1.5: Analisi dimensionale
Obiettivi di apprendimento
- Trovare le dimensioni di un’espressione matematica che coinvolge quantità fisiche.
- Determinare se un’equazione che coinvolge quantità fisiche è dimensionalmente coerente.
La dimensione di qualsiasi quantità fisica esprime la sua dipendenza dalle quantità di base come un prodotto di simboli (o potenze di simboli) che rappresentano le quantità di base. La tabella \(\PageIndex{1}) elenca le quantità di base e i simboli usati per la loro dimensione. Per esempio, una misura di lunghezza si dice che ha dimensione L o L1, una misura di massa ha dimensione M o M1, e una misura di tempo ha dimensione T o T1. Come le unità, le dimensioni obbediscono alle regole dell’algebra. Così, l’area è il prodotto di due lunghezze e quindi ha dimensione L2, o lunghezza al quadrato. Allo stesso modo, il volume è il prodotto di tre lunghezze e ha dimensione L3, o lunghezza al cubo. La velocità ha dimensione lunghezza nel tempo, L/T o LT-1. La densità di massa volumetrica ha dimensione M/L3 o ML-3, o massa su lunghezza al cubo. In generale, la dimensione di qualsiasi quantità fisica può essere scritta come
\
per alcune potenze a, b, c, d, e, f, e g. Possiamo scrivere le dimensioni di una lunghezza in questa forma con a = 1 e le restanti sei potenze tutte messe uguali a zero:
\
| Quantità di base | Simbolo della dimensione |
|---|---|
| Lunghezza | L |
| Massa | M |
| Tempo | T |
| Corrente | I |
| Temperatura Termodinamica | \(\Teta\) |
| Quantità di sostanza | N |
| Intensità luminosa | J |
I fisici spesso usano parentesi quadre intorno al simbolo di una grandezza fisica per rappresentare le dimensioni di quella grandezza. Per esempio, se r è il raggio di un cilindro e h è la sua altezza, allora scriviamo = L e = L per indicare che le dimensioni del raggio e dell’altezza sono entrambe quelle della lunghezza, o L. Allo stesso modo, se usiamo il simbolo A per la superficie di un cilindro e V per il suo volume, allora = L2 e = L3. Se usiamo il simbolo m per la massa del cilindro e \(\rho\) per la densità del materiale di cui è fatto il cilindro, allora = M e = ML-3.
L’importanza del concetto di dimensione deriva dal fatto che qualsiasi equazione matematica che metta in relazione quantità fisiche deve essere dimensionalmente coerente, il che significa che l’equazione deve obbedire alle seguenti regole:
- Ogni termine di un’espressione deve avere le stesse dimensioni; non ha senso aggiungere o sottrarre quantità di dimensioni diverse (si pensi al vecchio detto: “Non si possono aggiungere mele e arance”). In particolare, le espressioni su ogni lato dell’uguaglianza in un’equazione devono avere le stesse dimensioni.
- Gli argomenti di qualsiasi funzione matematica standard come le funzioni trigonometriche (come seno e coseno), logaritmi o funzioni esponenziali che appaiono nell’equazione devono essere senza dimensione. Queste funzioni richiedono numeri puri come input e danno numeri puri come output.
Se una di queste regole è violata, un’equazione non è dimensionalmente coerente e non può essere un’affermazione corretta della legge fisica. Questo semplice fatto può essere usato per controllare gli errori di battitura o di algebra, per aiutare a ricordare le varie leggi della fisica, e anche per suggerire la forma che nuove leggi della fisica potrebbero assumere. Quest’ultimo uso delle dimensioni va oltre lo scopo di questo testo, ma è qualcosa che senza dubbio imparerai più avanti nella tua carriera accademica.
Esempio \(\PageIndex{1}): Usare le dimensioni per ricordare un’equazione
Supponiamo di aver bisogno della formula per l’area di un cerchio per qualche calcolo. Come molte persone che hanno imparato la geometria troppo tempo fa per ricordarla con certezza, due espressioni possono venirci in mente quando pensiamo ai cerchi: \(\pi r^{2}) e \(2 \pi r\). Una espressione è la circonferenza di un cerchio di raggio r e l’altra è la sua area. Ma qual è quale?
Strategia
Una strategia naturale è quella di cercare, ma questo potrebbe richiedere tempo per trovare informazioni da una fonte affidabile. Inoltre, anche se pensiamo che la fonte sia rispettabile, non dovremmo fidarci di tutto ciò che leggiamo. È bello avere un modo per ricontrollare semplicemente pensandoci. Inoltre, potremmo trovarci in una situazione in cui non possiamo cercare le cose (come durante un test). Così, la strategia è trovare le dimensioni di entrambe le espressioni sfruttando il fatto che le dimensioni seguono le regole dell’algebra. Se una delle due espressioni non ha le stesse dimensioni dell’area, allora non può essere l’equazione corretta per l’area di un cerchio.
Soluzione
Sappiamo che la dimensione dell’area è L2. Ora, la dimensione dell’espressione \(\pi r^{2}}) è
= \cdotp ^{2} = 1 \cdotp L^{2} = L^{2},\]
poiché la costante \(\pi\) è un numero puro e il raggio r è una lunghezza. Quindi, \(\pi r^{2}) ha la dimensione dell’area. Allo stesso modo, la dimensione dell’espressione \(2 \pi r\) è
= \cdotp \cdotp = 1 \cdotp 1 \cdotp L = L,\]
poiché le costanti 2 e \(\pi\) sono entrambe senza dimensione e il raggio r è una lunghezza. Vediamo che \(2 \pi r\) ha la dimensione della lunghezza, il che significa che non può essere un’area.
Escludiamo \(2 \pi r\) perché non è dimensionalmente coerente con l’essere un’area. Vediamo che \(\pi r^{2}}) è dimensionalmente coerente con l’essere un’area, quindi se dobbiamo scegliere tra queste due espressioni, \(\pi r^{2}) è quella da scegliere.
Significato
Questo può sembrare un esempio stupido, ma le idee sono molto generali. Finché conosciamo le dimensioni delle singole quantità fisiche che appaiono in un’equazione, possiamo controllare se l’equazione è dimensionalmente coerente. D’altra parte, sapendo che le vere equazioni sono dimensionalmente coerenti, possiamo abbinare le espressioni della nostra memoria imperfetta alle quantità per le quali potrebbero essere espressioni. Fare questo non ci aiuterà a ricordare i fattori adimensionali che appaiono nelle equazioni (per esempio, se avete accidentalmente confuso le due espressioni dell’esempio in \(2 \pi r^{2}\), allora l’analisi dimensionale non ci aiuta), ma ci aiuta a ricordare la forma base corretta delle equazioni.
Esercizio \(\PageIndex{2})
L’equazione v = a è dimensionalmente coerente?
Risposta
Aggiungi testo qui. Non cancellare prima questo testo.
Un ulteriore punto da menzionare è l’effetto delle operazioni del calcolo sulle dimensioni. Abbiamo visto che le dimensioni obbediscono alle regole dell’algebra, proprio come le unità, ma cosa succede quando prendiamo la derivata di una grandezza fisica rispetto ad un’altra o integriamo una grandezza fisica su un’altra? La derivata di una funzione è solo la pendenza della linea tangente al suo grafico e le pendenze sono rapporti, quindi per le quantità fisiche v e t, abbiamo che la dimensione della derivata di v rispetto a t è solo il rapporto della dimensione di v su quella di t:
\ = \frac{}{}
Analogamente, poiché gli integrali sono solo somme di prodotti, la dimensione dell’integrale di v rispetto a t è semplicemente la dimensione di v per la dimensione di t:
= \cdotp \ldotp\]
Per lo stesso ragionamento, regole analoghe valgono per le unità di quantità fisiche derivate da altre quantità per integrazione o differenziazione.
Contributori e attribuzioni
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Samuel J. Ling (Truman State University), Jeff Sanny (Loyola Marymount University), e Bill Moebs con molti autori che hanno contribuito. Questo lavoro è concesso in licenza da OpenStax University Physics sotto una licenza Creative Commons Attribution License (by 4.0).