Tétraèdre

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Un tétraèdre est l’un des cinq solides platoniques.

Il a des triangles comme faces.

Un tétraèdre est une forme tridimensionnelle dont toutes les faces sont des triangles.

Réseau d’un tétraèdre

Faisons une petite activité.

Prenez une feuille de papier.

Vous pouvez observer deux réseaux distincts d’un tétraèdre représentés ci-dessous.

Copiez-le sur la feuille de papier.

Découpez-le le long de la bordure et pliez-le comme indiqué dans la figure présentée ci-dessous.

Le papier plié forme un tétraèdre.

La simulation ci-dessous illustre un tétraèdre en 3D.

Cliquez sur le bord du tétraèdre et faites-le glisser autour de vous.

Que voyez-vous ?

Vous allez pouvoir visualiser les 4 faces du tétraèdre lors de sa rotation.

Un tétraèdre régulier a pour faces des triangles équilatéraux.

Puisqu’il est constitué de triangles équilatéraux, tous les angles internes du tétraèdre mesureront \(60^\circ\)

Un tétraèdre irrégulier a également des faces triangulaires mais elles ne sont pas équilatérales.

Les angles internes du tétraèdre dans chaque plan s’additionnent à \(180^\circ\)car ils sont triangulaires.

Sauf si un tétraèdre est spécifiquement mentionné comme irrégulier, par défaut, tous les tétraèdres sont supposés être des tétraèdres réguliers.

• Il possède 4 faces, 6 arêtes et 4 coins.
• Les quatre sommets sont tous également distants les uns des autres.
• A chacun de ses sommets, 3 arêtes se rencontrent.
• Il possède 6 plans de symétrie.
• Contrairement aux autres solides platoniques, un tétraèdre n’a pas de faces parallèles.
• Un tétraèdre régulier a des triangles équilatéraux pour toutes ses faces.

Diverses formules du tétraèdre sont énumérées ci-dessous.

Considérez un tétraèdre régulier constitué de triangles équilatéraux de côté \(s\).

Volume du tétraèdre:

\(\text{Volume} = \frac{s^3}{6\sqrt{2}}\)

Surface totale d’un tétraèdre:

\(\text{TSA} = \sqrt{3} \ :s^2 \)

Aire d’une face d’un tétraèdre:

\(\text{Aire d’une face } = \frac {\sqrt{3}{4}s^2 \)

Hauteur de la pente ‘s’ d’un tétraèdre :

\(\text{ Hauteur oblique} = \frac {\sqrt{3}}{2}s\)

Altitude ‘h’ d’un Tétraèdre :

\(\text{ Altitude} = \frac {s\sqrt{6}}{3}\)

Utiliser la calculatrice du tétraèdre pour trouver le volume et la surface totale.

Entrez la longueur des arêtes dans la calculatrice ci-dessous.

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Exemple 1

Deux tétraèdres congruents sont collés ensemble le long de sa base pour former une bipyramide triangulaire.

Combien de faces, d’arêtes et de sommets possède cette bipyramide ?

Solution:

Si nous ouvrons l’image ci-dessus pour voir le filet de la bipyramide triangulaire, nous pouvons observer que :

Il y a 6 faces triangulaires, 9 arêtes et 5 sommets.

La bipyramide triangulaire a 6 faces triangulaires, 9 arêtes et 5 sommets.

Exemple 2

Trouve le volume d’un tétraèdre régulier dont la longueur des côtés mesure 5 unités.

(Arrondissez la réponse à 2 décimales)

Solution:

Nous savons que le volume du tétraèdre dont le côté \(s\) est :

\(\begin{align}\text{Volume} = \frac{s^3}{6{sqrt{2}}\end{align}\)

En substituant \(s\) comme 5 on obtient

\

Le volume du tétraèdre est de 14.73 unités3

Exemple 3

Chaque arête d’un tétraèdre régulier est de longueur 6 unités.

Déterminez sa surface totale.

Solution :

La surface totale d’un tétraèdre régulier de côté \(s\)

\(\text{TSA} = \sqrt{3} \ :s^2 \)

Substituant s = 6, on obtient

\

Surface totale = 62.35 unités2

Exemple 4

La somme des longueurs des arêtes d’un tétraèdre régulier est de 60 unités.

Trouvez la surface d’une de ses faces.

Solution:

Nous savons qu’un tétraèdre régulier possède 6 arêtes.

Par conséquent, la longueur de chaque arête est :

\(\begin{align}\frac{60}{6} = 10 \text{ unités}\end{align}\)

Surface d’une face du tétraèdre :

\(\begin{align}\text{Aire d’une face } = \frac {\sqrt{3}}{4}s^2 \end{align}\)

Substituant s = 10, on obtient :

\

Aire de surface d’une de ses faces = 8.66 unités2

Exemple 5

Pour quelle mesure de l’arête, la surface totale d’un tétraèdre est égale à son volume ?

Solution:

Nous savons que \(\text{TSA} = \sqrt{3} \ :s^2 \) et \(\begin{align}\text{Volume} = \frac{s^3}{6\sqrt{2}}\end{align}\)

Si TSA = Volume, on peut dire que:

\( \sqrt{3} \ :s^2 = \frac{s^3}{6\sqrt{2}}\)

Solvant pour s, on a

\N

La longueur des arêtes d’un tétraèdre est \(6\sqrt6\)