Datenbank der Polymereigenschaften

Poissonzahl polymerer Werkstoffe

Wenn ein Material durch eine Zugkraft gedehnt wird, erfährt es normalerweise eine laterale Kontraktion, die als Poisson-Effekt bekannt ist.1 Das Verhältnis von Querkontraktion (oder Kompression) und Längsdehnung wird als Poisson-Zahl bezeichnet.

ν = -εlateral / εlongitudinal

wobei das Minuszeichen für die negative Dehnung steht. Bei geringer Dehnung (< 1 %) ist die Verformung der meisten polymeren Werkstoffe elastisch, d. h. die Verformung ist homogen und nach Wegnahme der verformenden Last kehrt das Material in seine ursprüngliche Größe und Form zurück. Wird ein isotropes Material nur in x-Richtung mit einer Zugkraft belastet, gehorcht die Dehnung innerhalb der Elastizitätsgrenze dem Hooke’schen Gesetz:

εx = σx / E

wobei E der Elastizitätsmodul (auch E-Modul oder Zugmodul genannt) ist. Dann ist die Dehnung in den anderen Richtungen einfach

εy = εz = -ν εx

Wird ein Material dagegen sowohl mit einer Längsspannung (σx) als auch mit einer Querspannung (σy) beansprucht, kann die Wirkung beider Spannungen überlagert werden. Dann ist die Dehnung in x- und y-Richtung gegeben durch

εx = σx / E – ν σy / E = (σx – ν σy) / E

εy = σy / E – ν σx / E = (σy – ν σx) / E

Das Material befindet sich im Zustand der ebenen Spannung, wenn die Spannung in z-Richtung vernachlässigt werden kann (σz = 0). Diese Situation ist bei dünnen Blechproben häufig anzutreffen. Die Dehnung in z-Richtung kann jedoch nicht vernachlässigt werden. Im Allgemeinen erfährt eine Blechprobe eine Dehnung in z-Richtung, die gleich den Poisson-Dehnungsbeiträgen der Spannungen in x- und y-Richtung ist:

εz = – ν (σx + σy) / E

Poisson-Effekt

Die Gesamtdehnung in jeder Richtung kann durch Überlagerung der Auswirkungen aller Nennspannungen erhalten werden:

εxx = / E

εyy = / E

εzz = / E

Diese Gleichungen sind bekannt als das verallgemeinerte Hooke’sche Gesetz für Normalspannungen in drei Dimensionen. Die Summe der Dehnungen εxx + εyy + εzz wird als volumetrische Dehnung oder Dilatation bezeichnet. Die volumetrische Dehnung von gummiartigen Materialien ist oft nahe Null. Daher werden Gummis oft als inkompressibel angenommen.3

Für isotrope Materialien muss die Poissonzahl ν -1 ≤ ν ≤ ½ erfüllen. Bei einem schwach kompressiblen Material wie Flüssigkeiten und Kautschuk führt eine Spannung primär zu einer Formänderung. In diesem Fall nähert sich die Poissonzahl dem Wert ν = 0,5. Für die meisten Festkörper wie Metalle, technische Kunststoffe und Keramiken liegt ν im Bereich4

0,25 << 0,35.

Die Poissonzahl hängt eng mit der Packungsdichte zusammen, d.h. mit der Art und Weise, wie die Atome/Moleküle oder Wiederholungseinheiten gepackt sind. Für die meisten Polymere nimmt sie mit zunehmender Packungsdichte ab. So haben kristalline Polymere eine kleinere Poissonzahl als amorphe Polymere.

Die Poissonzahl von polymeren Werkstoffen wird oft als konstant angenommen. Sie ist jedoch eine viskoelastische Eigenschaft und daher von vielen Faktoren wie Temperatur, Zeit, Dehnung und Dehnungsgeschwindigkeit abhängig. Die Poissonzahl von polymeren Werkstoffen nimmt im Allgemeinen mit der Zeit, der Dehnung und der Temperatur zu und mit der Dehnungsgeschwindigkeit ab.

Referenzen und Anmerkungen

1. Diese grundlegende Materialeigenschaft wurde erstmals von Siméon Denis Poisson (1787-1840)2 eingeführt, der viele grundlegende Probleme der mathematischen Physik erforschte und löste.

2. S.D. Poisson, Traite de Mecanique, Paris 1811

3. Diese Annahme ist nur eine Näherung, da für ein inkompressibles Material (ν = 0,5) der Kompressionsmodul gegen unendlich gehen würde, was nicht möglich ist.

4. Für auxetische Materialien ist die Poissonzahl negativ. Diese Materialien dehnen sich bei Dehnung in Querrichtung aus und ziehen sich bei Druckbelastung in Querrichtung zusammen. Auxetizität ist ein häufiges Phänomen in einer Reihe von kristallinen Materialien und Netzwerkpolymeren wie auxetischem Polyurethanschaum, wo ν sowohl positiv als auch negativ sein kann, abhängig von der Orientierung.

5. M.D Lechner, K. Gehrke, E.H. Nordmeier, Makromolekulare Chemie, 1993

6. G.N. Greaves, A.L. Greer, R.S. Lakes und T. Rouxel, Nature Mater. 10, 823-837 (2011)

7. N.W. Tschoegel, W.G. Knauss & I. Emri, Mechanics of Time-Dependent Materials 6: 3-51 (2002)