Tetraedro

Tabela de Conteúdos

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Um tetraedro é um dos cinco sólidos platónicos.

Tem triângulos como faces.

Um tetraedro é uma forma tridimensional tendo todas as faces como triângulos.

Rede de um tetraedro

Deixe-nos fazer uma pequena actividade.

Toma uma folha de papel.

Pode observar duas redes distintas de um tetraedro mostradas abaixo.

Copiar isto na folha de papel.

Cortar ao longo da margem e dobrá-la como indicado na figura mostrada abaixo.

O papel dobrado forma um tetraedro.

A simulação abaixo ilustra um tetraedro em 3D.

Clique na borda do tetraedro e arraste-o em redor.

O que se vê?

Poderá ver todas as 4 faces do tetraedro à medida que roda.

Um tetraedro regular tem triângulos equiláteros como suas faces.

P>Desde que seja feito de triângulos equiláteros, todos os ângulos internos do tetraedro medirão \(60^\circ\)

Um tetraedro irregular também tem faces triangulares mas não são equiláteros.

Os ângulos internos do tetraedro em cada plano somam-se a { 180^^^circ}, uma vez que são triangulares.

Sem um tetraedro é especificamente mencionado como irregular, por defeito, todos os tetraedros são assumidos como tetraedros regulares.

• Tem 4 faces, 6 arestas e 4 cantos.
• Todos os quatro vértices estão igualmente distantes uns dos outros.
• Em cada um dos seus vértices, 3 arestas encontram-se.
• Tem 6 planos de simetria.
• Não parecido com outros sólidos platónicos, um tetraedro não tem faces paralelas.
• Um tetraedro regular tem triângulos equiláteros para todas as suas faces.

Várias fórmulas de tetraedro estão listadas abaixo.

Considerar um tetraedro regular feito de triângulos equiláteros de lado \(s\).

p>Tetraedro Volume:

br>>>p>(texto{Volume} = {s^3}{6sqrt{2})br>>p>Total Surface Area of a Tetrahedron:br> {text{TSA} = {sqrt{3} {3}:s^2 ^)br>>p>Área de uma face de um tetraedro:br>>p>(texto{ Área de uma face } = {sqrt{3}{4}s^2 ^)br>>p>p>Altura de um tetraedro:>br>

{texto{Altura oblíqua} = {sqrt{3}{2}s})

>br>>p> Altitude ‘h’ de um tetraedro:

{texto{Altitude} = {sqrt{6}{3})

br>>>p>>p>Utilizar a calculadora do tetraedro para encontrar o volume e a área de superfície total.

Entrar o comprimento do bordo na calculadora abaixo.

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Exemplos resolvidos

p>Exemplo 1br>

Dois tetraedros congruentes estão colados ao longo da sua base para formar uma bipirâmide triangular.

Quantas faces, bordas e vértices tem esta bipirâmide?

Solução:

Se abrirmos a imagem acima para ver a rede da bipirâmide triangular, podemos observar que:

Existem 6 faces triangulares, 9 arestas e 5 vértices.

>br>>p>Bipirâmide triangular tem 6 faces triangulares, 9 arestas e 5 vértices.br>>p>Exemplo 2br>

P>Conhecer o volume de um tetraedro regular com comprimento lateral medindo 5 unidades.

(Arredondar a resposta para 2 casas decimais)

Solução:

p> Sabemos que o volume de um tetraedro com comprimento de lado {\i} é:

(begin{align}{Volume} = {s^3}{6sqrt{2}}end{align})

Substituindo 5 como 5 obtemos

>>>br>>>p>p>Volume do tetraedro é 14.73 unidades3

p>Exemplo 3br>

Cada borda de um tetraedro regular é de comprimento 6 unidades.

P>P>P>Pela sua área total de superfície.

Solução:

Área total de superfície de um tetraedro regular de lado {\i}

{\i1}(texto{TSA} = {3}sqrt{3} {3}:s^2 \)

p>Substituting s = 6, obtemos

\

br>>p>Total Surface Area = 62.35 unidades2 p>Exemplo 4br>

A soma do comprimento das arestas de um tetraedro regular é de 60 unidades.

P>P>Pela superfície de uma das suas faces.

Solução:

Sabemos que um tetraedro regular tem 6 arestas.

Por isso, o comprimento de cada aresta é:

(begin{align}\frac{60}{6} = 10 {unidades de texto{end{align}})

p>Área da superfície de uma das faces do tetraedro:

(begin{align}{align}}(Área de uma face } = {sqrt{3}{4}s^2 ^end{align})

p>Substituindo s = 10, obtemos:

>>br>>p>Surface Area of one of its face = 8.66 unidades2

p>Exemplo 5br>

Para que medida da aresta, a área total de superfície de um tetraedro é igual ao seu volume?

Solução:

Sabemos que {texto{TSA} = {3}sqrt{3}:s^2 ^2 ^) e ^begin{align{align}{Volume} = ^frac{s^3}{6sqrt{2}}{end{align})

Se TSA = Volume, podemos dizer que:

( ^sqrt{3} {3}:s^2 = ^frac{s^3}{6sqrt{2})

Solving for s, temos

>br>>p>p>Edge length of a tetrahedron is \\(6\sqrt6\)

br>

Notações Importantes

1. Tetraedro, cube, octaedro, icosaedro e dodecaedro são os únicos 5 sólidos platónicos.
2. Um tetraedro é uma pirâmide triangular; todas as 4 faces de um tetraedro são triângulos.
3. Um tetraedro tem 4 faces, 6 arestas e 4 cantos.

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Aqui estão algumas actividades para você praticar.

Select/Type a sua resposta e clique no botão “Check Answer” para ver o resultado.

Desafio Questões

1. Forma-se uma nova forma alinhando a face de um tetraedro exactamente sobre uma face triangular da pirâmide quadrada. Quantos vértices, arestas e faces terá a nova forma?
2. Rody tem uma tenda que tem a forma de um tetraedro regular. O volume da tenda é de 100 m3 e a altura de 6 m. Qual seria o comprimento das arestas da sua tenda?

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