1.5: Dimensionele analyse
Leerdoelen
- Vind de dimensies van een wiskundige uitdrukking waarin fysische grootheden voorkomen.
- Bepalen of een vergelijking met fysische grootheden dimensionaal consistent is.
De dimensie van een fysische grootheid drukt haar afhankelijkheid van de basishoeveelheden uit als een product van symbolen (of machten van symbolen) die de basishoeveelheden voorstellen. In tabel 1 staan de basishoeveelheden en de symbolen die voor hun dimensie worden gebruikt. Een lengtemaat heeft bijvoorbeeld maat L of L1, een massamaat heeft maat M of M1, en een tijdmeting heeft maat T of T1. Net als eenheden gehoorzamen afmetingen aan de regels van de algebra. Zo is oppervlakte het product van twee lengten en heeft dus dimensie L2, of lengte in het kwadraat. Op dezelfde manier is volume het product van drie lengten en heeft dus dimensie L3, of lengte in het kwadraat. Snelheid heeft dimensie lengte in tijd, L/T of LT-1. Volumetrische massadichtheid heeft dimensie M/L3 of ML-3, of massa over lengte in het kwadraat. In het algemeen kan de dimensie van elke fysische grootheid worden geschreven als
voor sommige machten a, b, c, d, e, f, en g. We kunnen de afmetingen van een lengte in deze vorm schrijven met a = 1 en de overige zes machten gelijk aan nul:
| Basishoeveelheid | Symbool voor dimensie |
|---|---|
| Lengte | L |
| Massa | M |
| Tijd | T |
| Huidig | I |
| Thermodynamische Temperatuur | |
| Hoeveelheid stof | N |
| Lichtsterkte | J |
Fysici gebruiken vaak vierkante haken rond het symbool voor een fysische grootheid om de afmetingen van die grootheid weer te geven. Bijvoorbeeld, als r de straal van een cilinder is en h de hoogte, dan schrijven we = L en = L om aan te geven dat de afmetingen van de straal en de hoogte beide die van de lengte zijn, of L. Op dezelfde manier, als we het symbool A gebruiken voor de oppervlakte van een cilinder en V voor het volume, dan = L2 en = L3. Als we het symbool m gebruiken voor de massa van de cilinder en de dichtheid van het materiaal waaruit de cilinder is gemaakt, dan = M en = ML-3.
Het belang van het begrip dimensie komt voort uit het feit dat elke wiskundige vergelijking die betrekking heeft op fysische grootheden, dimensionaal consistent moet zijn, wat betekent dat de vergelijking aan de volgende regels moet voldoen:
- Elke term in een uitdrukking moet dezelfde afmetingen hebben; het heeft geen zin om grootheden van verschillende afmetingen bij elkaar op te tellen of van elkaar af te trekken (denk aan het oude gezegde: “Je kunt geen appels en sinaasappels bij elkaar optellen”). In het bijzonder moeten de uitdrukkingen aan elke kant van de gelijkheid in een vergelijking dezelfde afmetingen hebben.
- De argumenten van een van de standaard wiskundige functies zoals goniometrische functies (zoals sinus en cosinus), logaritmen, of exponentiële functies die in de vergelijking voorkomen moeten dimensieloos zijn. Deze functies hebben zuivere getallen nodig als invoer en geven zuivere getallen als uitvoer.
Als een van deze regels wordt overtreden, is een vergelijking niet dimensionaal consistent en kan het onmogelijk een correcte verklaring van een natuurkundige wet zijn. Dit eenvoudige feit kan worden gebruikt om te controleren op tik- of algebrafouten, om de verschillende natuurkundige wetten te helpen onthouden, en zelfs om de vorm voor te stellen die nieuwe natuurkundige wetten zouden kunnen aannemen. Dit laatste gebruik van dimensies valt buiten het bestek van deze tekst, maar is iets wat je later in je academische loopbaan ongetwijfeld nog zult leren.
Voorbeeld (PaginaIndex{1}): Dimensies gebruiken om een vergelijking te onthouden
Voorstel dat we de formule voor de oppervlakte van een cirkel nodig hebben voor een of andere berekening. Zoals veel mensen die te lang geleden meetkunde hebben geleerd om zich dat nog met zekerheid te herinneren, komen er twee uitdrukkingen in ons op als we aan cirkels denken: \en 2 maal r^{2}. De ene uitdrukking is de omtrek van een cirkel met straal r en de andere is de oppervlakte. Maar welke is welke?
Strategie
Een natuurlijke strategie is om het op te zoeken, maar dit kan tijd kosten om informatie te vinden van een gerenommeerde bron. Bovendien, zelfs als we denken dat de bron gerenommeerd is, moeten we niet alles vertrouwen wat we lezen. Het is prettig om een manier te hebben om dubbel te controleren door er alleen al aan te denken. Ook kunnen we in een situatie komen waarin we dingen niet kunnen opzoeken (zoals tijdens een toets). De strategie is dus om de afmetingen van beide uitdrukkingen te vinden door gebruik te maken van het feit dat afmetingen de regels van de algebra volgen. Als een van beide uitdrukkingen niet dezelfde afmetingen heeft als oppervlakte, dan kan het onmogelijk de juiste vergelijking zijn voor de oppervlakte van een cirkel.
Oplossing
We weten dat de afmeting van oppervlakte L2 is. Nu is de dimensie van de uitdrukking \(\pi r^{2})
= \cdotp ^{2} = 1 \cdotp L^{2} = L^{2},
want de constante \(\pi}) is een zuiver getal en de straal r is een lengte. Daarom heeft de uitdrukking r de dimensie oppervlakte. Op dezelfde manier is de dimensie van de uitdrukking \(2 \pi r)
= \cdotp \cdotp = 1 \cdotp 1 \cdotp L = L,\]
want de constanten 2 en \(\pi r) zijn beide dimensieloos en de straal r is een lengte. We zien dat \(2 \pi r) de dimensie lengte heeft, wat betekent dat het onmogelijk een oppervlakte kan zijn.
We sluiten \(2 \pi r) uit omdat het qua dimensie niet klopt dat het een oppervlakte is. We zien dat \pi r^{2}\) dimensionaal consistent is met het zijn van een oppervlakte, dus als we moeten kiezen tussen deze twee uitdrukkingen, is \pi r^{2}\ degene die we moeten kiezen.
Betekenis
Dit lijkt misschien een beetje een dom voorbeeld, maar de ideeën zijn heel algemeen. Zolang we de afmetingen kennen van de afzonderlijke fysische grootheden die in een vergelijking voorkomen, kunnen we nagaan of de vergelijking dimensionaal consistent is. Aan de andere kant, wetende dat ware vergelijkingen dimensionaal consistent zijn, kunnen we uitdrukkingen uit ons onvolmaakte geheugen koppelen aan de grootheden waarvoor ze uitdrukkingen zouden kunnen zijn. Dit helpt ons niet bij het onthouden van dimensieloze factoren die in de vergelijkingen voorkomen (als je bijvoorbeeld per ongeluk de twee uitdrukkingen uit het voorbeeld hebt samengevoegd tot r^{2}), dan helpt dimensionale analyse niet), maar het helpt ons wel bij het onthouden van de juiste basisvorm van vergelijkingen.
PageIndex{2})
Is de vergelijking v = at dimensionaal consistent?
Antwoord
Voeg hier teksten toe. Verwijder deze tekst niet eerst.
Een ander punt dat genoemd moet worden is het effect van de operaties van de calculus op dimensies. We hebben gezien dat dimensies gehoorzamen aan de regels van de algebra, net als eenheden, maar wat gebeurt er als we de afgeleide nemen van een fysische grootheid ten opzichte van een andere of een fysische grootheid integreren over een andere? De afgeleide van een functie is gewoon de helling van de lijn die raakt aan zijn grafiek en hellingen zijn verhoudingen, dus voor fysische grootheden v en t geldt dat de dimensie van de afgeleide van v ten opzichte van t gewoon de verhouding is van de dimensie van v over die van t:
= \frac{}{}
Op dezelfde manier, omdat integralen slechts sommen van producten zijn, is de dimensie van de integraal van v ten opzichte van t eenvoudigweg de dimensie van v maal de dimensie van t:
= \cdotp \ldotp>
Door dezelfde redenering gelden analoge regels voor de eenheden van fysische grootheden die door integratie of differentiatie van andere grootheden zijn afgeleid.
Bijdragers en toeschrijvingen
-
Samuel J. Ling (Truman State University), Jeff Sanny (Loyola Marymount University), en Bill Moebs met vele auteurs die een bijdrage hebben geleverd. Dit werk is gelicenseerd door OpenStax University Physics onder een Creative Commons Naamsvermelding Licentie (by 4.0).