El teorema de Nyquist-Shannon: Entendiendo los sistemas muestreados
La tecnología moderna tal y como la conocemos no existiría sin la conversión analógico-digital y la conversión digital-analógica. De hecho, estas operaciones se han convertido en algo tan habitual que suena a perogrullada decir que una señal analógica puede convertirse en digital y volver a ser analógica sin ninguna pérdida significativa de información.
¿Pero cómo sabemos que esto es realmente así? Por qué el muestreo es una operación no destructiva, cuando parece descartar tanto comportamiento de la señal que observamos entre las muestras individuales?
¿Cómo es posible que empecemos con una señal que tiene este aspecto:
Y la digitalicemos en esto:
¿Y luego atreverse a afirmar que la señal original puede ser restaurada sin pérdida de información?
El teorema de Nyquist-Shannon
Tal afirmación es posible porque es consistente con uno de los principios más importantes de la ingeniería eléctrica moderna:
Si un sistema muestrea uniformemente una señal analógica a una velocidad que excede la frecuencia más alta de la señal en al menos un factor de dos, la señal analógica original puede ser perfectamente recuperada a partir de los valores discretos producidos por el muestreo.
Hay mucho más que decir sobre este teorema, pero primero, vamos a intentar averiguar cómo llamarlo.
¿Shannon? ¿Nyquist? ¿Kotelnikov? Whittaker?
Ciertamente, no soy la persona que debe decidir quién merece el mayor crédito por formular, demostrar o explicar la teoría Shannon-Nyquist-Kotelnikov-Whittaker de muestreo e interpolación. Las cuatro personas tuvieron algún tipo de participación destacada.
Sin embargo, parece que el papel de Harry Nyquist se ha extendido más allá de su importancia original. Por ejemplo, en Digital Signal Processing: Fundamentals and Applications, de Tan y Jiang, el principio expuesto se identifica como el «teorema de muestreo de Shannon», y en Microelectronic Circuits, de Sedra y Smith, encuentro la siguiente frase: «El hecho de que podamos realizar nuestro procesamiento en un número limitado de muestras… ignorando los detalles de la señal analógica entre las muestras se basa en… el teorema de muestreo de Shannon.»
Por lo tanto, probablemente deberíamos evitar usar «el teorema de muestreo de Nyquist» o «la teoría de muestreo de Nyquist». Si tenemos que asociar un nombre a este concepto, sugiero que incluyamos sólo a Shannon o tanto a Nyquist como a Shannon. Y, de hecho, tal vez sea el momento de hacer la transición a algo más anónimo, como «Teorema fundamental del muestreo».
Si esto le parece algo desorientador, recuerde que el teorema del muestreo enunciado anteriormente es distinto de la tasa de Nyquist, que se explicará más adelante en el artículo. No creo que nadie intente separar a Nyquist de su tasa, así que terminamos con un buen compromiso: Shannon se queda con el teorema, y Nyquist con la tasa.
Teoría del muestreo en el dominio del tiempo
Si aplicamos el teorema del muestreo a una sinusoide de frecuencia fSIGNAL, debemos muestrear la forma de onda en fSAMPLE ≥ 2fSIGNAL si queremos permitir una reconstrucción perfecta. Otra forma de decir esto es que necesitamos al menos dos muestras por ciclo de la sinusoide. Intentemos primero entender este requisito pensando en el dominio del tiempo.
En el siguiente gráfico, la sinusoide se muestrea a una frecuencia muy superior a la de la señal.
Cada círculo representa un instante de muestreo, es decir, un momento preciso en el que se mide la tensión analógica y se convierte en un número.
Para visualizar mejor lo que nos ha dado este procedimiento de muestreo, podemos trazar los valores de la muestra y luego conectarlos con líneas rectas. La aproximación de la línea recta que se muestra en el siguiente gráfico se parece exactamente a la señal original: la frecuencia de muestreo es muy alta en relación con la frecuencia de la señal y, en consecuencia, los segmentos de la línea no se diferencian notablemente de los correspondientes segmentos curvos de la sinusoide.
A medida que reducimos la frecuencia de muestreo, el aspecto de la aproximación de la línea recta diverge del original.
20 muestras por ciclo (fSAMPLE = 20fSIGNAL)
10 muestras por ciclo (fSAMPLE = 10fSIGNAL)
5 muestras por ciclo (fSAMPLE = 5fSIGNAL)
En fSAMPLE = 5fSIGNAL, la forma de onda de tiempo discreto ya no es una representación agradable de la forma de onda de tiempo continuo. Sin embargo, observe que todavía podemos identificar claramente la frecuencia de la forma de onda de tiempo discreto. La naturaleza cíclica de la señal no se ha perdido.
El Umbral: Dos muestras por ciclo
Los puntos de datos producidos por el muestreo seguirán conservando la naturaleza cíclica de la señal analógica a medida que disminuyamos el número de muestras por ciclo por debajo de cinco. Sin embargo, finalmente llegamos a un punto en el que la información de frecuencia se corrompe. Considere el siguiente gráfico:
2 muestras por ciclo (fSAMPLE = 2fSIGNAL)
Con fSAMPLE = 2fSIGNAL, la forma sinusoidal desaparece por completo. Sin embargo, la onda triangular creada por los puntos de datos muestreados no ha alterado la naturaleza cíclica fundamental de la sinusoide. La frecuencia de la onda triangular es idéntica a la frecuencia de la señal original.
Sin embargo, en cuanto reducimos la frecuencia de muestreo hasta el punto en que hay menos de dos muestras por ciclo, esta afirmación ya no puede hacerse. Por tanto, dos muestras por ciclo, para la frecuencia más alta de la forma de onda original, es un umbral de importancia crítica en los sistemas de señal mixta, y la frecuencia de muestreo correspondiente se denomina tasa de Nyquist:
Si muestreamos una señal analógica a una frecuencia inferior a la tasa de Nyquist, no podremos reconstruir perfectamente la señal original.
Los dos siguientes gráficos demuestran la pérdida de equivalencia cíclica que se produce cuando la frecuencia de muestreo cae por debajo de la tasa de Nyquist.
2 muestras por ciclo (fSAMPLE = 2fSIGNAL)
1.9 muestras por ciclo (fSAMPLE = 1,9fSIGNAL)
A fSAMPLE = 1,9fSIGNAL, la forma de onda de tiempo discreto ha adquirido un comportamiento cíclico fundamentalmente nuevo. La repetición completa del patrón muestreado requiere más de un ciclo sinusoidal.
Sin embargo, el efecto de una frecuencia de muestreo insuficiente es algo difícil de interpretar cuando tenemos 1,9 muestras por ciclo. El siguiente gráfico deja la situación más clara.
1,1 muestras por ciclo (fSAMPLE = 1.1fSIGNAL)
Si no supieras nada de una sinusoide y realizaras un análisis utilizando la forma de onda en tiempo discreto resultante del muestreo a 1,1fSIGNAL, te formarías ideas muy erróneas sobre la frecuencia de la señal original. Además, si todo lo que se tiene son los datos discretos, es imposible saber que las características de la frecuencia se han corrompido. El muestreo ha creado una nueva frecuencia que no estaba presente en la señal original, pero no sabes que esa frecuencia no estaba presente.
La conclusión es la siguiente: Cuando muestreamos a frecuencias inferiores a la tasa de Nyquist, la información se pierde permanentemente, y la señal original no puede reconstruirse perfectamente.