Fuerzas conservadoras

Sravanth y Julian

Hasta ahora, tenemos una breve comprensión de la fuerza conservadora; ahora trataremos de encontrar algunos métodos para determinar si una fuerza es conservadora. En esta sección, trataremos de entender esto, con la ayuda de cuatro métodos diferentes. Para entender esto, debes estar familiarizado con el teorema de Stokes, las derivadas parciales y las funciones de Green en física. Veamos cómo podemos Identificar una fuerza conservativa:

Método 1: Probar diferentes trayectorias manteniendo los puntos finales iguales

Fuente: Khan Academy

Este método no es más que comprobar si el campo es independiente del camino o no. Según este método, si comprobamos que el trabajo realizado no cambia con la trayectoria realizada, la fuerza es conservativa. Este método no requiere una prueba ya que el método en sí es lo que el núcleo de las fuerzas conservativas. Por tanto, sólo tenemos que asegurar que

∫C1f→⋅dr→=∫C2f→⋅dr→.\N- Estilo de visualización \N-int_{C_1} {\a6}*Flecha de sobrepaso {\a6}*Flecha de sobrepaso =int_{C_2} {\a6}*Figura de la derecha. ∫C1f⋅dr=∫C2f⋅dr.

La imagen anterior especifica 2 trayectorias diferentes C1C_1C1 y C2C_2C2. Nuestro campo vectorial es conservativo si y sólo si la expresión anterior es buena. Simplemente muestra que el trabajo realizado no cambia sin importar el camino que se tome siempre que se empiece y se termine en el mismo punto.

Método 2: Propiedad de bucle de las fuerzas conservativas

Digamos que tenemos un bucle/trayectoria cerrada, siendo los puntos inicial y final AAA y BBB, por lo que según este método, si el trabajo realizado al pasar de AAA a BBB y de vuelta a AAA desde BBB es cero, entonces la fuerza es conservativa. Matemáticamente dice

∮Cualquier camino cerradof→⋅dr→=0∀f→∈ Campos conservadores.\N- Displaystyle \N-oint_{color{#D61F06}{text{Cualquier camino cerrado}} {\cdot} {\cdot} \0 cuadrado para todo. |color{#3D99F6}{conocido como Campo Conservador}. ∮Cualquier Camino Cerradof⋅dr=0∀f∈ Campos Conservadores.

Ventaja de la 2 sobre la 1: No podemos estar seguros en la 1 de que f→overrightarrow{f}f es conservador aunque siga la 1 ya que el camino o puntos que hemos tomado pueden ser un caso especial cuando obedece la condición. Veamos ahora la demostración del método 2.

Fuente: Cálculo de Thomas

Digamos que tenemos dos puntos AAA y BBB que están simplemente conectados (ver figura) en el bucle CCC. Digamos que el camino de AAA a BBB es C1C_1C1 y el camino de BBB a AAA es C2C_2C2. Pero si invertimos el sentido del camino C2C_2C2 de AAA a BBB, su signo cambia para convertirse en -C2-C_2-C2, por lo que tenemos

∮Cf⃗⋅dr=∫C1f⃗⋅dr+∫C2f⃗⋅dr=∫ABf⃗⋅dr-∫ABf⃗⋅dr=0. □\begin{aligned}\oint_{C} |vec{f} \cdot dr &= \int_{C_1} \vec{f} \cdot dr + \int_{C_2} \vec{f} &= \int_{A}^{B} \vec{f} \cdot dr – \int_{A}^{B} \vec{f} \cdot dr\\&= 0.\cquared{end{aligned}∮Cf⋅dr=∫C1f⋅dr+∫C2f⋅dr=∫ABf⋅dr-∫ABf⋅dr=0. □

Método 3: Toda fuerza conservadora puede expresarse como f⃗=∇F.\vec f = \nabla F.f=∇F.

De acuerdo con este método, si un campo vectorial f⃗\vec ff puede expresarse como f⃗=∇F\vec f = \nabla Ff=∇F para una función diferenciable FFF, entonces es conservativo. En otras palabras, si f⃗=∇F,\vec f =\nabla F,f=∇F, entonces el valor de la integral de línea ∫Cf⃗dr⃗int_C \vec f \vec{dr}∫Cfdr es independiente de la trayectoria. Más formalmente, se puede definir como sigue:

Si f=Mi+Nj+Pk\mathbf f=M\mathbf i + N\mathbf j + P\mathbf kf=Mi+Nj+Pk es un campo vectorial cuyas tres componentes son continuas en una región abierta DDD en el espacio, entonces si f⃗\vec{f}f puede ser expresado como

f→=∇F donde F es un escalar,\overrightarrow{f} = \nabla F \text{{} donde F es un } {\color{#D61F06}{text{escalar}}, f=∇F donde F es un escalar,

entonces f⃗\vec{f} f es una fuerza conservativa.

Veamos cómo se puede demostrar esto:

Dejemos f=Mi+Nj+Pk\mathbf f=M\mathbf i + N\mathbf j + P\mathbf kf=Mi+Nj+Pk. Ahora, supongamos que tenemos 222 puntos en el espacio AAA y BBB, y si f→overrightarrow ff es un campo de gradiente entonces

∫Cf→⋅dr=F(B)-F(A).\N-int_{C} \overrightarrow f\cdot dr = F(B) – F(A).∫Cf⋅dr=F(B)-F(A).

Digamos que la trayectoria es una curva suave CCC, y digamos también que tenemos un punto B0B_0B0 con coordenadas (x0,y,z)(x_0,y,z)(x0,y,z) cerca de BBB con coordenadas (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z), que están conectados por un segmento de recta LLL. Además, digamos que el camino de AAA a B0B_0B0 es otra curva C0C_0C0.

Entonces si tenemos que viajar de AAA a B,B,B, tenemos que atravesar el camino de AAA a B0B_0B0 y luego de B0B_0B0 a BBB, o en pocas palabras tenemos que viajar a lo largo de C0C_0C0 y luego LLL. Así,

F(x,y,z)=∫C0f→⋅dr+∫Lf→⋅dr.F(x,y,z) = \int_{C_0} \f\cdot dr + \int_{L} \F(x,y,z)=∫C0f⋅dr+∫Lf⋅dr.

Diferenciando esto, obtenemos

∂f∂xF(x,y,z)=∂f∂x∫C0f→⋅dr+∂f∂x∫Lf⋅→dr.\F(x,y,z) = \frac{parcial f}{parcial x} \int_{C_0} \f\cdot dr + frac{{parcial f}{parcial x}\int_{L} ∂x∂fF(x,y,z)=∂x∂f∫C0f⋅dr+∂x∂f∫Lf⋅dr.

Como es el segundo término el que depende de xxx, llegamos a

∂∂xF(x,y,z)=∂f∂x∫Lf→⋅dr.\frac{parcial}{parcial x} F(x,y,z) = \frac{parcial f}{parcial x}\int_{L} \overrightarrow f\cdot dr.∂x∂F(x,y,z)=∂x∂f∫Lf⋅dr.

Podemos parametrizar el camino LLL como r(t)=ti+yj+zk,\mathbf r(t) = t \mathbf i + y\mathbf j + z\mathbf k,r(t)=ti+yj+zk, donde el valor de ttt es x0≤t≤xx_0\leq t \leq xx0≤t≤x. Así tenemos que drdt=i,f⋅drdt=M,\frac{d\mathbf r}{dt} = \mathbf i, \frac{mathbf f\cdot d\mathbf r}{dt} = M,dtdr=i,dtf⋅dr=M, y ∫Lf⋅dr=∫x0xM(t,y,z) dt.\int_L \mathbf f\cdot d\mathbf r = \int_{x_0}^x M(t,y,z)\c, dt.∫Lf⋅dr=∫x0xM(t,y,z)dt. Sustituyendo esto en la integral anterior se obtiene

∂∂xF(x,y,z)=∂f∂x∫x0xM(t,y,z) dt=M(x,y,z).\frac{parcial}{parcial x} F(x,y,z) = \frac{parcial f}{parcial x}\int_{x_0}^x M(t,y,z)\f, dt=M(x,y,z).∂x∂F(x,y,z)=∂x∂f∫x0xM(t,y,z)dt=M(x,y,z).

Podemos hacer lo mismo para las otras dos derivadas parciales ∂f∂z=Pz\frac{parcial f}{parcial z} =Pz∂z∂f=Pz y ∂f∂y=N,\frac{parcial f}{parcial y} = N,∂y∂f=N, concluyendo que

F=∇f. □□mathbf F = \nabla f.\\\N-cuadradoF=∇f. □

Aquí tienes otra forma de demostrarlo: pincha aquí.

Método 4: El rizo de un campo conservativo es 0.

El rizo de un campo vectorial digamos f⃗=Mi+Nj+Pk\vec f =M\mathbf i + N\mathbf j + P\mathbf kf=Mi+Nj+Pk se define como

∇×f⃗=(∂P∂y-∂N∂z)i+(∂M∂z-∂P∂x)j+(∂N∂x-∂M∂y)k.\nabla\times \vec f = \left(\dfrac{parcial P}{parcial y} – \dfrac{parcial N}{parcial z}\right)\mathbf i + \left(\dfrac{parcial M}{parcial z} – \dfrac{parcial P}{parcial x}{derecho})\mathbf j + \left(\dfrac{parcial N}{parcial x}} – \dfrac{parcial M}{parcial y}{derecho})\mathbf k.∇×f=(∂y∂P-∂z∂N)i+(∂z∂M-∂x∂P)j+(∂x∂N-∂y∂M)k.

Y según este método, si el rizo de un campo es cero, entonces es conservativo. Un enunciado formal se da a continuación:

Si ∇×f⃗=0\nabla\times \vec f = 0∇×f=0 en todos y cada uno de los puntos de una región simplemente conectada de DDD en el espacio, entonces

∮Cf⃗⋅dr⃗=0 ⟹ f⃗ es conservativo.\N – El punto_C f\cdot d\cec{r}=0\Nimplica que f \text{ es conservador}. ∮Cf⋅dr=0⟹f es conservadora.

Y por tanto implica que es una fuerza conservadora sobre la región del espacio.

Aquí tienes una forma de demostrarlo usando el teorema de Stokes:

Tenemos un teorema de una rama de las matemáticas llamada «topología» que dice: «toda curva cerrada simple y suave CCC en una región abierta simplemente conectada DDD es el límite de una superficie suave de dos lados SSS que también se encuentra en DDD.»

Así, utilizando el teorema de Stokes, tenemos

∮Cf⃗dr⃗=∬S∇×f⃗⋅n dσ=0.\N – Punto_C f d\Nvec r =\iint_S\nabla \Nvec f \cdot\mathbf n \ d\sigma = 0.∮Cfdr=∬S∇×f⋅n dσ=0.