The Nyquist-Shannon Theorem: Compreensão dos Sistemas Amostragem

p>Tecnologia Moderna como a conhecemos não existiria sem conversão analógico-digital e conversão digital-analógico. De facto, estas operações tornaram-se tão comuns que parece um truísmo dizer que um sinal analógico pode ser convertido para digital e de volta para analógico sem qualquer perda significativa de informação.

Mas como é que sabemos que este é de facto o caso? Porque é que a amostragem é uma operação não destrutiva, quando parece descartar tanto comportamento de sinal que observamos entre as amostras individuais?

Como podemos começar com um sinal que se parece com isto:

E digitalizá-lo para isto:

E depois ousa afirmar que o sinal original pode ser restaurado sem perda de informação?

The Nyquist-Shannon Theorem

Tal reclamação é possível porque é consistente com um dos princípios mais importantes da engenharia eléctrica moderna:

Se um sistema recolhe uniformemente amostras de um sinal analógico a uma taxa que excede a frequência mais alta do sinal por pelo menos um factor de dois, o sinal analógico original pode ser perfeitamente recuperado a partir dos valores discretos produzidos pela amostragem.

Há muito mais a dizer sobre este teorema, mas primeiro, vamos tentar descobrir o que lhe chamar.

Shannon? Nyquist? Kotelnikov? Whittaker?

Não sou certamente a pessoa a decidir quem merece mais crédito por formular, demonstrar, ou explicar a Teoria Shannon-Nyquist-Kotelnikov-Whittaker de Amostragem e Interpolação. Todos estes quatro indivíduos tiveram algum tipo de envolvimento proeminente.

No entanto, parece que o papel de Harry Nyquist foi alargado para além do seu significado original. Por exemplo, no Processamento Digital de Sinais: Fundamentos e Aplicações por Tan e Jiang, o princípio acima referido é identificado como o “teorema da amostragem de Shannon”, e em Circuitos Microelectrónicos por Sedra e Smith, encontro a seguinte frase: “O facto de podermos fazer o nosso processamento num número limitado de amostras … enquanto ignoramos os detalhes do sinal analógico entre amostras é baseado no teorema da amostragem de Shannon”

Assim, devemos provavelmente evitar usar “o teorema da amostragem de Nyquist” ou “a teoria da amostragem de Nyquist”. Se precisamos de associar um nome a este conceito, sugiro que incluamos apenas Shannon ou tanto Nyquist como Shannon. E, de facto, talvez seja altura de fazer a transição para algo mais anónimo, tal como “Teorema Fundamental da Amostragem”

Se achar isto algo desorientador, lembre-se que o teorema da amostragem acima referido é distinto da taxa Nyquist, que será explicada mais tarde no artigo. Não creio que alguém esteja a tentar separar Nyquist da sua taxa, por isso acabamos com um bom compromisso: Shannon obtém o teorema, e Nyquist obtém a taxa.

Teoria da Amostragem no Domínio do Tempo

Se aplicarmos o teorema da amostragem a um sinusoidal de frequência fSIGNAL, temos de amostrar a forma de onda na fSAMPLE ≥ 2fSIGNAL se quisermos permitir uma reconstrução perfeita. Outra forma de dizer isto é que precisamos de pelo menos duas amostras por ciclo sinusoidal. Vamos primeiro tentar compreender este requisito pensando no domínio do tempo.

Na seguinte parcela, a sinusoidal é amostrada a uma frequência muito superior à frequência do sinal.

Cada círculo representa um instante de amostragem, ou seja um momento preciso em que a tensão analógica é medida e convertida num número.

Para melhor visualizar o que este processo de amostragem nos deu, podemos traçar os valores da amostra e depois ligá-los com linhas rectas. A aproximação em linha recta apresentada no gráfico seguinte parece exactamente igual ao sinal original: a frequência de amostragem é muito elevada em relação à frequência do sinal, e consequentemente os segmentos de linha não são visivelmente diferentes dos segmentos sinusoidais curvos correspondentes.

As vezes que reduzimos a frequência de amostragem, o aspecto da aproximação em linha recta diverge do original.

20 amostras por ciclo (fSAMPLE = 20fSIGNAL)

10 amostras por ciclo (fSAMPLE = 10fSIGNAL)

5 amostras por ciclo (fSAMPLE = 5fSIGNAL)

Em fSAMPLE = 5fSIGNAL, a forma de onda do tempo discreto já não é uma representação agradável da forma de onda do tempo contínuo. Contudo, note-se que ainda podemos identificar claramente a frequência da forma de onda discreta em tempo discreto. A natureza cíclica do sinal não foi perdida.

O Limiar: Duas amostras por ciclo

Os pontos de dados produzidos pela amostragem continuarão a reter a natureza cíclica do sinal analógico à medida que diminuímos o número de amostras por ciclo abaixo de cinco. No entanto, acabamos por chegar a um ponto em que a informação de frequência é corrompida. Considere o seguinte gráfico:

2 amostras por ciclo (fSAMPLE = 2fSIGNAL)

Com fSAMPLE = 2fSIGNAL, a forma sinusoidal desaparece completamente. No entanto, a onda triangular criada pelos pontos de dados amostrados não alterou a natureza cíclica fundamental da sinusoidal. A frequência da onda triangular é idêntica à frequência do sinal original.

No entanto, assim que reduzimos a frequência de amostragem ao ponto em que há menos de duas amostras por ciclo, esta afirmação já não pode ser feita. Duas amostras por ciclo, para a maior frequência na forma de onda original, é portanto um limiar criticamente importante em sistemas de sinais mistos, e a frequência de amostragem correspondente é chamada a taxa Nyquist:

Se recolhermos amostras de um sinal analógico numa frequência inferior à taxa Nyquist, não conseguiremos reconstruir perfeitamente o sinal original.

Os dois gráficos seguintes demonstram a perda de equivalência cíclica que ocorre quando a frequência de amostragem cai abaixo da taxa de Nyquist.

2 amostras por ciclo (fSAMPLE = 2fSIGNAL)

1.9 amostras por ciclo (fSAMPLE = 1.9fSIGNAL)

p>Em fSAMPLE = 1.9fSIGNAL, a forma de onda discreta adquiriu um comportamento cíclico fundamentalmente novo. A repetição completa do padrão amostrado requer mais do que um ciclo sinusoidal.

No entanto, o efeito da frequência insuficiente da amostragem é algo difícil de interpretar quando temos 1,9 amostras por ciclo. O gráfico seguinte torna a situação mais clara.

1,1 amostras por ciclo (fSAMPLE = 1.1fSIGNAL)

Se não soubesse nada sobre um sinusoidal e realizasse uma análise utilizando a forma de onda discreta resultante da amostragem em 1.1fSIGNAL, formaria ideias seriamente erradas sobre a frequência do sinal original. Além disso, se tudo o que tem são os dados discretos, é impossível saber que as características de frequência foram corrompidas. A amostragem criou uma nova frequência que não estava presente no sinal original, mas não se sabe que esta frequência não estava presente.

O resultado final é este: Quando fazemos uma amostragem em frequências abaixo da taxa Nyquist, a informação perde-se permanentemente, e o sinal original não pode ser perfeitamente reconstruído.