent avoir les mêmes dimensions.
- Les arguments de l’une des fonctions mathématiques standard telles que les fonctions trigonométriques (comme le sinus et le cosinus), les logarithmes ou les fonctions exponentielles qui apparaissent dans l’équation doivent être sans dimension. Ces fonctions nécessitent des nombres purs comme entrées et donnent des nombres purs comme sorties.
Si l’une de ces règles est violée, une équation n’est pas dimensionnellement cohérente et ne peut éventuellement pas être un énoncé correct de la loi physique. Ce simple fait peut être utilisé pour vérifier les fautes de frappe ou d’algèbre, pour aider à se souvenir des différentes lois de la physique, et même pour suggérer la forme que pourraient prendre de nouvelles lois de la physique. Cette dernière utilisation des dimensions dépasse le cadre de ce texte, mais c’est quelque chose que vous apprendrez sans doute plus tard dans votre carrière universitaire.
Exemple \(\PageIndex{1}\) : Utiliser les dimensions pour se souvenir d’une équation
Supposons que nous ayons besoin de la formule de l’aire d’un cercle pour un certain calcul. Comme beaucoup de gens qui ont appris la géométrie il y a trop longtemps pour s’en souvenir avec certitude, deux expressions peuvent nous venir à l’esprit lorsque nous pensons aux cercles : \(\pi r^{2}\) et \(2 \pi r\). L’une des expressions correspond à la circonférence d’un cercle de rayon r et l’autre à son aire. Mais laquelle est la bonne ?
Stratégie
Une stratégie naturelle est de chercher, mais cela pourrait prendre du temps pour trouver des informations provenant d’une source réputée. En outre, même si nous pensons que la source est réputée, nous ne devrions pas croire tout ce que nous lisons. Il est bon d’avoir un moyen de procéder à une double vérification, simplement en y pensant. Il se peut également que nous soyons dans une situation où nous ne pouvons pas vérifier certaines choses (comme lors d’un test). La stratégie consiste donc à trouver les dimensions des deux expressions en utilisant le fait que les dimensions suivent les règles de l’algèbre. Si l’une ou l’autre expression n’a pas les mêmes dimensions que l’aire, alors il est impossible que ce soit l’équation correcte pour l’aire d’un cercle.
Solution
Nous savons que la dimension de l’aire est L2. Or, la dimension de l’expression \(\pi r^{2}\) est
\ = \cdotp ^{2} = 1 \cdotp L^{2} = L^{2},\]
puisque la constante \(\pi\) est un nombre pur et que le rayon r est une longueur. Par conséquent, \(\pi r^{2}\) a la dimension d’une aire. De même, la dimension de l’expression \(2 \pi r\) est
\ = \cdotp \cdotp = 1 \cdotp 1 \cdotp L = L,\]
puisque les constantes 2 et \(\pi\) sont toutes deux sans dimension et que le rayon r est une longueur. Nous voyons que \(2 \pi r\) a la dimension de longueur, ce qui signifie qu’il ne peut pas éventuellement être une aire.
Nous excluons \(2 \pi r\) car il n’est pas dimensionnellement cohérent avec le fait d’être une aire. Nous voyons que \(\pi r^{2}\) est dimensionnellement cohérente avec le fait d’être une aire, donc si nous devons choisir entre ces deux expressions, \(\pi r^{2}\) est celle à choisir.
Signification
Cet exemple peut sembler un peu idiot, mais les idées sont très générales. Tant que nous connaissons les dimensions des quantités physiques individuelles qui apparaissent dans une équation, nous pouvons vérifier si l’équation est dimensionnellement cohérente. D’autre part, sachant que les véritables équations sont dimensionnellement cohérentes, nous pouvons faire correspondre les expressions de nos souvenirs imparfaits aux quantités pour lesquelles elles pourraient être des expressions. Faire cela ne nous aidera pas à nous souvenir des facteurs sans dimension qui apparaissent dans les équations (par exemple, si vous aviez accidentellement confondu les deux expressions de l’exemple en \(2 \pi r^{2}\), alors l’analyse dimensionnelle n’est d’aucune aide), mais cela nous aide à nous souvenir de la forme de base correcte des équations.
Exercice \(\PageIndex{2}\)
L’équation v = at est-elle dimensionnellement cohérente ?
Réponse
Ajouter des textes ici. Ne supprimez pas ce texte avant.
Un autre point à mentionner est l’effet des opérations du calcul sur les dimensions. Nous avons vu que les dimensions obéissent aux règles de l’algèbre, tout comme les unités, mais que se passe-t-il lorsque nous prenons la dérivée d’une grandeur physique par rapport à une autre ou intégrons une grandeur physique sur une autre ? La dérivée d’une fonction est juste la pente de la droite tangente à son graphe et les pentes sont des rapports, donc pour les quantités physiques v et t, nous avons que la dimension de la dérivée de v par rapport à t est juste le rapport de la dimension de v sur celle de t :
\ = \frac{}{}. \ldotp\]
De même, puisque les intégrales ne sont que des sommes de produits, la dimension de l’intégrale de v par rapport à t est simplement la dimension de v multipliée par la dimension de t :
\ = \cdotp \ldotp]
Par le même raisonnement, des règles analogues s’appliquent aux unités des grandeurs physiques dérivées d’autres grandeurs par intégration ou différenciation.
Contributeurs et attributions
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Samuel J. Ling (Truman State University), Jeff Sanny (Loyola Marymount University), et Bill Moebs avec de nombreux auteurs collaborateurs. Ce travail est autorisé par OpenStax University Physics sous une licence Creative Commons Attribution License (by 4.0).
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