Infinite_Numbers – Duże Liczby

N0

aleph-null

Znana również potocznie jako nieskończoność. W teorii transfinitów Cantora jest znana jako alef-null, gdy jest traktowana jako liczba kardynalna, i omega, gdy jest traktowana jako liczba porządkowa. W sensie nieformalnym wszystkie te pojęcia są takie same, ale istnieją ważne techniczne rozróżnienia, które należy wprowadzić. Nieskończoność w rachunku odnosi się do wielkości rzeczywistej, która rośnie bez ograniczeń. Jest to nie tyle liczba, co sposób wyrażenia zachowania się granicy. omega odnosi się do typu porządkowego zbioru liczb całkowitych nieujemnych. Aleph-null z drugiej strony, jest zdefiniowany jako kardynalność zbioru liczb całkowitych dodatnich. Mówiąc wprost Aleph-null jest „liczbą” liczb. Problem z tym jest taki, że zbiór liczb całkowitych dodatnich ma reprezentować wszystkie rzeczy, które chcielibyśmy policzyć. Nie może on jednak liczyć samego siebie. Czy zatem „liczba” liczb jest w ogóle liczbą? Cantor tak uważał. W pewien sposób możemy traktować alef-null jako liczbę, ponieważ możemy porównać ją z innymi liczbami i określić, która z nich jest większa. Używając pojęcia korespondencji jeden do jednego Cantor pokazał, że możemy racjonalnie powiedzieć, że alef-nikt jest większy od dowolnej dodatniej liczby całkowitej, mimo że wcześniej panowało przekonanie, że nieskończoność nie jest liczbą i nie może być w ten sposób porównywana. Przyjęcie tego poglądu prowadzi jednak do pewnych anomalii umysłowych. Używając korespondencji jeden do jednego, możemy pokazać, że jest tyle samo liczb parzystych, kwadratów, sześcianów itd. co liczb całkowitych dodatnich, mimo że wszystkie one są podzbiorami liczb całkowitych dodatnich. To narusza zasadę, że „całość jest zawsze większa niż każda właściwa część całości”. Tak więc alef-null jest liczbą taką, że jej właściwa część jest wciąż tak samo duża… zadziwiające. Kiedy pracujemy z liczbami skończonymi, domyślnie rozumiemy wyłączność „większy” vs. „równy”. Liczba nie może być jednym i drugim. Stąd, gdy jedna szczególna korespondencja pokazuje, że jeden zbiór skończony ma więcej niż inny zbiór skończony, wiemy, że nie może istnieć żadna korespondencja, która pokazuje, że są one równe. Nie tak jest z nieskończonymi zbiorami! Nawet jeśli mamy korespondencję, która pokazuje, że jeden z nich jest większy od drugiego, nie musi to oznaczać, że nie istnieje korespondencja pokazująca, że są one równe. W Cantorowskim uniwersum kardynałów, aby nieskończoność była naprawdę większa od innej nieskończoności, trzeba wykazać, że „nie istnieje ŻADNA korespondencja jeden do jednego”. Ponieważ takich odpowiedników musi być nieskończenie wiele, sprawdzanie każdego z nich z osobna nie wchodzi w grę. Trzeba wymyślić dowód, który pokaże niemożność istnienia takiej korespondencji. Można by założyć, że wszystkie nieskończoności są w gruncie rzeczy takie same i można je ze sobą zestawić w korespondencji jeden do jednego. Zdumiewającą rzeczą, jakiej dokonał Cantor, było jednak pokazanie, że istnieją nieskończoności, których nie da się zestawić w relacji jeden do jednego z alefem zerem. W ten sposób Cantor pokazał, że nie istnieje jedna nieskończoność … ale nieskończoność nieskończoności … (Patrz alef-jeden). To jest raj Cantora, lub koszmar, w zależności od perspektywy.

w+1

omega i jeden

Jest to najmniejsza liczba porządkowa po „omega”. Nieformalnie możemy myśleć o tym jako o nieskończoności plus jeden. Jednym z sformułowań rzędnych jest traktowanie ich jako zbiorów wszystkich mniejszych rzędnych. Aby powiedzieć, że omega i jeden są „większe” niż „omega”, definiujemy wielkość jako oznaczającą, że jedna liczba porządkowa jest większa od drugiej, jeśli ta mniejsza liczba porządkowa jest zawarta w zbiorze tej większej. Zbiór w+1 miałby postać {w,0,1,2,3,…}. Składałby się on z wszystkich liczb całkowitych nieujemnych plus omega. Zatem w+1 według tej definicji jest większy. Ponieważ jednak kardynalność każdej liczby porządkowej jest reprezentowana przez kardynalność jej zbioru, możemy też pokazać, że w pewnym sensie w = w+1, gdyż w={0,1,2,3,…} i w+1={w,0,1,2,…} możemy sparować argumenty jako: {(0,w),(1,0),(2,1),(3,2),…}, z czego wynika, że oba zbiory mają tyle samo elementów, mimo że w+1 zawiera o jeden więcej. Mylisz się? Zasadniczo istnieją dwa sposoby patrzenia na porównywanie nieskończoności: pogląd kardynalny i pogląd porządkowy. W ujęciu porządkowym, omega i jeden są większe, w ujęciu kardynalnym omega i omega plus jeden są tym samym. Kardynały nie odgrywają dużej roli w googologii, ale policzalne porządkowe już tak. Tak więc dla naszych celów rozróżnienie między w a w+1 jest ważne.

w+2

omega i dwa

Tak jak możemy dowolnie rozszerzać duże liczby, możemy zrobić to samo z liczbą porządkową w. Po prostu pomyśl o „w” jako o BARDZO dużej liczbie. Więc możemy dodać jeden do niej, lub dwa, lub mieć …

2w

dwa omega

2w+1

dwa omega i jeden

dwa omega i jeden

2w+2

dwie omegi i dwie

3w

trzy omegi

w2

omega podniesiona do kwadratu

w2+1

omega podniesiona do kwadratu i jeden

w2+w

omega podniesiona do kwadratu i omega

w2+w+1

omega podniesiona do kwadratu, omega i jeden

2w2

dwa omegi podniesione do kwadratu

w3

w3

omega cubed

ww

φ(w,0)

omega do omegi

ww^w

omega do omegi do omegi

ε0

φ(0,1)

epsilon-zero

Cantor nadał tej liczbie porządkowej specjalną nazwę epsilon-zero. Co to jest? Jest to najmniejsza liczba porządkowa większa od każdej liczby porządkowej, którą można „nazwać” za pomocą dodawania, mnożenia i wykładania z symbolem w. Innymi słowy:

e0 = lim{w,w^w,w^w^w,w^w^w,…}

Innymi słowy, e0 = w^w^w^… gdzie istnieje omega w. Można go zdefiniować jako najmniejszą liczbę porządkową „a”, taką, że a=w^a. Wynika z tego, że e0=w^e0. Dziwne. Jest ona również równa phi(0,1) w hierarchii punktów stałych Veblena.

Nieformalnie możesz myśleć o tym jako o nieskończonej wieży mocy nieskończoności! Można go również nieformalnie nazwać w^^w.

Ta liczba porządkowa jest dla nas ważna, ponieważ reprezentuje rozmiar tablic tetracyjnych Jonathana Bowersa. Nie tylko tablice tetracjonalne Bowersa mają dokładną arytmię równą epsilon-zero (tablica tetracjonalna jest dobrze zdefiniowana tak długo, jak tylko skończona liczba wpisów jest większa od 1. Wszystkie pozostałe są domyślnie równe 1. Jeśli użyjemy rzędnych do policzenia wszystkich wpisów w przestrzeni tetracjonalnej, jest tam dokładnie epsilon-zero wpisów), ale funkcja epsilon-zero szybko rosnącej hierarchii ma równoważne tempo wzrostu do tablic tetracjonalnych. Epsilon-zero stanowi również ważny impas. Do tego momentu notacja jest dość naturalna i istnieje w zasadzie powszechna zgoda co do tego, jak „nazywać” rzędne mniejsze od epsilon-zero i jak określić, która z dwóch takich rzędnych jest większa. Przy epsilon-zero jednak zaczynamy napotykać problemy. Istnieją co najmniej dwa różne sposoby dalszego nazywania rzędnych, a pewne wyrażenia są trudne do zinterpretowania, jak np. w^^(w+1). Faktem jest, że po tym punkcie jesteśmy zmuszeni dokonywać pewnych wyborów dotyczących notacji, a żaden z nich nie wynika tak naturalnie jak aż do epsilon-zero. Istnieje jednak powszechnie akceptowane rozszerzenie znane jako hierarchia Veblena. Niestety, to rozszerzenie jest radykalnie różne od rozszerzenia Bowersa do rzędnych pięciomianowych i dalej. Jest kwestią otwartą, jak przekonwertować z rzędnych Bowersa na rzędne Veblena.

ε0+1

epsilon-zero i jeden

Co jest takiego trudnego w kontynuowaniu… po prostu dodaj jeden. Cóż, oczywiście zawsze możemy dodać jeden w systemie rzędnych, tak jak robimy to z liczbami skończonymi (to sugeruje, że nie ma największego rzędnego, tak jak nie ma największej liczby całkowitej). Problemem nie jest jednak dodawanie jedynki. Chodzi o to, co się stanie, gdy pójdziemy dalej…

w^(ε0+1) / w*ε0

omega do epsilon-zero i jeden / omega epsilon-zero

Tutaj napotykamy jeden z naszych pierwszych problemów, choć co prawda dość niewielki. Istnieje więcej niż jedna możliwa notacja rzędów, której moglibyśmy użyć. W pierwszej wersji budujemy stos omegi, w drugiej stos epsilon-zeros. Zobaczysz, co mam na myśli, gdy będziemy kontynuować

w^w^(ε0+1) / ε0^w

omega do omegi do epsilon-zero.zero i jeden / epsilon-zero do omegi

Pomimo tego, że mamy co najmniej dwa różne sposoby zapisu rzędnych po epsilon-zero, dobrą wiadomością jest to, że do tego momentu nie jest zbyt trudne stworzenie korespondencji między nimi. To znaczy, możemy przekonwertować jeden zapis na drugi i w ten sposób porównać rzędne w obu systemach i określić, który z nich jest większy. Kluczem do tej konwersji jest definicja e0=w^e0. Korzystając z niej możemy przekształcić pierwszą formę na drugą w następujący sposób:

w^w^(e0+1) = w^(w*w^e0) = (w^w^e0)^w = (w^e0)^w = e0^w

Wymaga to pewnego przyzwyczajenia, ale w^e0 jest po prostu e0, podczas gdy w^(e0+1) > e0. W rzeczywistości jest jeszcze gorzej, bo e0 = w^e0 = w^w^e0 = w^w^w^e0 = … itd.

ε0^ε0

epsilon-zero do epsilon-zero

To jest fajny ordinal. To jest epsilon-zero podniesiony do epsilon-zero. Co to jest w znormalizowanej formie Cantora? Zobaczmy (pamiętajmy, że e0=w^e0):

e0^e0 = (w^e0)^e0 = w^(e0*e0) = w^(w^e0*w^e0) = w^w^(2e0)

Dziwne. Mimo to wydaje się, że rzędne po epsilon-zero są dobrze zachowane do tej pory. Jaka jest granica rozszerzania e0 za pomocą wykładania, chociaż…

ε1

φ(1,1)

epsilon-one

Epsilon-one to kolejny duży krok w hierarchii punktów stałych Veblena. Epsilon-jeden można zdefiniować jako najmniejszą liczbę porządkową większą od dowolnej liczby porządkowej, którą można wyrazić tylko za pomocą dodawania, mnożenia i wykładania na liczbach porządkowych „w” i „e0”. Jednym ze sposobów jej zdefiniowania jest:

e1 = lim{e0+1,w^(e0+1),w^w^(e0+1),w^w^w^(e0+1),…}

Teraz, gdy już to zobaczyłeś, pewnie domyślasz się, co będzie dalej…

ε2

φ(2,1)

epsilon-two

Epsilon-two jest granicą wyrażeń wykorzystujących w,e0 i e1:

e2 = lim{e1+1,w^(e1+1),w^w^(e1+1),…}

εw

φ(w,1)

epsilon-omega

Teraz, gdy ustaliliśmy ogólną zasadę, możemy kontynuować do dowolnego indeksu rzędowości epsilon …. w tym nieskończonych rzędnych. YIKES …

εw^w

φ(w^w,1)

epsilon-omega-to-the-omega

εe0

φ(φ(0,1),1)

epsilon-epsilon-zero

εe(e0)

φ(φ(0,1),1),1)

epsilon-epsilon-epsilon-zero

εe(e(…

φ(0,2)

Epsilon Limit Ordinal / zeta-minor-naught

Tutaj dochodzimy do granicy idei „liczb Epsilon”. Ta liczba porządkowa jest czasami określana jako zeta-naught. Uniknąłem jednak stosowania tej notacji tutaj, ponieważ zarezerwowałem zeta-naught dla hipotetycznej liczby porządkowej w^^^w. Wątpliwe jest, by ta liczba porządkowa była aż tak duża. Mimo to jest to całkiem fajna liczba porządkowa. Zwykle jest to największa rzędna wymieniana w popularnej dyskusji o transfinitycznych rzędnych Cantora. Dzieje się tak prawdopodobnie dlatego, że po tym musimy rozwinąć bardziej uogólniony sposób kontynuacji i staje się to znacznie mniej naturalne i bardziej techniczne. Większość autorów uznałaby to za wystarczające jako wprowadzenie do rzędnych Cantora. Po tym zaczyna się robić nieco akademicko…