Le théorème de Nyquist-Shannon : Comprendre les systèmes échantillonnés
La technologie moderne telle que nous la connaissons n’existerait pas sans la conversion analogique-numérique et la conversion numérique-analogique. En fait, ces opérations sont devenues si courantes que cela ressemble à un truisme de dire qu’un signal analogique peut être converti en numérique et de nouveau en analogique sans perte significative d’informations.
Mais comment savoir si c’est bien le cas ? Pourquoi l’échantillonnage est-il une opération non destructive, alors qu’il semble écarter tant de comportements du signal que nous observons entre les différents échantillons ?
Comment diable pouvons-nous commencer avec un signal qui ressemble à ceci:
Et le numériser en ceci :
Et oser ensuite prétendre que le signal original peut être restauré sans perte d’information ?
Le théorème de Nyquist-Shannon
Une telle affirmation est possible parce qu’elle est cohérente avec l’un des principes les plus importants de l’ingénierie électrique moderne :
Si un système échantillonne uniformément un signal analogique à un taux qui dépasse la plus haute fréquence du signal d’au moins un facteur deux, le signal analogique original peut être parfaitement récupéré à partir des valeurs discrètes produites par l’échantillonnage.
Il y a beaucoup plus à dire sur ce théorème, mais d’abord, essayons de trouver comment l’appeler.
Shannon ? Nyquist ? Kotelnikov ? Whittaker?
Je ne suis certainement pas la personne qui doit décider qui mérite le plus de crédit pour avoir formulé, démontré ou expliqué la théorie de l’échantillonnage et de l’interpolation de Shannon-Nyquist-Kotelnikov-Whittaker. Ces quatre personnes ont toutes eu une sorte de participation éminente.
Cependant, il semble bien que le rôle de Harry Nyquist ait été étendu au-delà de sa signification initiale. Par exemple, dans Digital Signal Processing : Fundamentals and Applications de Tan et Jiang, le principe énoncé ci-dessus est identifié comme le « théorème d’échantillonnage de Shannon », et dans Microelectronic Circuits de Sedra et Smith, je trouve la phrase suivante : « Le fait que nous puissions effectuer notre traitement sur un nombre limité d’échantillons… tout en ignorant les détails du signal analogique entre les échantillons est basé sur… le théorème d’échantillonnage de Shannon. »
Donc, nous devrions probablement éviter d’utiliser « le théorème d’échantillonnage de Nyquist » ou « la théorie d’échantillonnage de Nyquist ». Si nous devons associer un nom à ce concept, je suggère d’inclure uniquement Shannon ou à la fois Nyquist et Shannon. Et en fait, il est peut-être temps de faire la transition vers quelque chose de plus anonyme, comme « Théorème d’échantillonnage fondamental. »
Si vous trouvez cela quelque peu désorientant, rappelez-vous que le théorème d’échantillonnage énoncé ci-dessus est distinct du taux de Nyquist, qui sera expliqué plus loin dans l’article. Je ne pense pas que quiconque cherche à séparer Nyquist de son taux, donc nous nous retrouvons avec un bon compromis : Shannon obtient le théorème, et Nyquist obtient le taux.
Théorie de l’échantillonnage dans le domaine temporel
Si nous appliquons le théorème d’échantillonnage à une sinusoïde de fréquence fSIGNAL, nous devons échantillonner la forme d’onde à fSAMPLE ≥ 2fSIGNAL si nous voulons permettre une reconstruction parfaite. Une autre façon de dire cela est que nous avons besoin d’au moins deux échantillons par cycle de sinusoïde. Essayons d’abord de comprendre cette exigence en pensant dans le domaine temporel.
Dans le tracé suivant, la sinusoïde est échantillonnée à une fréquence bien supérieure à celle du signal.
Chaque cercle représente un instant d’échantillonnage, c’est-à-dire , un moment précis où la tension analogique est mesurée et convertie en un nombre.
Pour mieux visualiser ce que cette procédure d’échantillonnage nous a donné, nous pouvons tracer les valeurs d’échantillonnage, puis les relier par des lignes droites. L’approximation en ligne droite présentée dans le tracé suivant ressemble exactement au signal original : la fréquence d’échantillonnage est très élevée par rapport à la fréquence du signal et, par conséquent, les segments de ligne ne sont pas sensiblement différents des segments sinusoïdaux courbes correspondants.
A mesure que nous réduisons la fréquence d’échantillonnage, l’apparence de l’approximation en ligne droite diverge de l’original.
20 échantillons par cycle (fSAMPLE = 20fSIGNAL)
10 échantillons par cycle (fSAMPLE = 10fSIGNAL)
5 échantillons par cycle (fSAMPLE = 5fSIGNAL)
À fSAMPLE = 5fSIGNAL, la forme d’onde en temps discret n’est plus une représentation agréable de la forme d’onde en temps continu. Cependant, remarquez que nous pouvons toujours identifier clairement la fréquence de la forme d’onde en temps discret. La nature cyclique du signal n’a pas été perdue.
Le seuil : Deux échantillons par cycle
Les points de données produits par l’échantillonnage continueront à conserver la nature cyclique du signal analogique lorsque nous diminuerons le nombre d’échantillons par cycle en dessous de cinq. Cependant, nous finissons par atteindre un point où les informations de fréquence sont corrompues. Considérons le tracé suivant :
2 échantillons par cycle (fSAMPLE = 2fSIGNAL)
Avec fSAMPLE = 2fSIGNAL, la forme sinusoïdale a complètement disparu. Néanmoins, l’onde triangulaire créée par les points de données échantillonnés n’a pas modifié la nature cyclique fondamentale de la sinusoïde. La fréquence de l’onde triangulaire est identique à la fréquence du signal original.
Cependant, dès que nous réduisons la fréquence d’échantillonnage au point où il y a moins de deux échantillons par cycle, cette affirmation ne peut plus être faite. Deux échantillons par cycle, pour la fréquence la plus élevée de la forme d’onde originale, constituent donc un seuil d’une importance critique dans les systèmes à signaux mixtes, et la fréquence d’échantillonnage correspondante est appelée taux de Nyquist :
Si nous échantillonnons un signal analogique à une fréquence inférieure au taux de Nyquist, nous ne serons pas en mesure de reconstruire parfaitement le signal original.
Les deux graphiques suivants démontrent la perte d’équivalence cyclique qui se produit lorsque la fréquence d’échantillonnage tombe en dessous du taux de Nyquist.
2 échantillons par cycle (fSAMPLE =… 2fSIGNAL)
1.9 échantillons par cycle (fSAMPLE = 1,9fSIGNAL)
À fSAMPLE = 1,9fSIGNAL, la forme d’onde en temps discret a acquis un comportement cyclique fondamentalement nouveau. La répétition complète du motif échantillonné nécessite plus d’un cycle sinusoïdal.
Cependant, l’effet d’une fréquence d’échantillonnage insuffisante est quelque peu difficile à interpréter lorsque nous avons 1,9 échantillon par cycle. Le graphique suivant rend la situation plus claire.
1,1 échantillons par cycle (fSAMPLE = 1.1fSIGNAL)
Si vous ne saviez rien d’une sinusoïde et que vous effectuiez une analyse en utilisant la forme d’onde en temps discret résultant d’un échantillonnage à 1,1fSIGNAL, vous vous feriez des idées sérieusement erronées sur la fréquence du signal original. En outre, si vous ne disposez que des données discrètes, il est impossible de savoir que les caractéristiques de fréquence ont été corrompues. L’échantillonnage a créé une nouvelle fréquence qui n’était pas présente dans le signal original, mais vous ne savez pas que cette fréquence n’était pas présente.
L’essentiel est le suivant : Lorsque nous échantillonnons à des fréquences inférieures au taux de Nyquist, l’information est définitivement perdue, et le signal original ne peut pas être parfaitement reconstruit.
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