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Fluidströmung, Wärmeübertragung und Stofftransport Diffusion Diffusionskoeffizient

Verständnis des Diffusionskoeffizienten

Beim Transport verdünnter Spezies ist der Fluss aufgrund von Diffusion durch das erste Ficksche Gesetz gegeben, das nur von einer einzigen Eigenschaft der Wechselwirkung des gelösten Stoffes mit dem Lösungsmittel abhängt: dem Diffusionskoeffizienten. Der Diffusionskoeffizient ist am einfachsten zu verstehen als die Größe des molaren Flusses durch eine Oberfläche pro Konzentrationsgradient außerhalb der Ebene. Er ist analog zur Eigenschaft der thermischen Diffusivität bei der Wärmeübertragung:

(1)

so

(2)

Ein typischer Diffusionskoeffizient für ein Molekül in der Gasphase liegt im Bereich von 10-6 bis 10-5 m2/s. Im Gegensatz dazu ist die Diffusion für Moleküle, die in Flüssigkeiten gelöst sind, viel langsamer. In einer wässrigen (Wasser) Lösung liegen typische Diffusionskoeffizienten im Bereich von 10-10 bis 10-9 m2/s. Folglich ist die Diffusion in Flüssigkeiten über alltägliche Längenskalen sehr langsam und wird fast immer von Konvektion dominiert.

Aus der obigen Definition ergibt sich, dass der Diffusionskoeffizient die Einheit Fläche pro Zeit (m2 s-1, oder m2/s in SI-Einheiten) hat. Diese Einheiten sind auch aus einer Dimensionsanalyse des zweiten Fick’schen Gesetzes (auch Diffusionsgleichung genannt) ersichtlich. Formal kann der Diffusionskoeffizient als Parametrisierung der Fläche einer sphärischen Oberfläche verstanden werden, die als Fläche der Effektivwertverschiebung von Material definiert ist, das von einem infinitesimalen Punkt wegdiffundiert, an dem eine Masse anfänglich konzentriert ist. Da die Statistik der Diffusion bewirkt, dass diese Fläche linear in der Zeit wächst, ist der Diffusionskoeffizient eine Größe, die durch Fläche pro Zeit beschrieben wird.

Abhängigkeit von anderen Eigenschaften

Der Diffusionskoeffizient kann in einigen einfachen Fällen aus ersten Prinzipien vorhergesagt werden. Nimmt man die Werte für die mittlere freie Weglänge und die mittlere Geschwindigkeit für Moleküle in einem idealen Gas aus der Maxwell-Boltzmann-Verteilung, so folgt, dass der Diffusionskoeffizient folgender Beziehung zu Temperatur und Druck gehorcht:

(3)

Das heißt, dass die Diffusion in heißeren und verdünnten Gasen schneller ist.

Für Teilchen oder große Moleküle in einem viskosen Fluid (meist eine flüssige Lösung) kann die Stokes-Einstein-Gleichung angewendet werden:

(4)

Hier ist k die Boltzmann-Konstante, μ die Viskosität des Lösungsmittels und r der Radius des diffundierenden Teilchens. Diese Gleichung wird unter der Annahme abgeleitet, dass die Teilchen dem Stokes’schen Gesetz für den Luftwiderstand gehorchen, so dass der Luftwiderstand, der von den Lösungsmittelmolekülen auf die diffundierenden Teilchen ausgeübt wird, berechnet werden kann. Beachten Sie, dass die Viskosität des Lösungsmittels selbst stark von der Temperatur abhängt, so dass diese Gleichung keine lineare Beziehung des Diffusionskoeffizienten der Lösungsphase mit der Temperatur impliziert. Vielmehr gehorcht der Diffusionskoeffizient normalerweise einer Beziehung nahe einer exponentiellen Arrhenius-Relation:

(5)

Hier ist Ediff eine „Aktivierungsenergie der Diffusion“; die exponentielle Form dieser Beziehung bedeutet, dass Diffusionskoeffizienten in der Lösungsphase schnell mit der Temperatur wachsen können.

Diffusionskoeffizient in porösen Medien

In einem porösen Medium unterscheidet sich der effektive Diffusionskoeffizient von dem realen Diffusionskoeffizienten. Das liegt daran, dass der verfügbare Querschnitt für die Diffusion geringer ist als bei der freien Flüssigkeit und die Entfernung zwischen einem Punkt und einem anderen im porösen Material geringer ist als die Strecke, die ein Molekül zurücklegen muss, um sich zwischen diesen Punkten zu bewegen (da das Molekül zwischen den festen Teilen des Materials navigieren muss). Infolgedessen ist der reale Konzentrationsgradient geringer als der scheinbare Konzentrationsgradient. Dieser Effekt wird durch die Multiplikation des Diffusionskoeffizienten mit einer Tortuosität (τ > 1) im ersten Fick’schen Gesetz berücksichtigt:

(6)

Hier beziehen sich die Flüsse und der Konzentrationsgradient auf Flächen und Längen, die in Bezug auf das poröse Medium als Ganzes gemessen werden, und nicht nur in Bezug auf seinen flüssigen Anteil, in dem Diffusion stattfinden kann. Die Tortuosität ist also das Verhältnis zwischen der tatsächlichen Strecke, die ein Molekül zwischen zwei Punkten zurücklegen muss, indem es dem Fluidkanal folgt, und der geradlinigen Strecke zwischen diesen Punkten.

Es gibt Standardkorrelationen, die die Tortuosität mit der Porosität ε in Beziehung setzen:

Millington-Quirk:

(7)

Bruggeman:

(8)

In einigen Arten von porösen Medien kann der (effektive) Diffusionskoeffizient auch anisotrop sein, so dass die Diffusionsgeschwindigkeit von der Richtung des Konzentrationsgradienten abhängt. In diesem Fall ist die Diffusivität ein Tensor.

Mehrkomponentendiffusion

In konzentrierten Mischungen ist die effektive Diffusivität ein Tensor, bei dem der Massenfluss einer Spezies von den Konzentrationsgradienten aller chemischen Spezies im System abhängt. Die Diffusivitäten spiegeln dann die Wechselwirkungen zwischen jedem Speziespaar in einer Lösung wider, einschließlich der Wechselwirkung zwischen Molekülen der gleichen Spezies.

Veröffentlicht: 14. Januar 2015
Letzte Änderung: 22. Februar 2017