Résoudre des problèmes du monde réel

Une leçon pour les élèves de première et deuxième année

Une leçon pour les élèves de première année

par Chris Confer

Lorsque les enfants utilisent les mathématiques pour résoudre des problèmes du monde réel, ils apprennent que les mathématiques ne sont pas seulement quelque chose à faire pour le plaisir du professeur, mais qu’elles leur offrent des outils importants pour façonner leur monde. Dans cette leçon, qui figure dans le nouveau livre de Chris Confer, Teaching Number Sense, Grade 1 (Math Solutions Publications, 2005), on demande aux enfants de déterminer le nombre de biscuits dont ils ont besoin pour une fête de classe.

« Demain, c’est la Journée des enfants, ai-je dit, et nous pourrions fêter cela en mangeant des biscuits. Je serais heureux d’apporter deux biscuits pour chacun d’entre vous, mais j’aimerais savoir combien de biscuits apporter. Qu’est-ce qu’il faut savoir pour le savoir ? »

« Combien de biscuits ? » Juanita a demandé.

« Oui, c’est ce que nous devons savoir pour savoir combien de biscuits il nous faut pour que chacun de vous puisse en avoir deux. Combien d’enfants y a-t-il dans notre classe ? » J’ai continué. Les enfants ont convenu qu’il y en avait vingt-deux. J’ai écrit Il y a 22 enfants au tableau. Puis j’ai ajouté Si chaque enfant reçoit 2 biscuits, de combien de biscuits avons-nous besoin ?

« Vous pouvez faire des dessins ou utiliser des cubes ou n’importe quoi d’autre pour trouver la solution », ai-je dit. « Vous pouvez travailler tout seul ou avec un ou des partenaires. »

De nouveau, j’ai demandé : « Combien d’enfants y a-t-il dans cette pièce ? ». Les enfants ont répondu : « Vingt-deux. »

« Et de combien de biscuits chacun a-t-il besoin ? ». « Deux biscuits », ont-ils répondu.

« Je veux que chacun d’entre vous montre sa réponse et comment il l’a calculée sur une feuille de papier », ai-je poursuivi. « Utilisez des mots, des chiffres et des images pour montrer ce que vous avez fait. »

Alfredo a commencé à dessiner des figures en bâton et deux biscuits à côté de chacune, mais après deux figures en bâton, il a abandonné cette idée. « C’est trop difficile », m’a-t-il dit. « Je peux recommencer ? » Il a retourné sa feuille et a commencé à dessiner des ensembles de deux biscuits. Chaque paire de biscuits avait un espace légèrement plus grand entre elle et la paire suivante.

Alejandrina, Navin et Alicia avaient dessiné des paires de biscuits et avaient entouré les paires. Elles comptaient pour vérifier qu’elles avaient vingt-deux paires. Navin avait écrit 2 1 2 1 2 1 2 … et comptait par unités. « Quarante-quatre ! » a-t-il dit triomphalement.

Lorena a fait des points pour ses biscuits. Les paires de biscuits étaient clairement séparées les unes des autres. Elle les a comptés, en a dessiné d’autres et les a recomptés d’un pour vérifier combien de biscuits elle avait.

Je suis passée à Sereslinda, qui avait fait des cercles pour les biscuits, tous en ligne, sans espace séparant les paires de biscuits. Elle s’est arrêtée pour compter les biscuits et est arrivée à seize. Je me suis demandé ce qu’elle ferait ensuite.

Alfredo avait décidé d’encercler ses paires de biscuits. « Ils vont ensemble », disait-il. « C’est deux enfants. » Il semblait qu’Alfredo avait commencé à confondre ce que les cercles représentaient : s’agissait-il de biscuits ou d’enfants ? J’ai décidé de ne pas intervenir et de voir s’il serait capable de démêler cela lui-même. (Voir figure 1.)

Figure 1. Même s’il avait encerclé les paires,
Alfredo a montré sur son papier vingt-deux biscuits, plutôt
que vingt-deux paires de biscuits.

Sereslinda avait aussi commencé à encercler les paires de biscuits, peut-être pour montrer que chaque enfant avait deux biscuits. Elle s’arrêtait périodiquement pour compter les paires de biscuits. Quand elle en avait vingt-deux, elle s’est arrêtée.

Elle a ensuite commencé à dessiner des bonhommes bâtons. Elle en a fait dix et a ensuite commencé à écrire des chiffres pour représenter les autres enfants de la classe. Ses chiffres sont montés jusqu’à vingt-deux, mais elle n’avait dessiné que onze bonhommes bâtons et dix chiffres. Sereslinda avait mal compté, mais j’étais intéressée par la façon dont elle était passée à un mode de représentation plus efficace : en utilisant des chiffres plutôt que des dessins.

J’ai observé Sereslinda qui a commencé à vérifier qu’elle avait suffisamment de paires de biscuits pour chaque enfant de la classe. Elle traçait des lignes pour relier chaque personne en bâton à une paire de biscuits ou chaque chiffre à une paire de biscuits. Mais cette stratégie de représentation s’est avérée difficile à mettre en œuvre. (Voir la figure 2.) Sereslinda commençait à avoir l’air frustrée. Il était temps d’intervenir.

Figure 2. Sereslinda a tracé des lignes pour relier ses stick
figures avec des paires de biscuits. Les nombreuses lignes sur
le dessin l’ont troublée et elle a changé sa
réponse de quarante-quatre à vingt-deux.

« Sais-tu quelle chose intelligente je te vois faire ? ». J’ai demandé à Sereslinda. « Tu corresponds pour vérifier que tu as deux biscuits pour chaque personne en traçant des lignes. Cela fonctionne très bien pour les petits nombres, mais cela devient difficile avec les grands nombres comme vingt-deux. Puis-je te faire une suggestion ? » Elle acquiesce. « Tu pourrais essayer de montrer du doigt chaque paire de deux biscuits et voir si tu comptes vingt-deux paires, tout comme nous avons vingt-deux enfants. » Je lui ai fait une démonstration et elle a continué à compter toute seule.

« Il y en a assez », m’a-t-elle dit. J’étais heureuse que cette stratégie alternative se soit avérée utile pour elle.

Lorena avait fabriqué vingt-deux paires de biscuits et a commencé à les compter à partir de un en anglais. Elle a fait une erreur de comptage à mi-chemin et a reconnu d’une manière ou d’une autre son erreur. « Tu devrais peut-être compter en espagnol », lui ai-je suggéré. Lorsque les enfants font quelque chose de difficile, ils ont souvent plus de succès en utilisant leur première langue.

Lorena a commencé à recompter en espagnol, en comptant à partir de deux. Elle a fait cela plusieurs fois, en s’assurant qu’elle comptait correctement. Lorena a soigneusement écrit 44 biscuits en haut de sa page. (Voir figure 3.)

Figure 3. Lorena a dessiné vingt-deux paris de biscuits puis a compté par un, en espagnol, jusqu’à quarante-quatre.

Je suis retourné voir Sereslinda. Sur sa feuille, il y avait vingt-deux paires de biscuits.  » Combien de biscuits devons-nous avoir ? « . J’ai demandé. Sereslinda a compté les groupes de deux. « Il nous faut vingt-deux biscuits », a-t-elle annoncé.

« Donc, nous avons vingt-deux enfants, et chaque enfant reçoit deux biscuits, et nous devons apporter vingt-deux biscuits ? ». ai-je demandé. Sereslinda a hoché la tête et a écrit 22 biscuits en haut de sa feuille.

« Elle a raison », a dit Alfredo. Mais son papier avait une représentation très différente : seulement vingt-deux biscuits plutôt que vingt-deux paires de biscuits.

Représenter deux biscuits pour chaque enfant est difficile, car il y a une quantité d’enfants qui est pertinente et une quantité de biscuits qui ne correspond pas au premier nombre mais représente un doublement de ce nombre. Après avoir représenté ces différentes quantités, les enfants doivent se souvenir et interpréter laquelle est laquelle.

Après un moment, j’ai rassemblé les enfants sur le tapis et j’ai demandé :  » Combien de biscuits dois-je apporter si vous êtes vingt-deux et que chacun d’entre vous a besoin de deux biscuits ?  » J’ai demandé à Alfredo de partager en premier.

« Il y a deux enfants ici », a dit Alfredo en montrant les deux cercles en pointillés qu’il avait dessinés pour représenter les biscuits. « Et deux enfants ici et deux enfants ici. Et ça fait un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize, dix-sept, dix-huit, dix-neuf, vingt, vingt et un, vingt-deux. Et il y a vingt-deux enfants et vingt-deux biscuits. »

« Donc tu penses que si nous avons vingt-deux biscuits, il y en aura assez pour que chacun de vous ait deux biscuits », ai-je dit. Alfredo a hoché la tête.

« Combien d’entre vous sont d’accord pour dire que nous avons besoin de vingt-deux biscuits ? ». J’ai demandé. Environ un tiers des enfants ont levé la main. J’ai écrit 22 biscuits au tableau.

J’ai demandé à Lorena de partager ensuite.

« Nous devons voir les vingt-deux enfants et compter les biscuits », a dit Lorena en montrant les paires de biscuits qu’elle avait dessinées. « C’est un, deux, trois, quatre… » Elle a compté jusqu’à quarante-quatre, reconnaissant que chaque paire était composée de deux biscuits.

« Non, » a dit Alfredo. « C’est vingt-deux. »

« Regardons ce que Lorena a dessiné. Où sont les enfants ? » Je lui ai demandé. Elle a montré du doigt chaque paire de biscuits, en disant :  » Ceci est pour moi et ceci est pour Sereslinda et ceci est pour Heriberto . . .  »

« Tu as laissé un espace entre chaque pour montrer que la prochaine paire de biscuits était pour une personne différente. Et puis tu as compté tous les biscuits ? » J’ai demandé. Lorena a hoché la tête. Nous avons compté tous les biscuits que Lorena avait dessinés et nous sommes arrivés à quarante-quatre. J’ai écrit 44 biscuits au tableau.

« Nous ne sommes donc pas d’accord », ai-je dit au groupe. « Certains d’entre vous pensent que nous avons besoin de vingt-deux biscuits et d’autres pensent que c’est quarante-quatre. Comment pouvons-nous en être sûrs ? »

« Donnez-nous les biscuits », ont crié certains enfants.

« Mais je n’ai pas de biscuits », ai-je dit. « J’ai besoin de savoir combien en apporter ». « Nous pouvons utiliser des faux biscuits », a dit Carina.

« Que pouvons-nous utiliser ? ». J’ai demandé. « Des cubes », a suggéré Heriberto.

Nous avons fait passer un sac de cubes autour du cercle, et j’ai veillé à rappeler fréquemment aux enfants ce que les cubes représentaient.  » Deux biscuits pour Cristina, deux biscuits pour Heriberto. . . « , avons-nous scandé lorsque chaque enfant a retiré deux cubes.

Nous avons mis tous les cubes en ligne, en gardant les paires de cubes ensemble. Puis nous avons compté les cubes à partir d’un seul. Nous avons fini par en avoir quarante-quatre. « Nous avons donc vingt-deux enfants et quarante-quatre biscuits », ai-je dit. J’ai écrit 44 cookies au tableau.

« Apportez-en quarante-quatre », a dit Carina.

Le lendemain, j’ai apporté quarante-quatre cookies et les enfants étaient ravis d’en avoir chacun deux.