Notes sur la pression hydrostatique

On considère d’abord le cas de base d’un fluide stagnant, où seules les forces de poids et de pression sont jugées significatives. On définit un système de coordonnées (x, y, z) où l’axe vertical z pointe vers le haut. Ici, la pression absolue p est par définition hydrostatique, c’est-à-dire $p=p_{\mathrm{h}}.$ Appelant $\rho $ la densité locale du fluide et g l’accélération de la gravité, un équilibre des forces verticales sur un élément fluide donne le résultat bien connu :

$\begin{aligned}. \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g \end{aligned}$

(1)

Le côté gauche est en fait une dérivée exacte puisque p se trouve également être indépendant des coordonnées horizontales. Dans des situations pratiques où la densité du fluide est uniforme, l’équation. (1) donne

$\begin{aligned} p=p_0 -\rho gz \end{aligned}$

(2)

À ce stade, $p_{0}$ n’est qu’une constante d’intégration calée sur un choix d’origine pour l’axe z.

Pour toute fonction d’espace (champ) f définie dans un volume fermé V délimité par la surface S, le théorème de divergence de Gauss énonce que

$\begin{aligned} -\int \!\!\ !\ !\!\int \!\!\int _{V} {\nabla f~\mathrm{d}V}=\int \!\!\!\int _{\mathrm{S}} {f{\vec {n}}\;\mathrm{d}S}, \end{aligned}$

(3)

où le signe moins dans la partie gauche indique que la normale ${\vec {n}}$ à S pointe vers l’intérieur, et $\nabla f$ est le gradient de f. Lorsque $f=p$, le côté droit représente la force de pression exercée par le fluide sur le corps.

Considérons un corps de volume ${{mathcal {V}_{\mathrm{w}}}$ complètement immergé dans l’eau (densité $\rho _{\mathrm{w}})$. Lorsque l’équation (3) est appliquée dans ce cas avec $f=p$, la composante verticale (non nulle) de la force de pression hydrostatique $F_{\mathrm{w}}$ est déterminée et le résultat familier d’Archimède est obtenu : ${F_{\mathrm{w}} =\rho _{\mathrm{w}} g{mathcal {V}_{\mathrm{w}}$. Pour les corps flottants, le volume immergé ${{\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}$ est limité non seulement par la surface mouillée ${{\mathcal {S}}_{\mathrm{w}}$, comme précédemment, mais aussi par la surface du plan d’eau ${{\mathcal {S}}_{0}}$. Cela suggère un choix naturel pour l’origine de l’axe z à la surface de l’eau ; en conséquence, $p_{0}$ est la pression atmosphérique (au ‘niveau de l’eau’). Ici, le théorème de divergence donne

$\begin{aligned} {F_{\mathrm{w}}=\rho _{\mathrm{w}}g{\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}+p_{0}{\mathcal {S}_{0}}

(4)

Avec $p_{0}$ environ un ordre de grandeur plus grand que $\rho _{\mathrm{w}} g$, il semble difficile ou arbitraire d’ignorer simplement le terme résultant des forces de pression qui s’exerceraient sur ${{\mathcal {S}}_{0}}$ (en général, ${{\mathcal {S}}_{0}}$ n’est pas une limite physique à moins que le corps ne flotte exactement à fleur de la surface de l’eau). Pour résoudre le problème, la surface sèche du corps ${{\mathcal {S}}_{\mathrm{A}}$ peut également être considérée. Sans perte de généralité, le corps peut être considéré comme convexe, avec un volume sec ${{\mathcal {V}}_\mathrm{A}}$ limité par ${{\mathcal {S}}}_{\mathrm{A}}$ et ${{\mathcal {S}}_{0}}$. Dans ce cas, le volume total est de ${{\mathcal {V}}={\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} +{\mathcal {V}}_\mathrm{A}}$ comme illustré sur la Fig. 1. Tant que la densité de l’air $\rho _\mathrm{A}$ ne varie pas beaucoup, la pression atmosphérique peut s’écrire sous la forme $p_\mathrm{A}=p_0-\rho _\mathrm{A}gz$. Le théorème de divergence peut être appliqué au volume sec pour déterminer la force de pression verticale $F_{\mathrm{A}}$ exercée par l’air sur le corps:

$\begin{aligned} {F_\mathrm{A} =\rho _\mathrm{A} g {\mathcal {V}}_\mathrm{A} -p_0{\mathcal {S}}_0} \end{aligned}$

(5)

Il s’ensuit que la force verticale globale du fluide F est égale à

$\begin{aligned} {F=g(\rho _{\mathrm{w}}{\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} +\rho _\mathrm{A} {\mathcal {V}}_\mathrm{A} )} \end{aligned}$

(6)

Le moment exercé par les forces de forces de pression du fluide autour de l’origine est

$\begin{aligned} {\vec {M}}= & {} \int \!\! \int _{S} {{\c {r}\times p{\vec {n}\\N{\i}\N{\i1}mathrm{d}S}\\\= & {} \int \!\! \int _{\mathcal {S}}_{\mathrm{w}} } {{\vec {r}}\times p_{\mathrm{w}} {\vec {n}}\,\mathrm{d}S} + \int \!\!\int _{{\mathcal {S}}_\mathrm{A}} } {{\vec {r}}\times p_\mathrm{A} {\vec {n}}\,\mathrm{d}S}, \end{aligned}$

où ${\vec {r}}$ est le vecteur de position. Après avoir développé les produits croisés et exprimé la pression via l’équation (2) dans l’eau et dans l’air, il est simple de montrer que, en appliquant le théorème de divergence de Gauss, seules les intégrandes contenant $zn_{z}$ contribuent aux termes non nuls. Plus précisément, on obtient

$\begin{aligned} {{\vec {M}}=\rho _{\mathrm{w}} g\int \!\ !\int _{{mathcal {S}}_{\mathrm{w}}{\left( {\begin{array}{c} -yz \\\ xz \\\\\\\ 0 \\\end{array}}\right) } n_{z}\,\mathrm{d}S+\\rho _{\mathrm{A} g \int!\!\int _{\mathcal {S}}_\mathrm{A} } {\left( {\begin{array}{c} -yz \\ xz \\\\ 0 \\\end{array}}\right) }n_{z}\,\mathrm{d}S} \end{aligned}$

Let $C_{\mathrm{w}}=(x_{{mathrm{w}} (x_{\mathrm{w}),y_{\mathrm{w}},z_{\mathrm{w}})$ and $C_\mathrm{A}=(x_\mathrm{A},y_\mathrm{A},z_\mathrm{A})$ sont les centres de volume de ${{\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}$ et ${{\mathcal {V}}_{\mathrm{A}}$, respectivement. L’application de l’équation (3) avec $f =yz$ et $f=xz$ conduit à la forme finale suivante:

$\begin{aligned} {{\vec {M}}=g\left( {\begin{array}{c} \rho _{\mathrm{w}} {\mathcal {V}}_{{\mathrm{w}} y_{\mathrm{w}} +\rho _\\mathrm{A} {\mathcal {V}}_\mathrm{A} y_\mathrm{A} \rho _{\mathrm{w}} -\rho _{\mathrm{w} {\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} x_{\mathrm{w}} -\rho _\mathrm{A} {\mathcal {V}}_\mathrm{A} x_{\mathrm{A} \\\\N- 0 \N-\N-\N- droit) } \end{aligned}$

(7)

Parce que $\rho _\mathrm{A}\ll \rho _{\mathrm{w}}$, de près de trois ordres de grandeur, les termes provenant des forces de pression de l’air peuvent être négligés dans les Eqs. (6) et (7) tant que ${{\mathcal {V}}_\mathrm{A}}$ n’est pas beaucoup plus grand que ${{\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} $. Ici, les formules hydrostatiques traditionnelles pour un corps flottant sont dérivées sans faire aucune hypothèse sur $p_{0},$ mais en invoquant le fait que la densité de l’air est beaucoup plus faible que celle de l’eau. En fait, $p_{0}$ n’apparaît pas explicitement dans les résultats ci-dessus. De même, le cas des corps immergés est retrouvé si nous fixons $\rho _\mathrm{A}=\rho _{\mathrm{w}} $ dans les équations (6) et (7).

Avec des corps flottants concaves, pour lesquels ${{\mathcal {V}}={\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} -{\mathcal {V}}_\mathrm{A}}$, une approche similaire peut être suivie. De telles géométries sont peut-être plus représentatives des coques de navires. Les résultats sont donnés ci-dessous mais les détails sont omis :

$\begin{aligned}}. F= & {} g(\rho _{\mathrm{w}} {\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}-\rho _{\mathrm{A} {\mathcal {V}}_\mathrm{A})\end{aligned}$

(8)

$\begin{aligned} {\vec {M}}= & {} g\left( {\begin{array}{c} \rho _{\mathrm{w}} {\mathcal {V}}_{{\mathrm{w}} y_{\mathrm{w}} -\rho _\\mathrm{A} {\mathcal {V}}_\mathrm{A} y_{\mathrm{A} \rho _{\mathrm{w}} -\rho _{\mathrm{w} {\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} x_{\mathrm{w}} +\rho _\mathrm{A} {\mathcal {V}}_\mathrm{A} x_{\mathrm{A} \\N 0 \N\N\N\N\N\N\N\N – droit) \N\N

(9)

Dans ce qui suit, $\rho _\mathrm{A}\N\N\N\N\N\N\N\N-) est négligé, et comme il a été démontré que les forces globales du fluide sur le corps sont indépendantes de \(p_{0}$, $p_{0}$ peut également être fixé à 0.

Il convient de noter que de nombreux manuels courants d’architecture navale énoncent le principe d’Archimède comme point de départ pour l’étude de la stabilité des navires, sans exprimer explicitement la pression hydrostatique et résoudre les forces hydrostatiques appliquées sur les corps immergés ou flottants (par ex, Gillmer et Jonhson 1982 ; Lewis 1988 ; Zubaly 1996 ; Tupper 2004). Parfois, $p_{0}$ est implicitement fixé à zéro comme dans Newman (1977), où la pression atmosphérique est formellement prise en compte lors de la dérivation des potentiels de vagues (c’est-à-dire l’équation (3), p. 239), mais est ensuite omise lors du traitement des réponses du corps dans les vagues (c’est-à-dire l’équation (129), p. 289). D’autres auteurs reconnaissent que $p_{0}$ agit également sur la superstructure d’un corps flottant ; ils affirment (Molin 2002) ou démontrent sur une forme simple (Biran 2003) que $p_{0}$ n’entraîne aucune force nette sur le corps entier et peut donc être mis à zéro. Semyonov-Tyan-Shansky (1966) se distingue en fournissant une dérivation précise de l’équation (8) dans le cas pratique de corps flottants minces et concaves similaires aux coques de navires ${({\mathcal {V}_{\mathrm{w}} ={\mathcal {V}_\mathrm{A} )}$, conduisant à l’équation (4.17), p. 19.

Lorsqu’un corps flottant est déplacé verticalement sur une distance Z (sans perturber le fluide), la force verticale change d’une quantité égale à ${\delta F_{\mathrm{w}} =\rho _{\mathrm{w}} g\delta {\mathcal {V}_{\mathrm{w}}}. $, où le volume immergé (algébrique) incrémentiel ${\delta {\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} $ est limité par les surfaces ${{\mathcal {S}}_{0},{\mathcal {S}}_{1}}$ et ${{\mathcal {S}}_{\mathrm{ring}}$, comme illustré sur la Fig. 2. Notez que si Z est petit, l’intégrale des forces de pression hydrostatique sur ${{\mathcal {S}}_{\mathrm{ring}}$ est d’ordre $Z^{2}$ et peut être négligée ; dans ce cas, la seule contribution non nulle à la force verticale incrémentielle est égale à ${-\rho _{\mathrm{w}}g{\mathcal {S}_{0}Z}$, un résultat bien connu pour la force de rappel hydrostatique dans l’analyse linéarisée du mouvement des corps flottants. Bien que ces résultats soient plutôt évidents, le cas de corps flottants déplacés verticalement dans un fluide stagnant a été principalement considéré pour mettre en évidence le fait que l’effet d’un champ de vagues sur la pression hydrostatique est fondamentalement différent de l’effet du mouvement du corps.

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