Konservative Kräfte

Sravanth und Julian

Bis jetzt haben wir ein kurzes Verständnis von konservativer Kraft; jetzt werden wir versuchen, einige Methoden zu finden, um zu bestimmen, ob eine Kraft konservativ ist. In diesem Abschnitt werden wir versuchen, dies mit Hilfe von vier verschiedenen Methoden zu verstehen. Um dies zu verstehen, müssen Sie mit dem Stokes-Theorem, partiellen Ableitungen und Greenschen Funktionen in der Physik vertraut sein. Schauen wir uns an, wie wir eine konservative Kraft identifizieren können:

Methode 1: Teste verschiedene Pfade, wobei die Endpunkte gleich bleiben

Quelle: Khan Academy

Diese Methode ist nichts anderes als die Prüfung, ob das Feld pfadunabhängig ist oder nicht. Wenn wir nach dieser Methode beweisen, dass sich die verrichtete Arbeit nicht mit dem zurückgelegten Weg ändert, ist die Kraft konservativ. Diese Methode erfordert keinen Beweis, da die Methode selbst der Kern der konservativen Kräfte ist. Wir müssen also nur sicherstellen, dass

∫C1f→⋅dr→=∫C2f→⋅dr→.\displaystyle \int_{C_1} {\overrightarrow {f} \cdot {\overrightarrow {dr}} = \int_{C_2} {\overrightarrow {f} \cdot \overrightarrow {dr}}.∫C1f⋅dr=∫C2f⋅dr.

Das obige Bild gibt 2 verschiedene Pfade C1C_1C1 und C2C_2C2 an. Unser Vektorfeld ist konservativ, wenn und nur wenn der obige Ausdruck gilt. Er zeigt einfach, dass sich die geleistete Arbeit nicht ändert, egal welchen Weg man nimmt, solange man am gleichen Punkt beginnt und endet.

Methode 2: Schleifen-Eigenschaft von konservativen Kräften

Angenommen, wir haben eine geschlossene Schleife/einen geschlossenen Weg, bei dem Start- und Endpunkt AAA und BBB sind, dann ist nach dieser Methode die Kraft konservativ, wenn die verrichtete Arbeit bei der Bewegung von AAA nach BBB und von BBB zurück nach AAA gleich Null ist. Mathematisch heißt es

∮Any Closed Pathf→⋅dr→=0∀f→∈ Conservative Fields.\displaystyle \oint_{\color{#D61F06}{\text{Any Closed Path}}} {\overrightarrow {f} \cdot \overrightarrow {dr}} = 0 \quad \forall \overrightarrow{f} \in \color{#3D99F6}{\text{konservative Felder}}. ∮Ein beliebiger geschlossener Pfadf⋅dr=0∀f∈ Konservative Felder.

Vorteil von 2 gegenüber 1: Wir können bei 1 nicht sicher sein, dass f→\overrightarrow{f}f konservativ ist, selbst wenn es 1 folgt, da der Pfad oder die Punkte, die wir genommen haben, ein Spezialfall sein können, wenn er die Bedingung erfüllt. Sehen wir uns nun den Beweis der Methode 2 an.

Quelle: Thomas‘ Calculus

Sagen wir, wir haben zwei Punkte AAA und BBB, die auf der Schleife CCC einfach verbunden sind (siehe Abbildung). Sagen wir, der Weg von AAA nach BBB ist C1C_1C1 und der Weg von BBB nach AAA ist C2C_2C2. Wenn wir aber die Richtung des Pfades C2C_2C2 von AAA nach BBB umkehren, ändert sich sein Vorzeichen zu -C2-C_2-C2, also haben wir

∮Cf⃗⋅dr=∫C1f⃗⋅dr+∫C2f⃗⋅dr=∫ABf⃗⋅dr-∫ABf⃗⋅dr=0. □\begin{aligned}\oint_{C} \vec{f} \cdot dr &= \int_{C_1} \vec{f} \cdot dr + \int_{C_2} \vec{f} \cdot dr\\&= \int_{A}^{B} \vec{f} \cdot dr – \int_{A}^{B} \vec{f} \cdot dr\\&= 0.\ _\square\end{aligned}∮Cf⋅dr=∫C1f⋅dr+∫C2f⋅dr=∫ABf⋅dr-∫ABf⋅dr=0. □

Methode 3: Jede konservative Kraft kann als f⃗=∇F ausgedrückt werden.\vec f = \nabla F.f=∇F.

Nach dieser Methode, wenn ein Vektorfeld f⃗\vec ff als f⃗=∇F\vec f = \nabla Ff=∇F für eine differenzierbare Funktion FFF ausgedrückt werden kann, dann ist es konservativ. Mit anderen Worten: Wenn f⃗=∇F,\vec f =\nabla F,f=∇F, dann ist der Wert des Linienintegrals ∫Cf⃗dr⃗\int_C \vec f \vec{dr}∫Cfdr pfadunabhängig. Formal kann es wie folgt definiert werden:

Wenn f=Mi+Nj+Pk\mathbf f=M\mathbf i + N\mathbf j + P\mathbf kf=Mi+Nj+Pk ein Vektorfeld ist, dessen drei Komponenten in einer offenen Region DDD im Raum stetig sind, dann, wenn f⃗\vec{f}f ausgedrückt werden kann als

f→=∇F wobei F ein Skalar ist,\overrightarrow{f} = \nabla F \text{, wobei F ein } {\color{#D61F06}{\text{skalar}}}, f=∇F wobei F ein Skalar ist,

dann ist f⃗\vec{f} f eine konservative Kraft.

Lassen Sie uns sehen, wie dies bewiesen werden kann:

Lassen Sie f=Mi+Nj+Pk\mathbf f=M\mathbf i + N\mathbf j + P\mathbf kf=Mi+Nj+Pk. Nehmen wir nun an, dass wir 222 Punkte im Raum AAA und BBB haben, und wenn f→\overrightarrow ff ein Gradientenfeld ist, dann

∫Cf→⋅dr=F(B)-F(A).\int_{C} \overrightarrow f\cdot dr = F(B) – F(A).∫Cf⋅dr=F(B)-F(A).

Sagen wir, der Pfad ist eine glatte Kurve CCC, und sagen wir auch, wir haben einen Punkt B0B_0B0 mit den Koordinaten (x0,y,z)(x_0,y,z)(x0,y,z) in der Nähe von BBB mit den Koordinaten (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z), die durch ein Liniensegment LLL verbunden sind. Nehmen wir weiter an, der Weg von AAA nach B0B_0B0 sei eine weitere Kurve C0C_0C0.

Wenn wir dann von AAA nach B,B,B reisen müssen, müssen wir den Weg von AAA nach B0B_0B0 und dann von B0B_0B0 nach BBB durchlaufen, oder kurz gesagt, wir müssen entlang C0C_0C0 und dann LLL reisen. Also,

F(x,y,z)=∫C0f→⋅dr+∫Lf→⋅dr.F(x,y,z) = \int_{C_0} \overrightarrow f\cdot dr + \int_{L} \overrightarrow f\cdot dr.F(x,y,z)=∫C0f⋅dr+∫Lf⋅dr.

Differenziert man dies, erhält man

∂f∂xF(x,y,z)=∂f∂x∫C0f→⋅dr+∂f∂x∫Lf→⋅dr.\frac{\partial f}{\partial x} F(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial x} \int_{C_0} \overrightarrow f\cdot dr + \frac{\partial f}{\partial x}\int_{L} \overrightarrow f\cdot dr.∂x∂fF(x,y,z)=∂x∂f∫C0f⋅dr+∂x∂f∫Lf⋅dr.

Da es der zweite Term ist, der von xxx abhängt, kommen wir zu

∂∂xF(x,y,z)=∂f∂x∫Lf→⋅dr.\frac{\partial}{\partial x} F(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial x}\int_{L} \overrightarrow f\cdot dr.∂x∂F(x,y,z)=∂x∂f∫Lf⋅dr.

Wir können den Pfad LLL parametrisieren als r(t)=ti+yj+zk,\mathbf r(t) = t \mathbf i + y\mathbf j + z\mathbf k,r(t)=ti+yj+zk, wobei der Wert von ttt x0≤t≤xx_0\leq t \leq xx0≤t≤x ist. Wir haben also drdt=i,f⋅drdt=M,\frac{d\mathbf r}{dt} = \mathbf i, \frac{\mathbf f\cdot d\mathbf r}{dt} = M,dtdr=i,dtf⋅dr=M, und ∫Lf⋅dr=∫x0xM(t,y,z) dt.\int_L \mathbf f\cdot d\mathbf r = \int_{x_0}^x M(t,y,z)\, dt.∫Lf⋅dr=∫x0xM(t,y,z)dt. Setzt man diese in das obige Integral ein, erhält man

∂∂xF(x,y,z)=∂f∂x∫x0xM(t,y,z) dt=M(x,y,z).\frac{\partial}{\partial x} F(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial x}\int_{x_0}^x M(t,y,z)\, dt = M(x,y,z).∂x∂F(x,y,z)=∂x∂f∫x0xM(t,y,z)dt=M(x,y,z).

Wir können das Gleiche für die beiden anderen partiellen Ableitungen ∂f∂z=Pz\frac{\partial f}{\partial z} =Pz∂z∂f=Pz und ∂f∂y=N,\frac{\partial f}{\partial y} = N,∂y∂f=N tun und schließen daraus, dass

F=∇f. □\mathbf F = \nabla f.\ _\squareF=∇f. □

Hier ist ein anderer Weg, es zu beweisen: klicken Sie hier.

Methode 4: Die Krümmung eines konservativen Feldes ist 0.

Die Krümmung eines Vektorfeldes sagen wir f⃗=Mi+Nj+Pk\vec f =M\mathbf i + N\mathbf j + P\mathbf kf=Mi+Nj+Pk ist definiert als

∇×f⃗=(∂P∂y-∂N∂z)i+(∂M∂z-∂P∂x)j+(∂N∂x-∂M∂y)k.\nabla\times \vec f = \left(\dfrac{\partial P}{\partial y} – \dfrac{\partial N}{\partial z}\right)\mathbf i + \left(\dfrac{\partial M}{\partial z} – \dfrac{\partial P}{\partial x}\right)\mathbf j + \left(\dfrac{\partial N}{\partial x} – \dfrac{\partial M}{\partial y}\right)\mathbf k.∇×f=(∂y∂P-∂z∂N)i+(∂z∂M-∂x∂P)j+(∂x∂N-∂y∂M)k.

Wenn die Krümmung eines Feldes Null ist, dann ist es nach dieser Methode konservativ. Eine formale Aussage ist unten angegeben:

Wenn ∇×f⃗=0\nabla\times \vec f = 0∇×f=0 an jedem einzelnen Punkt in einer einfach verbundenen Region von DDD im Raum, dann

∮Cf⃗⋅dr⃗=0 ⟹ f⃗ ist konservativ.\oint_C \vec f\cdot d\vec{r}=0\implies \vec f \text{ist konservativ}. ∮Cf⋅dr=0⟹f ist konservativ.

Und damit impliziert es, dass es eine konservative Kraft über den Bereich des Raumes ist.

Hier ist eine Möglichkeit, dies mit Hilfe des Stokes’schen Theorems zu beweisen:

Wir haben ein Theorem aus einem Zweig der Mathematik namens „Topologie“, das besagt: „Jede glatte einfache geschlossene Kurve CCC in einer einfach zusammenhängenden offenen Region DDD ist die Grenze einer glatten zweiseitigen Oberfläche SSS, die ebenfalls in DDD liegt.“

Mit Hilfe des Satzes von Stokes haben wir also

∮Cf⃗dr⃗=∬S∇×f⃗⋅n dσ=0.\oint_C \vec f d\vec r =\iint_S\nabla \times\vec f \cdot\mathbf n \ d\sigma = 0.∮Cfdr=∬S∇×f⋅n dσ=0.