Forze conservative

Sravanth e Julian

Fino ad ora, abbiamo una breve comprensione della forza conservativa; ora cercheremo di trovare alcuni metodi per determinare se una forza è conservativa. In questa sezione, cercheremo di capire questo, con l’aiuto di quattro metodi diversi. Per capire questo, dovete avere familiarità con il teorema di Stokes, le derivate parziali e le funzioni di Green in fisica. Vediamo come possiamo identificare una forza conservativa:

Metodo 1: Prova diversi percorsi mantenendo gli stessi punti finali

Fonte: Khan Academy

Questo metodo non è altro che verificare se il campo è indipendente dal percorso o meno. Secondo questo metodo, se dimostriamo che il lavoro fatto non cambia con il percorso fatto, la forza è conservativa. Questo metodo non richiede una prova, poiché il metodo stesso è il nucleo delle forze conservatrici. Quindi dobbiamo solo assicurarci che

∫C1f→⋅dr→=∫C2f→⋅dr→.\displaystyle \int_{C_1} {\an8}Sopra la freccia a destra {f} \cdot \overrightarrow {dr} = \int_{C_2} {\a6} = \int_C_2} = \int_C_2} = \int_C_2 \cdot \overrightarrow {dr}.∫C1f⋅dr=∫C2f⋅dr.

L’immagine precedente specifica 2 percorsi diversi C1C_1C1 e C2C_2C2. Il nostro campo vettoriale è conservativo se e solo se l’espressione precedente è valida. Mostra semplicemente che il lavoro fatto non cambia a prescindere dal percorso che si fa, finché si inizia e si finisce nello stesso punto.

Metodo 2: Proprietà ad anello delle forze conservative

Diciamo di avere un anello/percorso chiuso, con i punti di inizio e fine AAA e BBB, quindi secondo questo metodo, se il lavoro fatto nel passare da AAA a BBB e tornare ad AAA da BBB è zero, allora la forza è conservativa. Matematicamente si dice

∮ Qualsiasi percorso chiuso→⋅dr→=0∀f→∈ Campi conservativi. Se si tratta di un campo conservativo, il campo conservativo non è un campo conservativo, ma un campo conservativo. \cdot \overrightarrow {dr} = 0 \quadro \forall \overrightarrow{f} \in \color{#3D99F6}{Campi conservativi}}. ∮Ogni percorso chiuso⋅dr=0∀f∈ campi conservativi.

vantaggio di 2 rispetto a 1: non possiamo essere sicuri in 1 che f→overrightarrow{f}f sia conservativo anche se segue 1 in quanto il cammino o i punti che abbiamo preso possono essere un caso speciale in cui obbedisce alla condizione. Ora, vediamo la dimostrazione del metodo 2.

Fonte: Thomas’ Calculus

Diciamo di avere due punti AAA e BBB che sono semplicemente collegati (vedi figura) sull’anello CCC. Diciamo che il percorso da AAA a BBB è C1C_1C1 e il percorso da BBB a AAA è C2C_2C2. Ma se invertiamo la direzione del percorso C2C_2C2 da AAA a BBB, il suo segno cambia e diventa -C2-C_2-C2, quindi abbiamo

∮Cf⃗⋅dr=∫C1f⃗⋅dr+∫C2f⃗⋅dr=∫ABf⃗⋅dr-∫ABf⃗⋅dr=0. □{aligned}{oint_{C} \vec{f} \cdot dr &= \int_{C_1} \vec{f} \cdot dr + \int_{C_2} \vec{f} &= \int_A}^{B} \vec{f} \cdot dr – \int_{A}^{B} \vec{f} &= 0.\square\end{aligned}∮Cf⋅dr=∫C1f⋅dr+∫C2f⋅dr=∫ABf⋅dr-∫ABf⋅dr=0. □

Metodo 3: Ogni forza conservativa può essere espressa come f⃗=∇F.\vec f = \nabla F.f=∇F.

Secondo questo metodo, se un campo vettoriale f⃗\vec ff può essere espresso come f⃗=∇F\vec f = \nabla Ff=∇F per una funzione differenziabile FFF, allora è conservativo. In altre parole, se f⃗=∇F,\vec f =\nabla F,f=∇F, allora il valore dell’integrale di linea ∫Cf⃗dr⃗int_C \vec f \vec{dr}∫Cfdr è indipendente dal percorso. Più formalmente, può essere definito come segue:

Se f=Mi+Nj+Pk\mathbf f=M\mathbf i + N\mathbf j + P\mathbf kf=Mi+Nj+Pk è un campo vettoriale le cui tre componenti sono continue in una regione aperta DDD nello spazio, allora se f⃗\vec{f}f può essere espresso come

f→=∇F dove F è uno scalare,\overrightarrow{f} = \nabla F \text{ dove F è uno } f=∇F dove F è uno scalare,

allora f⃗\vec{f} f è una forza conservativa.

Vediamo come questo può essere dimostrato:

Lasciamo che f=Mi+Nj+Pk\mathbf f=M\mathbf i + N\mathbf j + P\mathbf kf=Mi+Nj+Pk. Ora, supponiamo di avere 222 punti nello spazio AAA e BBB, e se f→overrightarrow ff è un campo di gradiente allora

∫Cf→⋅dr=F(B)-F(A).\int_{C} \overrightarrow f\cdot dr = F(B) – F(A).∫Cf⋅dr=F(B)-F(A).

Diciamo che il percorso è una curva liscia CCC, e diciamo anche che abbiamo un punto B0B_0B0 con coordinate (x0,y,z)(x_0,y,z)(x0,y,z) vicino a BBB con coordinate (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z), che sono collegati da un segmento di linea LLL. Inoltre, diciamo che il percorso da AAA a B0B_0B0 è un’altra curva C0C_0C0.

Quindi se dobbiamo viaggiare da AAA a B,B,B, dobbiamo attraversare il percorso da AAA a B0B_0B0 e poi da B0B_0B0 a BBB, o in breve dobbiamo viaggiare lungo C0C_0C0 e poi LLL. Quindi,

F(x,y,z)=∫C0f→⋅dr+∫Lf→⋅dr.F(x,y,z) = \int_{C_0} \overrightarrow f\cdot dr + \int_{L} \F(x,y,z)=∫C0f⋅dr+∫Lf⋅dr.

Differenziando questo, si ottiene

∂f∂xF(x,y,z)=∂f∂x∫C0f→⋅dr+∂f∂x∫Lf→⋅dr.\F(x,y,z) = \frac{frac{frac{frac{frac{fracce f}{fracce f}{fracce x} \int_{C_0} \overrightarrow f\cdot dr + \frac{{parziale f}{parziale x} \int_{L} ∂x∂fF(x,y,z)=∂x∂f∫C0f⋅dr+∂x∂f∫Lf⋅dr.

Poiché è il secondo termine che dipende da xxx, arriviamo a

∂∂xF(x,y,z)=∂f∂x∫Lf→⋅dr.\frac{parziale}{parziale x} F(x,y,z) = \frac{{parziale f}{parziale x}\int_{L} ∂x∂F(x,y,z)=∂x∂f∫Lf⋅dr.

Possiamo parametrizzare il percorso LLL come r(t)=ti+yj+zk,\mathbf r(t) = t \mathbf i + y\mathbf j + z\mathbf k,r(t)=ti+yj+zk, dove il valore di ttt è x0≤t≤xx_0\leq t \leq xx0≤t≤x. Così abbiamo drdt=i,f⋅drdt=M,\frac{d\mathbf r}{dt} = \mathbf i, \frac{mathbf f\cdot d\mathbf r}{dt} = M,dtdr=i,dtf⋅dr=M, e ∫Lf⋅dr=∫x0xM(t,y,z) dt.\int_L \mathbf f\cdot d\mathbf r = \int_{x_0}^x M(t,y,z)\, dt.∫Lf⋅dr=∫x0xM(t,y,z)dt. Sostituendo questi nell’integrale di cui sopra si ottiene

∂∂xF(x,y,z)=∂f∂x∫x0xM(t,y,z) dt=M(x,y,z).\F(x,y,z) = \frac{frac{parziale f}{\parziale x}{int_{x_0}^x M(t,y,z)\, dt = M(x,y,z).∂x∂F(x,y,z)=∂x∂f∫x0xM(t,y,z)dt=M(x,y,z).

Si può fare lo stesso per le altre due derivate parziali ∂f∂z=Pz\frac{\parziale f}{\parziale z} =Pz∂z∂f=Pz e ∂f∂y=N,\frac{\parziale f}{\parziale y} = N,∂y∂f=N, concludendo che

F=∇f. □\mathbf F = \nabla f.\quadroF=∇f. □

Ecco un altro modo per dimostrarlo: clicca qui.

Metodo 4: Il ricciolo di un campo conservativo è 0.

Il ricciolo di un campo vettoriale diciamo f⃗=Mi+Nj+Pk\vec f =M\mathbf i + N\mathbf j + P\mathbf kf=Mi+Nj+Pk è definito come

∇×f⃗=(∂P∂y-∂N∂z)i+(∂M∂z-∂P∂x)j+(∂N∂x-∂M∂y)k.\nabla \vec f = \sinistra(\dfrac{parziale P}{parziale y} – \dfrac{parziale N}{parziale z}}destra)\mathbf i + \sinistra(\dfrac{parziale M}{parziale z} – \dfrac{parziale P}{parziale x} a destra)\mathbf j + \left(\dfrac{parziale N}{parziale x} – \dfrac{parziale M}{parziale y} a destra)\mathbf k.∇×f=(∂y∂P-∂z∂N)i+(∂z∂M-∂x∂P)j+(∂x∂N-∂y∂M)k.

E secondo questo metodo, se il ricciolo di un campo è zero, allora è conservativo. Un’affermazione formale è data di seguito:

Se ∇×f⃗=0\nabla\times \vec f = 0∇×f=0 in ogni punto di una regione semplicemente connessa di DDD nello spazio, allora

∮Cf⃗⋅dr⃗=0 ⟹ f⃗ è conservativo.\oint_C \vec f\cdot d\vec{r}=0 ■implica \vec f \testo{ è conservativo}. ∮Cf⋅dr=0⟹f è conservativo.

E quindi implica che è una forza conservativa sulla regione dello spazio.

Ecco un modo per dimostrarlo usando il teorema di Stokes:

Abbiamo un teorema di una branca della matematica chiamata “topologia” che afferma: “ogni curva chiusa semplice liscia CCC in una regione aperta semplicemente connessa DDD è il confine di una superficie liscia a due lati SSS che si trova anche in DDD.”

Quindi, usando il teorema di Stokes, abbiamo

∮Cf⃗dr⃗=∬S∇×f⃗⋅n dσ=0.\oint_C \vec f d\vec r =\iint_S\nabla \times\vec f \cdot\mathbf n \ d\sigma = 0.∮Cfdr=∬S∇×f⋅n dσ=0.