Jak zrozumieć podstawę (algebra liniowa)
Podczas nauczania algebry liniowej, pojęcie podstawy jest często pomijane. Moi uczniowie potrafili zrozumieć niezależność liniową i rozpiętość, ale bazę postrzegali tak, jak się widzi UFO: jako zagmatwaną i obcą. A to nie jest dobre, ponieważ podstawa działa jako punkt wyjścia dla dużej części algebry liniowej.
Zawsze potrzebujemy punktu wyjścia, fundamentu, z którego możemy zbudować wszystko inne. Słowa nie mogą być napisane bez fundamentu w postaci alfabetu. Starożytne cywilizacje wierzyły, że wszechświat został uformowany z 4 klasycznych elementów – wody, ziemi, ognia i powietrza (dawno temu…). A przestrzenie wektorowe, naturalny dom algebry liniowej, mają podstawę jako swój fundament.
Postaram się wyjaśnić podstawę koncepcyjnie, używając analogii do malarstwa. Analogia ta została użyta w dwóch poprzednich artykułach do wyjaśnienia dwóch innych pojęć z algebry liniowej zwanych liniową niezależnością/zależnością i rozpiętością. Polecam przeczytać te artykuły jako pierwsze, ponieważ oba pojęcia pojawią się później.
Podstawa kolorów farb
Zamiast matematyki, załóżmy, że jesteś malarzem, gotowym do namalowania arcydzieła na płótnie. Po pierwsze, musisz kupić farbę. Ile kolorów powinieneś kupić?
Oczywiście, to zły pomysł, aby zrobić obraz jadąc do Home Depot i kupując jedną puszkę farby każdy dla wszystkich tysięcy kolorów, które mają. Nie trzeba trzydzieści różnych odcieni niebieskiego, od Azure Blue, do Mountain Blue, aż do Victory Blue (pomysł: stworzyć farbę o nazwie „Defeat Blue”). Musisz tylko kupić niebieską farbę i kilka innych kolorów.
Jeśli jesteś skąpym malarzem, możesz nawet powiedzieć, że musisz kupić tylko 5 kolorów, aby stworzyć obraz: czerwony, żółty, niebieski, biały i czarny. Jasne, zielony byłby miły, a różowy byłby fajny, ale nie musisz kupować różowej i zielonej farby. Po tym wszystkim, można połączyć czerwony i biały lakier, aby różowy, lub żółty i niebieski lakier, aby green.
Red, żółty, niebieski, biały i czarny są minimalny zestaw kolorów, które trzeba zrobić każdy inny kolor. Możemy powiedzieć, że te 5 kolorów stanowią podstawę dla całego spektrum kolorów.
Ponieważ można zrobić każdy inny kolor za pomocą mieszanek tych pięciu kolorów, możemy powiedzieć, że te pięć kolorów obejmuje zestaw wszystkich kolorów. Dodatkowo, każdy kolor w zestawie jest konieczne: trzeba białą farbą, ponieważ nie ilość żółty, czerwony, czarny, lub niebieski farby zmieszane razem nigdy nie stworzy białą farbę. Innymi słowy, czerwony, żółty, niebieski, biały i czarny są niezależne od siebie.
Nazywajmy twój zestaw farb twoją paletą. Aby paleta mogła stanowić podstawę dla wszystkich kolorów, dwa warunki muszą być prawdziwe:
- Paleta obejmuje zbiór wszystkich kolorów.
- Wszystkie kolory w palecie są niezależne od siebie.
Właśnie widzieliśmy, że czerwony, żółty, niebieski, biały i czarny spełniają oba warunki. Dla kontrastu, oto przykłady palet, które nie są bazami:
- Czerwony, niebieski, biały. To narusza warunek 1. Ten zestaw nie obejmuje wszystkich kolorów. Wiele kolorów, takich jak żółty lub zielony są niemożliwe do wykonania z kolorami z tego zestawu.
- Czerwony, pomarańczowy, żółty, zielony, niebieski, fioletowy, biały, czarny. To narusza warunek 2. Te kolory z pewnością obejmują wszystkie kolory, ale nie są one niezależne. Fioletowy jest kombinacją czerwonego i niebieskiego, zielony kombinacją żółtego i niebieskiego, i tak dalej.
Przestrzeń wektorowa
Przestrzenie wektorowe są bardziej abstrakcyjne niż obrazy, ale używają podstawy podobnie. Przestrzeń wektorowa jest zbiorem wektorów, gdzie można dodawać wektory do siebie i skalować je. Na przykład, płaszczyzna 2-D (znana również jako R²) jest przestrzenią wektorową. Jest to zbiór wszystkich „dwuwymiarowych” wektorów, o których można myśleć jako o wektorach o współrzędnej x i współrzędnej y.
Podobnie jak stworzyliśmy podstawę dla zbioru wszystkich kolorów, możemy stworzyć zbiór wektorów, które tworzą podstawę R². Wymagania dotyczące bazy są prawie takie same jak w przypadku naszej bazy dla kolorów.
Podstawa: Zbiór n wektorów, {v₁, v₂,…vₙ}, jest bazą pewnej przestrzeni S, jeśli te dwa warunki są prawdziwe:
- {v₁, v₂, …vₙ} są liniowo niezależne.
- {v₁, v₂,…vₙ} obejmują zbiór S. Innymi słowy, Span{v₁,v₂,…vₙ}=S
Na przykład, weźmy wektory (0,1) i (1,0), zaznaczone poniżej na zielono. Te wektory są liniowo niezależne, ponieważ nie ma sposobu, aby przeskalować (0,1) na (1,0). Dodatkowo te dwa wektory rozciągają się na całą płaszczyznę dwuwymiarową, ponieważ można zapisać dowolny punkt w przestrzeni dwuwymiarowej jako kombinację liniową wektorów (0,1) i (1,0):
(0,1) i (1,0) tworzą zatem podstawę R² (tę konkretną podstawę (0,1) i (1,0) nazywamy podstawą standardową). Nie jest to jednak jedyna możliwa podstawa R². Spójrzmy na wektory (1,1) i (-1,1) na wykresie poniżej. Różowe wektory reprezentują kilka różnych kombinacji liniowych:
Te dwa wektory są również liniowo niezależne, ponieważ nie można przeskalować jednego wektora na drugi. Z różowych kombinacji liniowych wynika również, że (1,1) i (-1,1) obejmują całą powierzchnię R². Dlatego (1,1) i (-1,1) tworzą kolejną podstawę dla R².
To jest jedno miejsce, gdzie przestrzenie wektorowe bardzo różnią się od analogii z farbami. W przypadku kolorów farby, tak naprawdę mamy tylko podstawy w postaci żółtego, niebieskiego, czerwonego, czarnego i białego. Ale w świecie przestrzeni wektorowych, każda przestrzeń ma nieskończoną liczbę baz do wyboru. Ogólnie rzecz biorąc, podstawa jest najmniejszym możliwym zbiorem wektorów, który może obejmować przestrzeń. Jest to wektorowy odpowiednik bycia skąpym w farbie i kupowania tylko minimalnej ilości kolorów, które są potrzebne.
Podstawa pomaga nam również zrozumieć strukturę przestrzeni wektorowej. Na przykład, wiemy, że każda podstawa R² będzie składała się z dokładnie dwóch wektorów, tak jak dwie podstawy, które znaleźliśmy wcześniej. W ogólności:
- Dla pewnej przestrzeni S wszystkie bazy S mają tę samą liczbę wektorów. Zostało to po raz pierwszy udowodnione przez Georga Hamela. Jeśli podstawa dla S składa się z 4 wektorów, to każda podstawa dla S składa się z 4 wektorów.
- Podstawa dla przestrzeni R składa się z n wektorów. Dowolna podstawa dla R³ (przestrzeń trójwymiarowa) składa się z 3 wektorów. Każda podstawa dla R⁵ (przestrzeń 5-wymiarowa, nie pytaj) składa się z 5 wektorów.
Dlaczego podstawa ma znaczenie (przekształcenia liniowe)
Sama w sobie, podstawa nie ma dużego wpływu. Jednakże, dotknijmy krótko dlaczego podstawa jest tak ważna dla algebry liniowej.
Możemy wziąć przestrzeń wektorową i przekształcić ją, „przekształcić” tutaj oznacza rozciąganie, przerzucanie lub obracanie przestrzeni. Podczas pracy z algebrą liniową, przekształcanie przestrzeni wektorowej jest tak powszechne jak oddychanie. Załóżmy, że chcę przekształcić graf A w graf B:
Każdy graf ma swoją bazę (wektory różowy i niebieski). Co ważne, zarówno graf A jak i graf B to tylko dwa różne sposoby reprezentacji dokładnie tej samej przestrzeni przy użyciu różnych podstaw. To tak, jakby czytać tę samą książkę w dwóch różnych językach, np. hiszpańskim i francuskim.
Przesunięcie z grafu A do grafu B nazywamy przekształceniem liniowym grafu. Przekształcenie liniowe działa jak translator: Bierze każdy punkt na wykresie B i przenosi go do każdego odpowiadającego mu punktu na wykresie A. Bierze francuskie słowo i przenosi je do hiszpańskiego. Jednak wkraczamy teraz w świat przekształceń liniowych, a to może być wyjaśnione innym razem.
Wniosek
Mamy teraz głębsze zrozumienie trzech pojęć algebry liniowej: podstawy, liniowej niezależności/zależności i rozpiętości. Pojęcia te są fundamentalne dla algebry liniowej. Liniowa niezależność/zależność mówi nam, które wektory są niezbędne w zbiorze wektorów. Rozpiętość mówi o wszystkich możliwych kombinacjach wektorów, jakie można utworzyć. I w końcu, podstawa mówi o najmniejszym zestawie wektorów potrzebnych do pokrycia przestrzeni wektorowej, a tym samym o strukturze tej przestrzeni.
Opanowanie tych pojęć da ci podstawę, której potrzebujesz do konkretnego zrozumienia algebry liniowej. W końcu dom nie może stać na chwiejnej podstawie, a my nie możemy zrozumieć algebry liniowej bez podstawy. Dziękuję za przeczytanie!