Hinweise zum hydrostatischen Druck

Zunächst wird der Grundfall eines stehenden Fluids betrachtet, bei dem nur Gewichts- und Druckkräfte als bedeutend angesehen werden. Es wird ein (x, y, z)-Koordinatensystem definiert, bei dem die vertikale z-Achse nach oben zeigt. Hier ist der absolute Druck p per Definition hydrostatisch, d.h. $p=p_{\mathrm{h}}.$ Nimmt man $\rho $ die lokale Flüssigkeitsdichte und g die Erdbeschleunigung, so ergibt eine Bilanzierung der vertikalen Kräfte auf ein Flüssigkeitselement das bekannte Ergebnis:

$$begin{aligned} \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g \end{aligned}$

(1)

Die linke Seite ist eigentlich eine exakte Ableitung, da p auch als unabhängig von den horizontalen Koordinaten gefunden wird. In praktischen Situationen, wenn die Flüssigkeitsdichte gleichmäßig ist, liefert Gl. (1) ergibt

$$begin{aligned} p=p_0 -\rho gz \end{aligned}$

(2)

In diesem Stadium ist $p_{0}$ lediglich eine Integrationskonstante, die von der Wahl des Ursprungs der z-Achse abhängt.

Für jede Raumfunktion (Feld) f, die in einem geschlossenen Volumen V definiert ist, das durch die Oberfläche S begrenzt wird, besagt der Gaußsche Divergenzsatz, dass

$$begin{aligned} -\int \!\!\int _{V} {f~\mathrm{d}V}=\int \!\!\int _{\mathrm{S}} {f{\vec {n}}\;\mathrm{d}S}, \end{aligned}$

(3)

wobei das Minuszeichen auf der linken Seite anzeigt, dass die Normale ${\vec {n}}$ zu S nach innen zeigt, und $\nabla f$ der Gradient von f ist. Wenn $f=p$, stellt die rechte Seite die Druckkraft dar, die von der Flüssigkeit auf den Körper ausgeübt wird.

Betrachten Sie einen Körper mit dem Volumen ${\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}), der vollständig in Wasser (Dichte \({\rho _{\mathrm{w}})$ eingetaucht ist. Wenn Gleichung (3) in diesem Fall mit $f=p$ angewendet wird, wird die vertikale (von Null verschiedene) Komponente der hydrostatischen Druckkraft $F_{\mathrm{w}}$ bestimmt und man erhält das bekannte Ergebnis von Archimedes: $F_{\mathrm{w}} =\rho _{\mathrm{w}} g{\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}$. Bei schwimmenden Körpern wird das eingetauchte Volumen ${{\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}) nicht nur wie bisher durch die benetzte Fläche \({{\mathcal {S}}_{\mathrm{w}}) begrenzt, sondern auch durch die Wasserebenenfläche \({{\mathcal {S}}_{0}}$. Dies legt eine natürliche Wahl für den Ursprung der z-Achse an der Wasseroberfläche nahe; dementsprechend ist $p_{0}$ der atmosphärische Druck (auf „Wasserhöhe“). Hier ergibt der Divergenzsatz

$$begin{aligned} {F_{\mathrm{w}}=\rho _{\mathrm{w}}g{\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}+p_{0}{\mathcal {S}}_{0}} \end{aligned}$

(4)

Wenn $p_{0}$ etwa eine Größenordnung größer ist als $\rho _{\mathrm{w}} g$, scheint es schwierig oder willkürlich, den Term, der sich aus den Druckkräften ergibt, die auf ${{\mathcal {S}}_{0}}$ ausgeübt würden, einfach zu ignorieren (im Allgemeinen ist ${{\mathcal {S}}_{0}}$ keine physikalische Grenze, es sei denn, der Körper schwimmt genau auf der Wasseroberfläche). Um das Problem zu lösen, kann auch die trockene Oberfläche des Körpers ${{\mathcal {S}}_{\mathrm{A}}$ betrachtet werden. Mit geringem Verlust an Allgemeingültigkeit kann der Körper als konvex angenommen werden, mit einem Trockenvolumen ${{\mathcal {V}}_\mathrm{A}}$, das durch ${{\mathcal {S}}_{\mathrm{A}}}$ und ${{\mathcal {S}}_{0}}$ begrenzt wird. In diesem Fall ist das Gesamtvolumen ${{\mathcal {V}}={\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} + {\mathcal {V}}_\mathrm{A}}$, wie in Abb. 1 dargestellt. Solange die Dichte der Luft $\rho _\mathrm{A}$ nicht stark variiert, kann der Luftdruck als $p_\mathrm{A}=p_0-\rho _\mathrm{A}gz$ geschrieben werden. Das Divergenztheorem kann auf das Trockenvolumen angewendet werden, um die vertikale Druckkraft \(F_{\mathrm{A}}) zu bestimmen, die von der Luft auf den Körper ausgeübt wird:

$$begin{aligned} {F_\mathrm{A} =\rho _\mathrm{A} g {\mathcal {V}}_\mathrm{A} -p_0{\mathcal {S}}_0} \end{aligned}$

(5)

Daraus folgt, dass die gesamte vertikale Fluidkraft F gleich

$$\begin{aligned} {F=g(\rho _{\mathrm{w}}{\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} +\rho _\mathrm{A} {\mathcal {V}}_\mathrm{A} )} \end{aligned}$

(6)

Das Moment, das durch Fluiddruckkräfte um den Ursprung ausgeübt wird, ist

$$begin{aligned} {\vec {M}}= & {} \int \!\! & {} \int \!\! \int _{{\mathcal {S}}_{\mathrm{w}} } {\vec {r}}\times p_{\mathrm{w}} {\vec {n}},\mathrm{d}S} +\int \!\!\int _{{\mathcal {S}}_\mathrm{A} } {\vec {r}}\mal p_\mathrm{A} {\vec {n}}\,\mathrm{d}S}, \end{aligned}$

wobei ${\vec {r}}$ der Positionsvektor ist. Nachdem wir die Kreuzprodukte expandiert und den Druck über Gl. (2) sowohl in Wasser als auch in Luft ausgedrückt haben, ist es einfach zu zeigen, dass unter Anwendung des Gaußschen Divergenztheorems nur Integranden, die $zn_{z}$ enthalten, von Null verschiedene Terme beitragen. Genauer gesagt, erhalten wir

$$begin{aligned} {{\vec {M}}=\rho _{\mathrm{w}} g\int \!\!\int _{{\mathcal {S}}_{\mathrm{w}}}{\left( {\begin{array}{c} -yz \\\ xz \\\ 0 \\\ \end{array}}\right) } n_{z}\,\mathrm{d}S+\rho _\mathrm{A} g \int \!\!\int _{\mathcal {S}}_\mathrm{A} } \left( {\begin{array}{c} -yz \\\ xz \\\ 0 \\\ \end{array}}\right) }n_{z}\,\mathrm{d}S} \end{aligned}$

Let $C_{\mathrm{w}}=(x_{\mathrm{w}},y_{\mathrm{w}},z_{\mathrm{w}})$ and $C_\mathrm{A}=(x_\mathrm{A},y_\mathrm{A},z_\mathrm{A})$ sind die Volumenmittelpunkte von ${{\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}}) bzw. \({\mathcal {V}}_{\mathrm{A}}}). Die Anwendung von Gl. (3) mit \(f =yz$ und $f=xz$ führt zu folgender Endform:

$$begin{aligned} {{\vec {M}}=g\left( {\begin{array}{c} \rho _{\mathrm{w}} {\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} y_{\mathrm{w}} +\rho _\mathrm{A} {\mathcal {V}}_\mathrm{A} y_\mathrm{A} -\rho _\mathrm{w}} {\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} x_{\mathrm{w}} -\rho _\mathrm{A} {\mathcal {V}}_\mathrm{A} x_\mathrm{A} \\ 0 \end{array}}\right) } \end{aligned}$

(7)

Da $\rho _\mathrm{A}\ll \rho _{\mathrm{w}}$ um fast drei Größenordnungen vernachlässigt werden kann, können die Terme aus den Luftdruckkräften in Gls. (6) und (7) vernachlässigt werden, solange ${{\mathcal {V}}_\mathrm{A}}$ nicht viel größer als ${{\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}} $ ist. Hier werden die traditionellen hydrostatischen Formeln für einen schwimmenden Körper hergeleitet, ohne eine Annahme über $p_{0},$ zu treffen, sondern unter Berufung auf die Tatsache, dass die Dichte von Luft viel kleiner ist als die von Wasser. Tatsächlich wird $p_{0}$ in den obigen Ergebnissen nicht explizit erwähnt. Auch der Fall von eingetauchten Körpern wird wiederhergestellt, wenn wir $\rho _\mathrm{A}=\rho _{\mathrm{w}} $ in Gleichungen (6) und (7) setzen.

Bei konkaven Schwimmkörpern, für die gilt: {{\mathcal {V}}={\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} -{\mathcal {V}}_\mathrm{A}}\), kann ein ähnlicher Ansatz verfolgt werden. Solche Geometrien sind vielleicht repräsentativer für Schiffsrümpfe. Die Ergebnisse sind unten angegeben, aber Details werden weggelassen:

$\begin{aligned} F= & {} g(\rho _{\mathrm{w}} {\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}-\rho _\mathrm{A} {\mathcal {V}}_\mathrm{A})\end{aligned}$

(8)

$$begin{aligned} {\vec {M}}= & {} g\left( {\begin{array}{c} \rho _{\mathrm{w}} {\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} y_{\mathrm{w}} -\rho _\mathrm{A} {\mathcal {V}}_\mathrm{A} y_\mathrm{A} -\rho _\mathrm{w}} {\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} x_{\mathrm{w}} +\rho _\mathrm{A} {\mathcal {V}}_\mathrm{A} x_\mathrm{A} \\ (9)

Im Folgenden wird $\rho _\mathrm{A}\ll \rho _\mathrm{w}} $ vernachlässigt und da sich gezeigt hat, dass die gesamten Fluidkräfte auf den Körper unabhängig von $p_{0}$ sind, kann $p_{0}$ auch auf 0 gesetzt werden.

Es ist anzumerken, dass in vielen gängigen Lehrbüchern der Schiffbaukunst das Archimedische Prinzip als Ausgangspunkt für die Untersuchung der Schiffsstabilität genannt wird, ohne dass der hydrostatische Druck explizit ausgedrückt und die auf getauchte oder schwimmende Körper wirkenden hydrostatischen Kräfte aufgelöst werden (z.B., Gillmer und Jonhson 1982; Lewis 1988; Zubaly 1996; Tupper 2004). Manchmal wird $p_{0}$ implizit auf Null gesetzt, wie bei Newman (1977), wo der atmosphärische Druck formal bei der Ableitung von Wellenpotentialen berücksichtigt wird (d.h. Gleichung (3), S. 239), aber später weggelassen wird, wenn es um die Reaktion des Körpers in Wellen geht (d.h. Gleichung (129), S. 289). Andere Autoren erkennen an, dass $p_{0}$ auch auf den Aufbau eines schwimmenden Körpers wirkt; sie stellen entweder fest (Molin 2002) oder demonstrieren an einer einfachen Form (Biran 2003), dass $p_{0}$ zu keiner Nettokraft auf den gesamten Körper führt und daher auf Null gesetzt werden kann. Semyonov-Tyan-Shansky (1966) zeichnet sich dadurch aus, dass er eine genaue Ableitung von Gl. (8) für den praktischen Fall dünner konkaver Schwimmkörper ähnlich wie Schiffsrümpfe ${({\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} ={\mathcal {V}}_\mathrm{A} )}$ liefert, was zu Gleichung (4.17), S. 19.

Wenn ein schwebender Körper über eine Strecke Z vertikal verschoben wird (ohne die Flüssigkeit zu stören), ändert sich die vertikale Kraft um einen Betrag gleich ${\delta F_{\mathrm{w}} =\rho _{\mathrm{w}} g\delta {\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}} $, wobei das inkrementelle (algebraische) überflutete Volumen ${\delta {\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}} $ durch die Oberflächen ${\mathcal {S}}_{0},{\mathcal {S}}_{1}}$ und ${\mathcal {S}}_{\mathrm{ring}}}) begrenzt wird, wie in Abb. 2. Beachten Sie, dass, wenn Z klein ist, das Integral der hydrostatischen Druckkräfte über \({{\mathcal {S}}_{\mathrm{ring}}}) von der Ordnung \(Z^{2}$ ist und vernachlässigt werden kann; in diesem Fall ist der einzige von Null verschiedene Beitrag zur inkrementellen Vertikalkraft gleich ${-\rho _{\mathrm{w}}g{\mathcal {S}}_{0}Z}$, ein bekanntes Ergebnis für die hydrostatische Rückstellkraft in der linearisierten Analyse der Bewegung von Schwimmkörpern. Während diese Ergebnisse ziemlich offensichtlich sind, wurde der Fall von vertikal verschobenen schwimmenden Körpern in einer stehenden Flüssigkeit in erster Linie betrachtet, um die Tatsache hervorzuheben, dass die Wirkung eines Wellenfeldes auf den hydrostatischen Druck sich grundlegend von der Wirkung der Körperbewegung unterscheidet.

Hinweise zum hydrostatischen Druck

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