1.5: Análise Dimensional
Objectivos de Aprendizagem
- Li>Conhecer as dimensões de uma expressão matemática envolvendo quantidades físicas.
- Determinar se uma equação envolvendo quantidades físicas é dimensionalmente consistente.
A dimensão de qualquer quantidade física expressa a sua dependência das quantidades de base como um produto de símbolos (ou poderes de símbolos) representando as quantidades de base. A tabela {1}(PageIndex{1}) lista as quantidades de base e os símbolos utilizados para a sua dimensão. Por exemplo, diz-se que uma medida de comprimento tem dimensão L ou L1, uma medida de massa tem dimensão M ou M1, e uma medida de tempo tem dimensão T ou T1. Tal como as unidades, as dimensões obedecem às regras da álgebra. Assim, a área é o produto de dois comprimentos e assim tem a dimensão L2, ou comprimento ao quadrado. Da mesma forma, o volume é o produto de três comprimentos e tem a dimensão L3, ou comprimento ao cubo. A velocidade tem a dimensão L/T ou LT-1, com o tempo. A densidade volumétrica da massa tem dimensão M/L3 ou ML-3, ou a massa sobre o comprimento ao cubo. Em geral, a dimensão de qualquer quantidade física pode ser escrita como
\
para algumas potências a, b, c, d, e, f, e, g. Podemos escrever as dimensões de um comprimento nesta forma com a = 1 e as seis potências restantes todas iguais a zero:
>/p>
| Base Quantity | Símbolo para Dimensão |
|---|---|
| Length | L |
| Mass | M |
| Time | T |
| Corrente | I |
| Temperatura Termodinâmica | (\Theta\) |
| Quantidade de Substância | N |
| Intensidade luminosa | J |
Físicos usam frequentemente parênteses rectos à volta do símbolo para representar as dimensões dessa quantidade física. Por exemplo, se r é o raio de um cilindro e h a sua altura, então escrevemos = L e = L para indicar que as dimensões do raio e da altura são ambas de comprimento, ou L. Da mesma forma, se usarmos o símbolo A para a área de superfície de um cilindro e V para o seu volume, então = L2 e = L3. Se utilizarmos o símbolo m para a massa do cilindro e \rho para a densidade do material de que o cilindro é feito, então = M e = ML-3.
A importância do conceito de dimensão decorre do facto de que qualquer equação matemática relativa a quantidades físicas deve ser dimensionalmente consistente, o que significa que a equação deve obedecer às seguintes regras:
- Todos os termos numa expressão devem ter as mesmas dimensões; não faz sentido acrescentar ou subtrair quantidades de dimensões diferentes (pense no velho ditado: “Não se pode acrescentar maçãs e laranjas”). Em particular, as expressões de cada lado da igualdade numa equação devem ter as mesmas dimensões.
li>Os argumentos de qualquer uma das funções matemáticas padrão, tais como funções trigonométricas (tais como seno e cosseno), logaritmos, ou funções exponenciais que aparecem na equação, devem ser sem dimensões. Estas funções requerem números puros como entradas e dão números puros como saídas.
Se uma destas regras for violada, uma equação não é dimensionalmente consistente e não pode possivelmente ser uma declaração correcta da lei física. Este simples facto pode ser usado para verificar erros de digitação ou álgebra, para ajudar a lembrar as várias leis da física, e até mesmo para sugerir a forma que novas leis da física podem assumir. Este último uso de dimensões está para além do âmbito deste texto, mas é algo que sem dúvida aprenderá mais tarde na sua carreira académica.
Exemplo {1}(PageIndex{1})): Usando Dimensões para Lembrar uma Equação
P>Precisamos da fórmula para a área de um círculo para algum cálculo. Como muitas pessoas que aprenderam geometria há demasiado tempo para se lembrarem com alguma certeza, duas expressões podem surgir na nossa mente quando pensamos em círculos: \(2) e (2). Uma expressão é a circunferência de um círculo de raio r e a outra é a sua área. Mas que é a que?
Estratégia
Uma estratégia natural é procurá-la, mas isto pode levar tempo a encontrar informação de uma fonte respeitável. Além disso, mesmo que pensemos que a fonte é respeitável, não devemos confiar em tudo o que lemos. É bom ter uma forma de verificar duas vezes só de pensar sobre isso. Além disso, podemos estar numa situação em que não podemos procurar coisas (como durante um teste, por exemplo). Assim, a estratégia é encontrar as dimensões de ambas as expressões, fazendo uso do facto de que as dimensões seguem as regras da álgebra. Se qualquer das expressões não tiver as mesmas dimensões que a área, então não pode ser a equação correcta para a área de um círculo.
Solução
Sabemos que a dimensão da área é L2. Agora, a dimensão da expressão L^(\pi r^{2}}} é
p> = ^cdotp ^{2} = 1 ^cdotp L^{2} = L^{2},^]
desde que a constante ^(\pi) seja um número puro e o raio r seja um comprimento. Portanto, ^(^pi r^{2}) tem a dimensão da área. Do mesmo modo, a dimensão da expressão \i r é
p> = \cdotp \cdotp = 1 \cdotp 1 \cdotp L = L,\i r=p>p> desde que as constantes 2 e \i r são ambas sem dimensão e o raio r é um comprimento. Vemos que \i r tem a dimensão do comprimento, o que significa que não pode ser uma área.
P>Deixamos de fora \i r> porque não é dimensionalmente consistente com ser uma área. Vemos que {\pi r^{2}) é dimensionalmente consistente com ser uma área, portanto, se tivermos de escolher entre estas duas expressões, {\pi r^{2} é a que escolhemos.
Significado
Isto pode parecer uma espécie de exemplo idiota, mas as ideias são muito gerais. Desde que conheçamos as dimensões das quantidades físicas individuais que aparecem numa equação, podemos verificar se a equação é dimensionalmente consistente. Por outro lado, sabendo que as verdadeiras equações são consistentes dimensionalmente, podemos fazer corresponder expressões das nossas memórias imperfeitas às quantidades para as quais elas podem ser expressões. Fazer isto não nos ajudará a recordar factores sem dimensão que aparecem nas equações (por exemplo, se acidentalmente se tivesse confundido as duas expressões do exemplo em ^(2 ^pi r^{2}}, então a análise dimensional não ajuda), mas ajuda-nos a recordar a forma básica correcta das equações.
Exercicio \\(\PageIndex{2})
É a equação v = a dimensionalmente consistente?
Resposta
Adicionar textos aqui. Não apagar este texto primeiro.
Um outro ponto que precisa de ser mencionado é o efeito das operações de cálculo sobre as dimensões. Já vimos que as dimensões obedecem às regras da álgebra, tal como as unidades, mas o que acontece quando tomamos a derivada de uma quantidade física em relação a outra ou integramos uma quantidade física sobre outra? A derivada de uma função é apenas a inclinação da linha tangente ao seu gráfico e as inclinações são rácios, assim para quantidades físicas v e t, temos que a dimensão da derivada de v em relação a t é apenas o rácio da dimensão de v sobre a de t:
\ = \frac{}{}{} \ldotp\]
Simplesmente, uma vez que os integrais são apenas somas de produtos, a dimensão do integral de v em relação a t é simplesmente a dimensão de v vezes a dimensão de t:
\ = \cdotp \ldotp]
Pelo mesmo raciocínio, regras análogas mantêm-se para as unidades de quantidades físicas derivadas de outras quantidades por integração ou diferenciação.
Contribuintes e Atribuições
- p>Samuel J. Ling (Truman State University), Jeff Sanny (Loyola Marymount University), e Bill Moebs com muitos autores contribuintes. Esta obra é licenciada pela OpenStax University Physics sob uma licença Creative Commons Attribution License (por 4.0).