Nombres_infinis – Grands nombres

N0

aleph-null

Aussi connu familièrement comme l’infini. Dans la théorie des transfinis de Cantor, il est connu sous le nom d’aleph-null lorsqu’il est traité comme un nombre cardinal, et d’oméga lorsqu’il est traité comme un nombre ordinal. Dans un sens informel, tous ces concepts sont les mêmes, mais il y a des distinctions techniques importantes à faire. En calcul, l’infini désigne une quantité réelle qui augmente sans limite. Il ne s’agit pas tant d’un nombre que d’une manière d’exprimer le comportement d’une limite. omega fait référence au type d’ordre de l’ensemble des entiers non négatifs. Aleph-null, quant à lui, est défini comme la cardinalité de l’ensemble des nombres entiers positifs. En clair, Aleph-null est le « nombre » des nombres. Le problème est que l’ensemble des nombres entiers positifs est censé représenter toutes les choses que l’on peut vouloir compter. Or, il ne peut pas se compter lui-même. Alors, le « nombre » de nombres, est-il même un nombre ? Cantor le pensait. D’une certaine manière, nous pouvons traiter l’aleph-null comme un nombre, dans la mesure où nous pouvons le comparer à d’autres nombres et déterminer lequel est le plus grand. En utilisant le concept de correspondance biunivoque, Cantor a montré que nous pouvons rationnellement dire que l’aleph-null est plus grand que n’importe quel nombre entier positif, même si la sagesse dominante était que l’infini n’était pas un nombre et ne pouvait être comparé de cette façon. Mais l’acceptation de ce point de vue conduit à des anomalies surprenantes. En utilisant la correspondance biunivoque, nous pouvons montrer qu’il y a autant de nombres pairs, de carrés, de cubes, etc. que d’entiers positifs, malgré le fait qu’ils soient tous des sous-ensembles des entiers positifs. Cela viole le principe selon lequel « le tout est toujours plus grand que toute partie propre du tout ». Ainsi, aleph-null est un nombre tel qu’une partie appropriée de celui-ci est toujours aussi grande… déconcertant. Lorsque nous travaillons avec des nombres finis, nous comprenons implicitement l’exclusivité de « plus grand » par rapport à « égal ». Un nombre ne peut pas être les deux. Par conséquent, lorsqu’une correspondance particulière montre qu’un ensemble fini est plus grand qu’un autre ensemble fini, nous savons qu’il ne peut exister aucune correspondance qui montre qu’ils sont égaux. Ce n’est pas le cas avec les ensembles infinis ! Même si nous avons une correspondance qui montre que l’un est plus grand que l’autre, cela ne signifie pas nécessairement qu’il n’existe pas de correspondance montrant qu’ils sont égaux. Dans l’univers cantorien des cardinaux, pour qu’un infini soit vraiment plus grand qu’un autre infini, il faut montrer qu' »il n’existe AUCUNE correspondance biunivoque ». Puisqu’il doit exister un nombre infini de telles correspondances, il n’est pas possible de les vérifier individuellement. Il est nécessaire d’apporter une preuve qui démontre l’impossibilité d’une telle correspondance. On pourrait supposer que toutes les infinités sont essentiellement les mêmes et peuvent être mises en correspondance biunivoque les unes avec les autres. La chose étonnante que Cantor a faite cependant a été de montrer qu’il y avait des infinis qui ne pouvaient pas être mis en correspondance biunivoque avec aleph-null. Ainsi, Cantor a montré qu’il n’y avait pas une infinité … mais une infinité d’infinités … (Voir aleph-one). C’est le paradis, ou le cauchemar, de Cantor, selon votre point de vue.

w+1

oméga et un

C’est le plus petit nombre ordinal après « oméga ». De manière informelle, on peut y penser comme l’infini plus un. Une formulation des ordinaux consiste à les traiter comme des ensembles de tous les ordinaux plus petits. Pour dire que oméga et un sont « plus grands » que « oméga », nous définissons la grandeur comme signifiant qu’un ordinal est plus grand qu’un autre si le plus petit ordinal est inclus dans l’ensemble du plus grand. L’ensemble w+1 serait {w,0,1,2,3,…}. Il serait composé de tous les entiers non négatifs plus oméga. Ainsi, selon cette définition, w+1 est plus grand. Cependant, puisque la cardinalité de chaque ordinal est représentée par la cardinalité de son ensemble, nous pouvons également montrer que, dans un sens, w = w+1, puisque w={0,1,2,3,…} et w+1={w,0,1,2,…} nous pouvons apparier les arguments comme suit : {(0,w),(1,0),(2,1),(3,2),…}, ce qui montre que les deux ensembles ont le même nombre d’éléments, même si w+1 en comprend un de plus. Vous ne comprenez pas ? En fait, il existe deux façons de considérer la comparaison des infinis : la vue cardinale et la vue ordinale. Selon le point de vue ordinal, oméga et un sont plus grands, selon le point de vue cardinal, oméga et oméga plus un sont la même chose. Les cardinaux ne jouent pas un grand rôle en googologie, mais les ordinaux dénombrables oui. Donc, pour nos besoins, la distinction entre w et w+1 est importante.

w+2

omega et deux

Tout comme nous pouvons étendre les grands nombres de façon arbitraire, nous pouvons faire de même avec l’ordinal w. Il suffit de penser à  » w  » comme à un TRES grand nombre. Nous pouvons donc lui ajouter un, ou deux, ou avoir ….

2w

two omega

2w+1

two omega and one

2w+2

two omega and two

3w

three omega

w2

oméga au carré

w2+1

oméga au carré et un

w2+w

oméga au carré et omega

w2+w+1

oméga au carré, omega et un

2w2

deux omega au carré

w3

oméga-cubé

ww

φ(w,0)

oméga à l’oméga

ww^w

oméga à l’oméga à l’oméga

ε0

φ(0,1)

epsilon-zéro

Cantor a donné à cet ordinal le nom particulier d’epsilon-zéro. Qu’est-ce que c’est ? C’est le plus petit ordinal plus grand que tout ordinal que l’on peut « nommer » en utilisant l’addition, la multiplication et l’exponentiation avec le symbole w. En d’autres termes :

e0 = lim{w,w^w,w^w^w,w^w^w,…}

En d’autres termes, e0 = w^w^w^… où il y a oméga w. On peut le définir comme le plus petit ordinal « a », tel que a=w^a. Cela implique que e0=w^e0. Bizarre. C’est aussi égal à phi(0,1) dans la hiérarchie des points fixes de Veblen.

De manière informelle, vous pouvez y penser comme une tour de puissance d’infinis ! On peut également l’appeler de manière informelle w^^w.

Cet ordinal est en fait important pour nous car il représente la taille des tableaux tétrationnels de Jonathan Bowers. Non seulement les tableaux tétrationnels de Bowers ont une arité exacte d’epsilon-zéro (un tableau tétrationnel est bien défini tant que seul un nombre fini d’entrées est supérieur à 1. Les autres sont toutes égales à 1 par défaut. Si nous utilisons les ordinaux pour compter toutes les entrées dans l’espace tetrationnel, il y a exactement epsilon-zéro d’entrées), mais la fonction epsilon-zéro de la hiérarchie à croissance rapide a un taux de croissance équivalent aux tableaux tetrationnels. Epsilon-zéro représente également une impasse importante. Jusqu’à ce point, la notation est assez naturelle et il existe un accord universel sur la façon de « nommer » les ordinaux inférieurs à epsilon-zéro et sur la façon de déterminer lequel de ces deux ordinaux est le plus grand. Cependant, à epsilon-zéro, nous commençons à rencontrer des problèmes. Il existe au moins deux façons différentes de continuer à nommer les ordinaux, et certaines expressions sont difficiles à interpréter, comme w^^(w+1). Le fait est que nous sommes obligés de faire certains choix de notation après ce point, et aucun d’entre eux ne suit aussi naturellement que jusqu’à epsilon-zéro. Il existe cependant une extension largement acceptée, connue sous le nom de hiérarchie de Veblen. Malheureusement, cette extension est radicalement différente de celle de Bowers jusqu’aux ordinaux pentagonaux et au-delà. La question de savoir comment convertir les ordinaux de Bowers en ordinaux de Veblen reste ouverte.

ε0+1

epsilon-zéro et un

Qu’y a-t-il de si difficile à continuer… il suffit d’en ajouter un. Eh bien évidemment, nous pouvons toujours ajouter un dans le système des ordinaux, tout comme nous le faisons avec les nombres finis (cela suggère qu’il n’y a PAS de plus grand ordinal, tout comme il n’y a pas de plus grand entier). Le problème n’est pas tant d’en ajouter un. C’est ce qui se passe quand on continue plus loin….

w^(ε0+1) / w*ε0

oméga à l’epsilon-zéro et un / oméga epsilon-zéro

Nous rencontrons ici un de nos premiers problèmes, certes assez mineur. Il existe plus d’une notation ordinale possible que nous pourrions utiliser. Dans la première version, nous nous dirigeons vers une pile d’oméga, dans la seconde vers une pile d’epsilon-zéro. Vous verrez ce que je veux dire en poursuivant

w^w^(ε0+1) / ε0^w

oméga à l’oméga à l’epsilon-.zéro et un / epsilon-zéro à l’oméga

Malgré le fait que nous avons au moins deux façons différentes d’écrire les ordinaux après epsilon-zéro, la bonne nouvelle est qu’il n’est pas trop difficile jusqu’à présent de créer une correspondance entre eux. En d’autres termes, nous pouvons convertir une notation en l’autre et ainsi comparer les ordinaux dans les deux systèmes et déterminer lequel est le plus grand. La clé de cette conversion est la définition e0=w^e0. En l’utilisant, nous pouvons convertir la première forme en la seconde comme suit :

w^w^(e0+1) = w^(w*w^e0) = (w^w^e0)^w = (w^e0)^w = e0^w

Cela demande un peu d’habitude, mais w^e0 est simplement e0, alors que w^(e0+1) > e0. En fait c’est pire que cela car e0 = w^e0 = w^w^e0 = w^w^w^e0 = … etc.

ε0^ε0

epsilon-zéro à l’epsilon-zéro

C’est un ordinal cool. C’est epsilon-zéro élevé à l’epsilon-zéro. Qu’est-ce que c’est dans la forme normalisée de Cantor ? Voyons (rappelons que e0=w^e0):

e0^e0 = (w^e0)^e0 = w^(e0*e0) = w^(w^e0*w^e0) = w^w^(2e0)

Bizarre. Malgré tout, il semble que les ordinaux après epsilon-zéro se comportent bien jusqu’à présent. Quelle est la limite de l’extension de e0 en utilisant l’exponentiation cependant….

ε1

φ(1,1)

epsilon-one

Epsilon-one est la prochaine grande étape dans la hiérarchie des points fixes de Veblen. Epsilon-one peut être défini comme le plus petit ordinal plus grand que tout ordinal exprimable en utilisant uniquement l’addition, la multiplication et l’exponentiation sur les ordinaux « w » et « e0 ». Une façon de le définir est la suivante :

e1 = lim{e0+1,w^(e0+1),w^w^(e0+1),w^w^w^(e0+1),…}

Maintenant que vous avez vu cela, vous pouvez probablement deviner ce qui se passe ensuite….

ε2

φ(2,1)

epsilon-deux

Epsilon-deux est la limite des expressions utilisant w,e0 et e1 :

e2 = lim{e1+1,w^(e1+1),w^w^(e1+1),…}

εw

φ(w,1)

epsilon-omega

Maintenant que nous avons établi une règle générale, nous pouvons continuer à tout indice ordinal d’epsilon …. y compris les ordinaux infinis. YIKES …

εw^w

φ(w^w,1)

epsilon-oméga-to-the-omega

εe0

φ(φ(0,1),1)

epsilon-epsilon-zéro

εe(e0)

φ(φ(0,1),1),1)

epsilon-epsilon-epsilon-zero

εe(e(e(…

φ(0,2)

Ordinal limite d’Epsilon / zeta-minor-naught

Nous atteignons ici la limite de l’idée de « nombres d’Epsilon ». Cet ordinal est parfois appelé zeta-naught. Cependant, j’ai évité d’utiliser cette notation ici, car j’ai réservé le zeta-naught pour l’hypothétique ordinal w^^^w. Il est peu probable que cet ordinal soit aussi grand. Pourtant, c’est un ordinal plutôt cool. C’est généralement le plus grand ordinal mentionné dans une discussion populaire sur les ordinaux transfinis de Cantor. C’est probablement parce qu’après cela, nous devons développer un moyen plus généralisé pour continuer et cela devient beaucoup moins naturel et plus technique. La plupart des auteurs considéreraient cela comme suffisant comme introduction aux ordinaux de Cantor. Après cela, cela commence à devenir quelque peu académique…

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