Filtre passe-haut : Circuit, fonction de transfert et diagramme de Bode

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Le mot « filtre », signifie qu’il va supprimer les éléments indésirables. Le meilleur exemple de filtre est le filtre à eau. Pourquoi l’utilise-t-on ? Il est utilisé pour éliminer les impuretés de l’eau. Le filtre électrique fonctionne également de la même manière qu’un filtre à eau.

Le filtre électrique contient des résistances, des inductances, des condensateurs et des amplificateurs. Le filtre électrique est utilisé pour faire passer le signal avec un certain niveau de fréquence et il atténuera le signal avec plus bas ou plus haut qu’une certaine fréquence.

La fréquence à laquelle le filtre fonctionne, cette fréquence est connue comme fréquence de coupure. La fréquence de coupure est fixée lors de la conception du filtre.

Qu’est-ce qu’un filtre passe-haut ?

Un filtre passe-haut (également appelé filtre coupe-bas ou filtre coupe-basse) est un filtre électronique qui autorise les signaux dont la fréquence est supérieure à une certaine fréquence de coupure et atténue les signaux dont la fréquence est inférieure à cette fréquence de coupure.

L’inverse d’un filtre passe-haut est un filtre passe-bas, qui autorise les signaux dont la fréquence est inférieure à la fréquence de coupure et bloque toutes les fréquences supérieures à cette fréquence de coupure. Il existe également des filtres passe-bande, qui combinent les fonctionnalités des filtres passe-haut et passe-bas pour n’autoriser que les fréquences comprises dans une plage de fréquences spécifique.

Filtres passe-haut vs passe-bas

Les caractéristiques d’un filtre passe-haut sont exactement les caractéristiques opposées d’un filtre passe-bas. Les différences comprennent :

Types de filtres passe-haut

Il existe plusieurs types de filtres passe-haut en fonction de la conception du circuit et des composants utilisés pour réaliser un filtre. Les différents types de filtres passe-haut comprennent :

Filtre passe-haut passif

Le filtre passif se compose uniquement d’éléments passifs comme une résistance, une inductance et un condensateur. Il n’utilisera pas de source d’énergie externe ou de composants d’amplification.

Un filtre passe-haut passif est constitué d’une combinaison de résistance et de condensateur (RC) ou de résistance et d’inductance (RL).

Filtre passe-haut actif

Le filtre actif est une combinaison d’un filtre passif avec un amplificateur opérationnel (OP-AMP) ou il comprend un amplificateur avec contrôle de gain.

Il est réalisé en connectant un composant inverseur ou non-inverseur de l’OP-AMP avec un filtre passif.

Filtre passe-haut RC

Le filtre RC est un type de filtre passif car il est constitué uniquement d’un condensateur est en série avec la résistance.

Le schéma de circuit du filtre passe-haut et passe-bas est le même, il suffit d’interchanger le condensateur et la résistance. Le schéma de circuit du filtre passe-haut RC est comme indiqué dans la figure ci-dessous.

Le condensateur offre une réactance très élevée pour le signal dont la fréquence est inférieure à la fréquence de coupure. Dans ce cas, le condensateur agit comme un interrupteur ouvert.

Le condensateur offre une faible réactance pour le signal dont la fréquence est supérieure à la fréquence de coupure. Dans ce cas, le condensateur agit comme un interrupteur fermé.

Filtre passe-haut du premier ordre

Le filtre passe-haut du premier ordre est constitué d’un seul condensateur ou d’une seule inductance. Ce type de filtre a une fonction de transfert du premier ordre.

Cela signifie que si vous dérivez une équation dans le domaine s, la puissance maximale de ‘s’ est de un. Cela n’est possible que si vous utilisez un seul élément de stockage d’énergie comme l’inducteur et le condensateur.

Le filtre du premier ordre peut être actif ou passif, selon l’utilisation des éléments. S’il n’utilise que des éléments actifs, il peut être un filtre du premier ordre. Le filtre passe-haut RC est un filtre passe-haut passif de premier ordre.

Filtre passe-haut de second ordre

Le filtre passe-haut de second ordre peut dériver en cascadant deux filtres passe-haut de premier ordre. Par conséquent, il est constitué de deux composants réactifs et constitue un circuit de second ordre.

La principale différence entre le filtre du premier ordre et celui du second ordre est la pente dans la bande d’arrêt. La pente du filtre de second ordre est le double de celle du filtre de premier ordre.

Réponse en fréquence du filtre passe-haut — Bande passante et bande d’arrêt pour les filtres du premier ordre et du second ordre

Par exemple, si l’on considère un filtre de Butterworth du premier ordre, le slop est de +20 db/décade et pour un filtre de Butterworth du second ordre, le slop est de +40 db/décade.

Filtre passe-haut Butterworth

Le filtre Butterworth est conçu pour avoir une réponse en fréquence plate dans la bande passante. Ainsi, dans la bande passante, il n’y a pas d’ondulation dans la réponse en fréquence. La figure ci-dessous montre le schéma du circuit du filtre passe-haut de Butterworth du premier ordre et du second ordre avec la réponse en fréquence.

Schéma du circuit et réponse en fréquence du filtre de Butterworth — Schéma du circuit. et réponse en fréquence du filtre de Butterworth

Filtre passe-haut de Chebyshev

Dans toutes les gammes de filtres, le filtre de Chebyshev minimise l’erreur entre le filtre réel et le filtre idéal. Il existe deux types de filtres : le type-I et le type-II. Le filtre de type-I est connu sous le nom de « filtre de Chebyshev » et le filtre de type-II est connu sous le nom de « filtre de Chebyshev inverse ».

Schéma de circuit du filtre de Tchebychev

Cette réponse du filtre est un commerce optimal entre l’ondulation et la pente. Si l’ondulation est fixée à 0%, la réponse du filtre est la même que celle du filtre de Butterworth. Mais une ondulation de 0,5% est un bon choix pour les filtres numériques qui font de la pente forte. La figure ci-dessous montre la différence de réponse en fréquence pour le filtre de Butterworth et le filtre de Tchebychev.

Compression de la réponse en fréquence du filtre passe-haut de Butterworth et de Chebyshev. Compression de la réponse en fréquence des filtres passe-haut de Butterworth et de Chebyshev

Si l’ondulation présente à la bande passante, le filtre est connu sous le nom de filtre de Chebyshev de type I et si l’ondulation est présente dans la bande d’arrêt, le filtre est connu sous le nom de filtre de Chebyshev inverse de type II.

Réponse en fréquence du filtre elliptique

Il existe une transition très rapide entre la bande passante et la bande d’arrêt. Mais pour cette condition, l’ondulation sera présente dans la bande passante et la bande d’arrêt. Ce type de filtre est connu sous le nom de filtre elliptique.

Filtre de Bessel

Le filtre de Butterworth a un bon comportement transitoire et en amplitude. Le filtre de Chebyshev a une bonne réponse en amplitude que le filtre de Butterworth au détriment du comportement transitoire.

Le filtre de Bessel a une bonne réponse transitoire. Mais le comportement en amplitude est mauvais. Le filtre de Bessel est conçu pour obtenir un retard de groupe constant dans la bande passante.

Filtre passe-haut passif vs actif

Selon les composants utilisés dans le circuit, les filtres sont classés en deux types ; filtre actif et filtre passif.

	Filtre actif	Filtre passif
Les éléments du circuit	Le filtre actif utilise des éléments actifs comme l’OP-.AMP et le transistor.	Le filtre passif utilise des éléments passifs comme le condensateur et l’inducteur.
Alimentation supplémentaire	Il nécessite une alimentation supplémentaire.	Il fonctionne sur l’entrée du signal et ne nécessite pas d’alimentation supplémentaire.
Limitation de fréquence	Il a des limitations de fréquence.	Il n’a pas de limitations de fréquence.
Coût	Haut	Moins cher en coût.
Stabilité	Stabilité inférieure	Meilleure stabilité
Poids	Bas	Haut (Parce que le poids de l’inducteur est très élevé)
Sensibilité	Plus sensible	Moins sensible	Facteur Q	Haut	Très bas	Conception	Il nécessite un système de contrôle complexe. Donc, la conception de ce filtre est complexe.	Il est facile à concevoir.
Efficacité	Haute	Faible
Caractéristique de réponse en fréquence	Caractéristique de réponse en fréquence est pointue	Caractéristique de réponse en fréquence n’est pas pointue

Équation de la fonction de transfert du filtre passe-haut

La fonction de transfert donne une représentation mathématique des filtres. Cette expression mathématique donne le comportement entrée-sortie du filtre.

La fonction de transfert d’un filtre passe-haut du premier ordre est dérivée dans les équations ci-dessous.

$\begin{align*} Z_R = R \,\, et \,\, Z_C = \frac{1}{sC} \end{align*}$

L’impédance de sortie est égale à:

$\begin{align*} Z_O_u_t = Z_R \end{align*}$

L’impédance d’entrée est égale à:

$\begin{align*} Z_I_n = Z_R + Z_C \end{align*}$

La fonction de transfert est définie comme le rapport entre la tension de sortie et la tension d’entrée.

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_O_u_t}{V_I_n} = \frac{Z_O_u_t}{Z_I_n} \ = \frac{Z_R}{Z_R+Z_C} \ = \frac{R}{R+\frac{1}{sC}} \ = \frac{sCR}{sCR+1} \T(s) = \frac{s}{s+\frac{1}{RC}} \end{split} \end{align*}$

La forme standard de la fonction de transfert est la suivante:

$\begin{align*} T(s) = \frac{a_1s}{s+\omega_0} \end{align*}$

Où :

$\begin{align*} a_1 = Amplitude \, du \, signal \end{align*}$

$\begin{align*} \omega_0 = Angulaire \, Coupure \, Fréquence \end{align*}$

Selon cette fonction de transfert pour une fréquence plus élevée

$\begin{align*} T ( s \to \infty) = a_1 \end{align*}$

Et pour la fréquence inférieure

$\begin{align*} T ( s \à 0) = 0 \end{align*}$

C’est pourquoi il présente une magnitude nulle pour une fréquence inférieure et une magnitude maximale pour une fréquence supérieure.

$\begin{align*} \omega_0 = 2\pi f_0 = \frac{1}{RC}\end{align*}$

$\begin{align*} Fréquence de coupure \, fréquence \, \, \, f_0 = \frac{1}{2\pi RC}\end{align*}$

Filtre passe-haut à fréquence de coupure

La fréquence de coupure est définie comme une fréquence qui crée une frontière entre la bande passante et la bande d’arrêt.

Pour un filtre passe-haut, si la fréquence du signal est supérieure à la fréquence de coupure, alors il permettra le passage du signal. Et si la fréquence du signal est inférieure à la fréquence de coupure, alors il atténuera le signal.

La fréquence de coupure est définie par l’utilisateur au moment de la conception d’un filtre. Pour le filtre passe-haut RC du premier ordre, elle est exprimée par l’équation ci-dessous. Cette équation est la même pour un filtre passe-haut que pour un filtre passe-bas.

$\begin{align*} F_c = \frac{1}{2\pi R C} \end{align*}$

La fréquence de coupure du filtre RC passe-haut du second ordre est déterminée à la fois par les résistances et les condensateurs. Et elle s’exprime comme suit :

$\begin{align*} F_c = \frac{1}{2\pi \sqrt{R_1 C_1 R_2 C_2}} \end{align*}$

D’après l’équation ci-dessus, si la valeur de R1 et R2 est égale et la valeur de C1 et C2 est égale, alors l’équation s’exprime comme suit :

$\begin{align*} F_c = \frac{1}{2\pi R_1 C_1} \end{align*}$

Trace de bode ou réponse en fréquence du filtre passe-haut

La réponse en fréquence ou trace de bode du filtre passe-haut est totalement opposée par rapport à la réponse en fréquence du filtre passe-bas.

En utilisant la fonction de transfert, nous pouvons tracer une réponse en fréquence du circuit du filtre. La courbe d’amplitude et la courbe de phase du tracé de bode pour le filtre passe-haut est comme indiqué dans la figure ci-dessous.

La courbe d’amplitude peut être obtenue par l’amplitude de la fonction de transfert.

$\begin{align*} | H(j \omega)|= \frac{\omega}{\sqrt{\omega^2 + (\frac{1}{RC})^2}} \end{align*}$

La courbe de phase peut être obtenue par l’équation de phase de la fonction de transfert.

$\begin{align*} \theta(j\omega) = 90^\circ - \tan^-^1(\omega RC) \end{align*}$

Trace de magnitude

Comme le montre la courbe de magnitude, elle atténuera la basse fréquence à la pente de +20 db/décade. La région allant d’un point initial à la fréquence de coupure est appelée bande d’arrêt.

Lorsqu’elle franchit la fréquence de coupure, elle va laisser passer le signal. Et la région au-dessus du point de fréquence de coupure est connue comme une bande passante.

Au point de fréquence de coupure, l’amplitude de la tension de sortie est de 70,7% de la tension d’entrée.

Tracé de phase

Au point de fréquence de coupure, l’angle de phase du signal de sortie est de +45 degrés. D’après le tracé de phase, la réponse de sortie du filtre montre qu’il peut passer à une fréquence infinie. Mais en pratique, la réponse de sortie ne s’étend pas à l’infini.

Par une sélection appropriée des composants, la gamme de fréquence du filtre est limitée.

Filtre passe-haut idéal

Le filtre passe-haut idéal bloque tout le signal qui a des fréquences inférieures à la fréquence de coupure. Il prendra une transition immédiate entre la bande passante et la bande d’arrêt.

La réponse en amplitude du filtre passe-haut idéal est comme indiqué dans la figure ci-dessous. L’amplitude restera celle d’origine pour les signaux qui ont une fréquence plus élevée que la fréquence de coupure. Et l’amplitude sera complètement nulle pour les signaux qui ont une fréquence inférieure à la fréquence de coupure. Par conséquent, un filtre passe-haut idéal a une caractéristique d’amplitude plate.

La fonction de transfert du filtre passe-haut idéal est représentée par l’équation ci-dessous :

$\begin{equation*} |H(\omega)| = \begin{cases} 1, |\omega|\omega_c \\\\\ 0, \omega|\omega_c \end{equation*}$

Les caractéristiques de réponse en fréquence d’un filtre passe-haut idéal sont présentées dans la figure ci-dessous.

Ce type de caractéristique idéale d’un filtre passe-haut n’est pas possible pour les filtres pratiques. Mais la caractéristique du filtre de Butterworth est très proche du filtre idéal.

Applications des filtres passe-haut

Les applications des filtres passe-haut comprennent :

Il est utilisé dans les amplificateurs, les égaliseurs et les haut-parleurs pour réduire le bruit à basse fréquence.
Pour accentuer l’image, les filtres passe-haut sont utilisés dans le traitement de l’image.
Il est utilisé dans divers systèmes de contrôle.

	Filtre passe-haut (HPF)	Filtre passe-bas (LPF)
Definition	Le HPF est un filtre électrique qui permet aux signaux dont la fréquence est supérieure à la fréquence de coupure.fréquence de coupure. Il est connu sous le nom de filtre coupe-bas.	LPF est un filtre électrique qui autorise les signaux dont la fréquence est inférieure à la fréquence de coupure. On l’appelle le filtre coupe-haut.
Schéma du circuit	Dans le HPF, le condensateur suivi de la résistance.	Dans le LPF, la résistance suivie du condensateur.
Filtre RC
Fréquence de fonctionnement	Supérieure à la fréquence de coupure.fréquence de coupure	Plus basse que la fréquence de coupure.
Importance	Il est important d’annuler le bruit basse fréquence du signal d’entrée.	Il est important d’annuler l’effet de repliement.	Applications	Il est utilisé dans les amplificateurs comme un amplificateur audio, un amplificateur à faible bruit.	Il est utilisé dans les circuits de communication comme un filtre anti-repliement.