Números_ infinitos – Números grandes

N0

aleph-null

Também conhecido coloquialmente como infinito. Na teoria de Cantor dos transfinitos é conhecida como aleph-null quando tratada como número cardinal, e omega quando tratada como número ordinal. Num sentido informal, todos estes conceitos são os mesmos, mas há importantes distinções técnicas a fazer. O infinito em cálculo refere-se a uma quantidade real que aumenta sem limite. Não é tanto um número, mas uma forma de expressar o comportamento de um limite. ómega refere-se ao tipo de ordem do conjunto de inteiros não-negativos. Aleph-null, por outro lado, é definido como a cardinalidade do conjunto de números inteiros positivos. Em linguagem simples Aleph-null é o “número” de números. O problema com isto é que o conjunto de números inteiros positivos é suposto representar todas as coisas que poderíamos querer contar. No entanto, não se pode contar a si próprio. Então será o “número” de números, mesmo um número? Cantor pensava que sim. De certa forma, podemos tratar aleph-null como um número, na medida em que o podemos comparar com outros números e determinar qual é maior. Usando o conceito de correspondência um-para-um, Cantor mostrou que podemos racionalmente dizer que aleph-null é maior do que qualquer número inteiro positivo, embora a sabedoria anteriormente prevalecente fosse que o infinito não era um número e não podia ser comparado desta forma. Mas aceitar este ponto de vista leva a algumas anomalias de dobra da mente. Usando correspondência um-para-um, podemos mostrar que existem tantos números pares, quadrados, cubos, etc., como inteiros positivos, apesar de todos estes serem subconjuntos dos inteiros positivos. Isto viola o princípio de que o “todo é sempre maior do que qualquer parte apropriada do todo”. Assim, o aleph-null é um número tal que uma parte própria ainda é tão grande… desconcertante. Quando trabalhamos com números finitos, entendemos implicitamente a exclusividade de “maior” vs. “igual”. Um número não pode ser ambos. Assim, quando uma determinada correspondência mostra que um conjunto finito tem mais do que outro conjunto finito, sabemos que não pode existir qualquer correspondência que mostre que são iguais. Não é assim com conjuntos infinitos! Mesmo que tenhamos uma correspondência que mostre que uma é maior que a outra, isso não significa necessariamente que não exista uma correspondência que mostre que eles são iguais. No universo cantoriano de cardeais, para que um infinito seja verdadeiramente maior do que outro infinito deve ser mostrado que “não existe QUALQUER correspondência de um para um”. Uma vez que deve haver um número infinito de tais correspondências, verificar cada uma individualmente não é uma opção. É necessário apresentar uma prova que demonstre a impossibilidade de tal correspondência. Pode presumir-se que todos os infinitos são essencialmente os mesmos e podem ser colocados em correspondência um-para-um entre si. O surpreendente que Cantor fez no entanto foi mostrar que havia infinitos que não podiam ser colocados em correspondência um-para-um com aleph-null. Assim, Cantor mostrou que não havia um infinito … mas um infinito de infinitos … (Ver aleph-one). Este é o paraíso de Cantor, ou pesadelo, dependendo da sua perspectiva.

w+1

omega e um

Este é o número ordinal mais pequeno depois de “omega”. Informalmente, podemos pensar nisto como infinito mais um. Uma formulação de ordinais é tratá-los como conjuntos de todos os ordinais mais pequenos. Para dizer ómega e uma é “maior” do que “ómega”, definimos grandeza para significar que uma ordinal é maior do que outra se a ordinal mais pequena for incluída no conjunto da maior. O conjunto w+1 seria {w,0,1,2,3,…}. Seria composto por todos os inteiros não-negativos mais ómega. Assim, w+1 por esta definição é maior. Contudo, uma vez que a cardinalidade de cada ordinal é representada pela cardinalidade do seu conjunto, podemos também mostrar que num sentido w = w+1, uma vez que w={0,1,2,3,…} e w+1={w,0,1,2,…} podemos emparelhar argumentos como: {(0,w),(1,0),(2,1),(3,2),…}, o que mostra que ambos os conjuntos têm o mesmo número de elementos, ainda que w+1 inclua mais um. Confuso? Basicamente, há duas maneiras de ver a comparação de infinitos: a vista cardinal e a vista ordinal. Pela vista ordinal, ómega e uma é maior, pela vista cardinal ómega e ómega mais uma são a mesma coisa. Os cardeais não desempenham um grande papel na googologia, mas os ordinais contáveis desempenham. Assim, para os nossos propósitos, a distinção entre w e w+1 é importante.

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w+2

omega e dois

Tal como podemos alargar arbitrariamente grandes números, podemos fazer o mesmo com o w ordinal. Basta pensar no “w” como um número MUITO grande. Assim podemos acrescentar-lhe um, ou dois, ou ter …

2w

dois ómega

2w+1

dois ómega e um

2w+2

dois ómega e dois

3w

três ómega

w2

omega ao quadrado

w2+1

omega ao quadrado e um

w2+w

omega ao quadrado e omega

w2+w+1

omega ao quadrado e omega

omega ao quadrado, omega e um

2w2

dois ómega ao quadrado

w3

cubado de mega-cubo

www

φ(w,0)

omega para o omega

ww^w

omega para o omega

ε0

φ(0,1)

epsilon-zero

Cantor deu a este ordinal o nome especial epsilon-zero. O que é? É o ordinal mais pequeno maior do que qualquer ordinal que pode ser “nomeado” usando adição, multiplicação, e exponenciação com o símbolo w. Por outras palavras:

e0 = lim{w,w^w,w^w^w,w^w^w,…}

Por outras palavras, e0 = w^w^w^w^… onde há omega w’s. Pode ser definido como o mais pequeno “a” ordinal, de tal forma que a=w^a. Isto implica que e0=w^e0. Esquisito. É também igual a phi(0,1) na hierarquia de pontos fixos Veblen.

Informalmente pode pensar nisso como uma torre de poder infinito de infinitos! Também pode ser chamada informalmente w^^w.

Este ordinal é realmente importante para nós, pois representa o tamanho das matrizes tetracionais de Jonathan Bowers. Não só as matrizes tetracionais de Bowers têm uma arrays exacta de epsilon-zero (uma matriz tetracional é bem definida desde que apenas um número finito de entradas seja superior a 1. As restantes são todas iguais a 1 por defeito. Se utilizarmos os ordenais para contar todas as entradas no espaço tetracional, há exactamente entradas epsilon-zero), mas a função epsilon-zero da hierarquia de crescimento rápido tem uma taxa de crescimento equivalente à das arrays tetracionais. O epsilon-zero também representa um impasse importante. Até este ponto, a notação é bastante natural, e existe basicamente um acordo universal sobre como “nomear” ordinais inferiores a epsilon-zero e como determinar qual de dois desses ordinais é maior. No epsilon-zero, porém, começamos a deparar-nos com problemas. Há pelo menos duas formas diferentes de continuar a nomear ordinais, e certas expressões são difíceis de interpretar, tais como w^^(w+1). O facto é que somos obrigados a fazer certas escolhas sobre a notação após este ponto, e nenhuma delas segue tão naturalmente como a epsilon-zero. Existe, no entanto, uma extensão amplamente excluída, conhecida como a hierarquia Veblen. Infelizmente, esta extensão é radicalmente diferente da própria extensão de Bowers a ordenais pentacionais e mais além. É uma questão em aberto como converter de ordinais de Bowers para ordinais Veblen.

ε0+1

epsilon-zero e um

O que é tão difícil em continuar… basta adicionar um. Bem de grosseiro, podemos sempre adicionar um no sistema de ordinais, tal como fazemos com números finitos (isto sugere que NÃO há maior ordinal, tal como não há maior inteiro). O problema não é tanto adicionar um. É o que acontece à medida que continuamos…

w^(ε0+1) / w*ε0

omega ao epsilon-zero e um / omega epsilon-zero

Aqui encontramos um dos nossos primeiros problemas, embora reconhecidamente bastante menor. Há mais do que uma possível notação ordinal que poderíamos usar. Na primeira versão estamos a construir para uma pilha de omega, na segunda uma pilha de epsilon-zeros. Verá o que quero dizer ao continuarmos

w^w^(ε0+1) / ε0^w

omega para o ómega para o epsilon-zero e um / epsilon-zero ao omega

Apesar do facto de termos pelo menos duas formas diferentes de escrever ordinais depois do epsilon-zero, a boa notícia é que não é muito difícil até este momento criar uma correspondência entre eles. Ou seja, podemos converter uma notação para a outra e assim comparar ordinais em ambos os sistemas e determinar qual deles é maior. A chave para esta conversão é a definição e0=w^e0. Usando isto, podemos converter a primeira forma na segunda, como se segue:

w^w^w^(e0+1) = w^(w*w^e0) = (w^w^e0)^w = (w^e0)^w = e0^w

Isto leva algum tempo a habituarmo-nos, mas w^e0 é meramente e0, enquanto w^(e0+1) > e0. De facto, é pior do que isso porque e0 = w^e0 = w^w^e0 = w^w^w^e0 = … etc.

ε0^ε0

epsilon-zero ao epsilon-zero

Este é um ordinal fixe. Este é epsilon-zero elevado ao epsilon-zero. O que é isto na forma normalizada do Cantor? Vejamos (lembre-se e0=w^e0):

e0^e0 = (w^e0)^e0 = w^(e0*e0) = w^(w^e0*w^e0) = w^w^(2e0)

Weird. Ainda assim, parece que os ordinais após epsilon-zero são bem comportados até agora. No entanto, qual é o limite da extensão de e0 usando exponenciação…

ε1

φ(1,1)

epsilon-one

Epsilon-one é o próximo grande passo na hierarquia de pontos fixos Veblen. Epsilon-one pode ser definido como o ordinal mais pequeno maior do que qualquer ordinal exponível usando apenas adição, multiplicação e exponenciação nos ordinais “w” e “e0”. Uma maneira de o definir é como:

e1 = lim{e0+1,w^(e0+1),w^w^(e0+1),w^w^w^(e0+1),…}

Agora que já viu isto, pode provavelmente adivinhar o que acontece a seguir…

ε2

φ(2,1)

epsilon-two

Epsilon-two é o limite de expressões usando w,e0 e e1:

e2 = lim{e1+1,w^(e1+1),w^w^(e1+1),…}

>>>

εw

φ(w,1)

epsilon-omega

Agora que estabelecemos uma regra geral, podemos continuar a qualquer índice ordinal do epsilon …. incluindo as ordinais infinitas. YIKES …

εw^w

φ(w^w,1)

epsilon-omega-to-theomega

εe0

φ(φ(0,1)),1)

epsilon-epsilon-zero

εe(e0)

φ(φ(φ(0,1)),1),1)

epsilon-epsilon-epsilon-zero

>>

εe(e(e(…

φ(0,2)

Epsilon Limit Ordinal / zeta-minor-naught

Aqui chegamos ao limite da ideia de “Epsilon-numbers”. Este ordinal é por vezes referido como “zeta-naught”. Contudo, evitei usar esta notação aqui, porque reservei o zeta-naught para o hipotético ordinal w^^w. É duvidoso que esta ordinal seja tão grande. Ainda assim, este é um ordinal bastante fixe. É normalmente a maior ordinal mencionada numa discussão popular sobre as ordinais transfinitas de Cantor. Isso é provavelmente porque, depois disto, precisamos de desenvolver um meio mais generalizado para continuar e torna-se muito menos natural e mais técnico. A maioria dos autores consideraria isto suficiente como uma introdução aos ordinais de Cantor. Depois disto, começa a tornar-se um pouco académico…