Diamagnetismus

Die Elektronen in einem Material siedeln sich im Allgemeinen in Orbitalen an, mit effektiv null Widerstand und wirken wie Stromschleifen. So könnte man sich vorstellen, dass Diamagnetismus-Effekte allgemein üblich sind, da jedes angelegte Magnetfeld in diesen Schleifen Ströme erzeugt, die der Änderung entgegenwirken, ähnlich wie bei Supraleitern, die im Wesentlichen perfekte Diamagnete sind. Da jedoch die Elektronen durch die Ladung der Protonen starr in Orbitalen gehalten werden und zusätzlich durch das Pauli-Ausschlussprinzip eingeschränkt sind, zeigen viele Materialien zwar Diamagnetismus, reagieren aber typischerweise nur sehr wenig auf das angelegte Feld.

Das Bohr-Van Leeuwen-Theorem beweist, dass es in einem rein klassischen System weder Diamagnetismus noch Paramagnetismus geben kann. Die klassische Theorie von Langevin für Diamagnetismus liefert jedoch die gleiche Vorhersage wie die Quantentheorie. Die klassische Theorie ist unten angegeben.

Langevin-DiamagnetismusBearbeiten

Paul Langevins Theorie des Diamagnetismus (1905) gilt für Materialien, die Atome mit geschlossenen Schalen enthalten (siehe Dielektrika). Ein Feld mit der Intensität B, das an ein Elektron mit der Ladung e und der Masse m angelegt wird, führt zu einer Larmor-Präzession mit der Frequenz ω = eB / 2m. Die Anzahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit ist ω / 2π, so dass der Strom für ein Atom mit Z Elektronen (in SI-Einheiten)

I = – Z e 2 B 4 π m . {\displaystyle I=-{\frac {Ze^{2}B}{4\pi m}}.}

Das magnetische Moment einer Stromschleife ist gleich dem Strom mal der Fläche der Schleife. Angenommen, das Feld ist mit der z-Achse ausgerichtet. Die durchschnittliche Schleifenfläche kann als π ⟨ ρ 2 ⟩ {\displaystyle \scriptstyle \pi \left\langle \rho ^{2}\right\rangle } gegeben werden.

, wobei ⟨ ρ 2 ⟩ {\displaystyle \scriptstyle \left\langle \rho ^{2}\right\rangle }

ist der mittlere quadratische Abstand der Elektronen senkrecht zur z-Achse. Das magnetische Moment ist also μ = – Z e 2 B 4 m ⟨ ρ 2 ⟩ . {\displaystyle \mu =-{\frac {Ze^{2}B}{4m}}\langle \rho ^{2}\rangle .}

Wenn die Verteilung der Ladung sphärisch symmetrisch ist, können wir annehmen, dass die Verteilung der x,y,z-Koordinaten unabhängig und identisch verteilt sind. Dann ist ⟨ x 2 ⟩ = ⟨ y 2 ⟩ = ⟨ z 2 ⟩ = 1 3 ⟨ r 2 ⟩ {\displaystyle \scriptstyle \left\langle x^{2}\right\rangle \;=\;\left\langle y^{2}\right\rangle \;=\;\left\langle z^{2}\right\rangle \;=\;{\frac {1}{3}}\left\langle r^{2}\right\rangle }

, wobei ⟨ r 2 ⟩ {\displaystyle \scriptstyle \left\langle r^{2}\right\rangle }

ist der mittlere quadratische Abstand der Elektronen vom Atomkern. Daher ist ⟨ ρ 2 ⟩ = ⟨ x 2 ⟩ + ⟨ y 2 ⟩ = 2 3 ⟨ r 2 ⟩ {\displaystyle \scriptstyle \left\langle \rho ^{2}\right\rangle \;=\;\left\langle x^{2}\right\rangle \;+\;\left\langle y^{2}\right\rangle \;=\;{\;{\frac {2}{3}}\left\langle r^{2}\right\rangle }

. Wenn n {\displaystyle n}

die Anzahl der Atome pro Volumeneinheit ist, ist die diamagnetische Suszeptibilität des Volumens in SI-Einheiten χ = μ 0 n μ B = – μ 0 e 2 Z n 6 m ⟨ r 2 ⟩ . {\displaystyle \chi ={\frac {\mu _{0}n\mu }{B}}=-{\frac {\mu _{0}e^{2}Zn}{6m}}\langle r^{2}\rangle .}

In Atomen liegt die Langevin-Suszeptibilität in der gleichen Größenordnung wie die paramagnetische Van-Vleck-Suszeptibilität.

In Metallen

Die Langevin-Theorie ist für Metalle nicht vollständig, da es auch nichtlokalisierte Elektronen gibt. Die Theorie, die den Diamagnetismus in einem freien Elektronengas beschreibt, heißt Landau-Diamagnetismus, benannt nach Lev Landau, und berücksichtigt stattdessen das schwache Gegenfeld, das sich bildet, wenn die Flugbahnen der Elektronen durch die Lorentzkraft gekrümmt werden. Der Landau-Diamagnetismus sollte jedoch dem Pauli-Paramagnetismus gegenübergestellt werden, einem Effekt, der mit der Polarisation der Spins delokalisierter Elektronen verbunden ist. Für den Volumenfall eines 3D-Systems und geringe Magnetfelder kann die (Volumen-)diamagnetische Suszeptibilität mit Hilfe der Landau-Quantisierung berechnet werden, die in SI-Einheiten

χ = – μ 0 e 2 12 π 2 m ℏ 2 m E F , {\displaystyle \chi =-\mu _{0}{\frac {e^{2}}{12\pi ^{2}m\hbar }}{\sqrt {2mE_{\rm {F}}}},}

wobei E F {\displaystyle E_{\rm {F}}

ist die Fermi-Energie. Diese ist äquivalent zu – μ 0 μ B 2 g ( E F ) / 3 {\displaystyle -\mu _{0}\mu _{\rm {B}}^{2}g(E_{\rm {F}})/3}

, genau – 1 / 3 {\textstyle -1/3}

mal Pauli paramagnetische Suszeptibilität, wobei μ B = e ℏ / 2 m {\displaystyle \mu _{\rm {B}}=e\hbar /2m}

ist das Bohr-Magneton und g ( E ) {\displaystyle g(E)}

ist die Zustandsdichte (Anzahl der Zustände pro Energie pro Volumen). Diese Formel berücksichtigt die Spin-Entartung der Ladungsträger (Spin ½ Elektronen).

In dotierten Halbleitern kann sich das Verhältnis zwischen Landau- und Pauli-Suszeptibilitäten ändern, da die effektive Masse der Ladungsträger von der Elektronenmasse im Vakuum abweicht, wodurch sich der diamagnetische Beitrag erhöht. Die hier vorgestellte Formel gilt nur für das Volumen; in eingeschlossenen Systemen wie Quantenpunkten ändert sich die Beschreibung aufgrund des Quanteneinschlusses. Zusätzlich oszilliert bei starken Magnetfeldern die Suszeptibilität delokalisierter Elektronen als Funktion der Feldstärke, ein Phänomen, das als De Haas-Van Alphen-Effekt bekannt ist und ebenfalls erstmals von Landau theoretisch beschrieben wurde.