Expérience / Distribution binomiale négative : Définition, Exemples

Théorème binomial >. Expérience du binôme négatif

Image : UCSF

L’expérience binomiale négative est presque la même qu’une expérience binomiale à une différence près : une expérience binomiale comporte un nombre fixe d’essais.

Si les cinq conditions suivantes sont vraies, l’expérience est binomiale :
1. Nombre fixe de n essais.
2. Chaque essai est indépendant.
3. Seuls deux résultats sont possibles (Succès et Échec).
4. La probabilité de succès (p) pour chaque essai est constante.
5. Une variable aléatoire Y= le nombre de succès.

Exemple : Prenez un jeu de cartes standard, mélangez-les et choisissez une carte. Remplacez la carte et répétez l’opération vingt fois. Y est le nombre d’as que vous tirez.

Le binôme négatif est similaire au binôme avec deux différences (spécifiquement aux numéros 1 et 5 de la liste ci-dessus):

• Le nombre d’essais, n n’est pas fixe.
• Une variable aléatoire Y= le nombre d’essais nécessaires pour faire r succès.

Exemple : Prenez un jeu de cartes standard, mélangez-les et choisissez une carte. Remplacez la carte et répétez jusqu’à ce que vous ayez tiré deux as. Y est le nombre de tirages nécessaires pour tirer deux as. Comme le nombre d’essais n’est pas fixe (c’est-à-dire que vous vous arrêtez lorsque vous tirez le deuxième as), cela en fait une distribution binomiale négative.

Qu’est-ce qu’une distribution binomiale négative ?

Une distribution binomiale négative (également appelée distribution de Pascal) est une distribution de probabilité discrète pour les variables aléatoires dans une expérience binomiale négative.

La variable aléatoire est le nombre d’essais répétés, X, qui produisent un certain nombre de succès, r. En d’autres termes, c’est le nombre d’échecs avant un succès. C’est la principale différence avec la distribution binomiale : avec une distribution binomiale ordinaire, on cherche le nombre de réussites. Avec une distribution binomiale négative, c’est le nombre d’échecs qui compte.

Pourquoi est-elle appelée binomiale négative ?

Lorsque vous entendez le terme négatif, vous pouvez penser qu’une distribution positive est retournée sur l’axe des x, ce qui la rend négative. Cependant, la partie « négative » de la binomiale négative provient en fait du fait qu’une facette de la distribution binomiale est inversée : dans une expérience binomiale, vous comptez le nombre de Succès dans un nombre fixe d’essais ; dans l’exemple ci-dessus, vous comptez combien d’as vous tirez. Dans une expérience binomiale négative, vous comptez les Échecs, ou le nombre de cartes qu’il vous faut pour tirer deux as.

La formule binomiale négative

Probabilité:
b*(x ; r, P) = x-1Cr-1 * Pr * (1 – P)x – r
où x=nombre d’essais
r = Succès

Moyenne :
μ = r / P
où r est le nombre d’essais
P=probabilité de succès pour tout essai

Résoudre les problèmes de l’expérience binomiale négative

La pmf pour la distribution binomiale négative est :

Où:
r est le nombre de succès et
p = la probabilité de succès.

Question type : Vous interrogez des personnes sortant d’un isoloir et leur demandez si elles ont voté indépendant. La probabilité (p) qu’une personne ait voté indépendant est de 20 %. Quelle est la probabilité qu’il faille interroger 15 personnes avant de trouver 5 personnes ayant voté indépendant ?

Étape 1 : trouver p, r et X.
On nous donne (dans la question) que p = 20%(,2) et r = 5. Le nombre d’échecs, X, est de 15 – 5 = 10.

Etape 2 : Insérer ces valeurs de l’étape 1 dans la formule :

Etape 3 : Résoudre. La première partie (14 sur 4) est une combinaison (utilisez notre calculateur de combinaisons pour trouver 14 choisir 4).
1001*,25*,810 = 0,034.

La probabilité que vous deviez demander à 15 personnes d’obtenir 5 votes pour indépendant est de 0,034, soit 3,4 %.

La distribution géométrique est un cas particulier de la distribution binomiale négative.

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