Infinite_Numbers – Grandi Numeri

N0

aleph-null

Noto anche colloquialmente come infinito. Nella teoria dei transfiniti di Cantor è conosciuto come aleph-null quando è trattato come un numero cardinale, e omega quando è trattato come un numero ordinale. In un senso informale tutti questi concetti sono gli stessi, ma ci sono importanti distinzioni tecniche da fare. L’infinito nel calcolo si riferisce ad una quantità reale che aumenta senza limiti. Non è tanto un numero, quanto un modo di esprimere il comportamento di un limite. omega si riferisce all’ordine-tipo dell’insieme dei numeri interi non negativi. Aleph-null invece è definito come la cardinalità dell’insieme dei numeri interi positivi. In parole povere Aleph-null è il “numero” dei numeri. Il problema con questo è che l’insieme dei numeri interi positivi è supposto rappresentare tutte le cose che potremmo voler contare. Tuttavia, non può contare se stesso. Quindi il “numero” dei numeri è anche un numero? Cantor pensava di sì. In qualche modo possiamo trattare l’aleph-null come un numero, in quanto possiamo confrontarlo con altri numeri e determinare quale è più grande. Usando il concetto di corrispondenza uno-a-uno Cantor ha mostrato che possiamo dire razionalmente che l’aleph-null è più grande di qualsiasi numero intero positivo, anche se la saggezza precedentemente prevalente era che l’infinito non era un numero e non poteva essere confrontato in questo modo. Ma accettare questo punto di vista porta ad alcune anomalie che piegano la mente. Usando la corrispondenza uno-a-uno possiamo mostrare che ci sono tanti numeri pari, quadrati, cubi, ecc. quanti sono i numeri interi positivi, nonostante il fatto che questi siano tutti sottoinsiemi dei numeri interi positivi. Questo viola il principio che “l’intero è sempre maggiore di qualsiasi parte propria dell’intero”. Quindi aleph-null è un numero tale che una parte propria di esso è ancora altrettanto grande… sconcertante. Quando lavoriamo con i numeri finiti comprendiamo implicitamente l’esclusività di “più grande” vs. “uguale”. Un numero non può essere entrambi. Quindi, quando una particolare corrispondenza mostra che un insieme finito ha più di un altro insieme finito, sappiamo che non può esistere alcuna corrispondenza che mostri che sono uguali. Non è così per gli insiemi infiniti! Anche se abbiamo una corrispondenza che mostra che uno è più grande dell’altro, non significa necessariamente che non esista una corrispondenza che mostra che sono uguali. Nell’universo cantoriano dei cardinali, perché un infinito sia veramente più grande di un altro infinito bisogna dimostrare che “non esiste ALCUNA corrispondenza uno-a-uno”. Poiché ci deve essere un numero infinito di tali corrispondenze, verificare ognuna di esse singolarmente non è un’opzione. È necessario trovare una prova che mostri l’impossibilità di una tale corrispondenza. Si potrebbe supporre che tutti gli infiniti sono essenzialmente uguali e possono essere messi in corrispondenza uno a uno tra loro. La cosa sorprendente che fece Cantor fu di mostrare che c’erano infiniti che non potevano essere messi in corrispondenza uno-a-uno con aleph-null. Così Cantor mostrò che non c’era un solo infinito… ma un’infinità di infiniti… (Vedi aleph-one). Questo è il paradiso di Cantor, o l’incubo, a seconda della vostra prospettiva.

w+1

omega e uno

Questo è il più piccolo numero ordinale dopo “omega”. Informalmente possiamo pensare a questo come all’infinito più uno. Una formulazione degli ordinali è di trattarli come insiemi di tutti gli ordinali più piccoli. Per dire che omega e uno è “più grande” di “omega” definiamo la grandezza per significare che un ordinale è più grande di un altro se l’ordinale più piccolo è incluso nell’insieme del più grande. L’insieme w+1 sarebbe {w,0,1,2,3,…}. Sarebbe composto da tutti gli interi non negativi più omega. Quindi w+1 secondo questa definizione è più grande. Tuttavia, poiché la cardinalità di ogni ordinale è rappresentata dalla cardinalità del suo insieme, possiamo anche mostrare che in un certo senso w = w+1, poiché w={0,1,2,3,…} e w+1={w,0,1,2,…} possiamo accoppiare gli argomenti come: {(0,w),(1,0),(2,1),(3,2),…}, che mostra che entrambi gli insiemi hanno lo stesso numero di elementi, anche se w+1 ne include uno in più. Confusi? Fondamentalmente ci sono due modi di guardare al confronto degli infiniti: la vista cardinale e la vista ordinale. Secondo la visione ordinale, omega e uno sono maggiori, secondo la visione cardinale omega e omega più uno sono la stessa cosa. I cardinali non giocano un ruolo importante nella googologia, ma gli ordinali numerabili sì. Quindi per i nostri scopi la distinzione tra w e w+1 è importante.

w+2

omega e due

Così come possiamo estendere arbitrariamente i grandi numeri, possiamo fare lo stesso con l’ordinale w. Basta pensare a “w” come un numero MOLTO grande. Quindi possiamo aggiungerci uno, o due, o avere …

2w

due omega

2w+1

due omega e uno

2w+2

due omega e due

3w

tre omega

w2

omega al quadrato

w2+1

omega al quadrato e uno

w2+w

omega al quadrato e omega

w2+w+1

omega al quadrato, omega e uno

2w2

due omega al quadrato

w3

omega al cubo

ww

φ(w,0)

omega all’omega

ww^w

omega all’omega all’omega

ε0

φ(0,1)

epsilon-zero

Cantor ha dato a questo ordinale il nome speciale epsilon-zero. Che cos’è? È il più piccolo ordinale più grande di qualsiasi ordinale che può essere “nominato” usando l’addizione, la moltiplicazione e l’esponenziazione con il simbolo w. In altre parole:

e0 = lim{w,w^w,w^w^w,w^w^w,…}

In altre parole, e0 = w^w^w^… dove esistono omega w. Può essere definito come il più piccolo ordinale “a”, tale che a=w^a. Questo implica che e0=w^e0. Strano. È anche uguale a phi(0,1) nella gerarchia del punto fisso di Veblen.

Informalmente si può pensare ad esso come una torre di potenza infinita di infiniti! Può anche essere informalmente chiamata w^^w.

Questo ordinale è in realtà importante per noi perché rappresenta la dimensione delle matrici tetrazionali di Jonathan Bowers. Non solo gli array tetrazionali di Bowers hanno un’aritmetica esatta di epsilon-zero (un array tetrazionale è ben definito finché solo un numero finito di voci è maggiore di 1. Il resto è tutto uguale a 1 per default. Se usiamo gli ordinali per contare tutte le voci nello spazio tetrazionale, ci sono esattamente epsilon-zero voci), ma la funzione epsilon-zero della gerarchia a crescita rapida ha un tasso di crescita equivalente agli array tetrazionali. Epsilon-zero rappresenta anche un’importante impasse. Fino a questo punto la notazione è abbastanza naturale, e c’è un accordo praticamente universale su come “nominare” gli ordinali inferiori a epsilon-zero e su come determinare quale di due qualsiasi tali ordinali è più grande. A epsilon-zero, tuttavia, cominciamo a incontrare dei problemi. Ci sono almeno due modi diversi di continuare a nominare gli ordinali, e certe espressioni sono difficili da interpretare, come w^^(w+1). Il fatto è che siamo costretti a fare certe scelte di notazione dopo questo punto, e nessuna di esse segue in modo così naturale come accade fino a epsilon-zero. Esiste tuttavia un’estensione ampiamente accettata nota come gerarchia Veblen. Sfortunatamente questa estensione è radicalmente diversa da quella di Bowers agli ordinali pentazionali e oltre. È una questione aperta come convertire dagli ordinali di Bowers agli ordinali di Veblen.

ε0+1

epsilon-zero e uno

Cosa c’è di così difficile nel continuare… basta aggiungere uno. Beh, ovviamente possiamo sempre aggiungere uno nel sistema degli ordinali, proprio come facciamo con i numeri finiti (questo suggerisce che non esiste un ordinale più grande, proprio come non esiste un intero più grande). Il problema non è tanto aggiungere uno. È quello che succede man mano che andiamo avanti…

w^(ε0+1) / w*ε0

omega all’epsilon-zero e uno / omega epsilon-zero

Qui incontriamo uno dei nostri primi problemi, anche se dichiaratamente minore. C’è più di una notazione ordinale possibile che potremmo usare. Nella prima versione stiamo costruendo una pila di omega, nella seconda una pila di epsilon-zeros. Vedrete cosa intendo mentre continuiamo

w^w^(ε0+1) / ε0^w

omega alla omega alla epsilon-zero e uno / epsilon-zero all’omega

Nonostante il fatto che abbiamo almeno due modi diversi di scrivere gli ordinali dopo epsilon-zero, la buona notizia è che non è troppo difficile fino a questo punto creare una corrispondenza tra loro. Cioè, possiamo convertire una notazione nell’altra e quindi confrontare gli ordinali in entrambi i sistemi e determinare quale è più grande. La chiave per questa conversione è la definizione e0=w^e0. Usando questo possiamo convertire la prima forma nella seconda come segue:

w^w^(e0+1) = w^(w*w^e0) = (w^w^e0)^w = (w^e0)^w = e0^w

Ci vuole un po’ ad abituarsi, ma w^e0 è semplicemente e0, mentre w^(e0+1) > e0. In realtà è peggio di così perché e0 = w^e0 = w^w^e0 = w^w^w^e0 = … ecc.

ε0^ε0

epsilon-zero all’epsilon-zero

Questo è un ordinale figo. Questo è l’epsilon-zero elevato all’epsilon-zero. Cos’è questo nella forma normalizzata di Cantor? Vediamo (ricorda e0=w^e0):

e0^e0 = (w^e0)^e0 = w^(e0*e0) = w^(w^e0*w^e0) = w^w^(2e0)

Strano. Tuttavia, sembra che gli ordinali dopo epsilon-zero si comportino bene finora. Qual è il limite dell’estensione di e0 usando l’esponenziazione però…

ε1

φ(1,1)

epsilon-one

Epsilon-one è il prossimo grande passo nella gerarchia del punto fisso di Veblen. L’epsilon-uno può essere definito come il più piccolo ordinale più grande di qualsiasi ordinale esprimibile usando solo addizione, moltiplicazione ed esponenziazione sugli ordinali “w” ed “e0”. Un modo per definirlo è il seguente:

e1 = lim{e0+1,w^(e0+1),w^w^(e0+1),w^w^w^(e0+1),…}

Ora che hai visto questo probabilmente puoi immaginare cosa succede dopo…

ε2

φ(2,1)

epsilon-two

Epsilon-two è il limite delle espressioni utilizzando w,e0 ed e1:

e2 = lim{e1+1,w^(e1+1),w^w^(e1+1),…}

εw

φ(w,1)

epsilon-omega

Ora che abbiamo stabilito una regola generale possiamo continuare per qualsiasi indice ordinale di epsilon …. compresi gli ordinali infiniti. YIKES …

εw^w

φ(w^w,1)

epsilon-omega-to-the-omega

εe0

φ(φ(0,1),1)

epsilon-epsilon-zero

εe(e0)

φ(φ(φ(0,1),1),1)

epsilon-epsilon-epsilon-zero

εe(e(…

φ(0,2)

Epsilon Limit Ordinal / zeta-minor-naught

Qui raggiungiamo il limite dell’idea di “Epsilon-numbers”. Questo ordinale è talvolta indicato come zeta-naught. Tuttavia ho evitato di usare questa notazione qui, perché ho riservato lo zeta-naught all’ipotetico ordinale w^^^w. È dubbio che questo ordinale sia così grande. Tuttavia questo è un ordinale abbastanza figo. Di solito è il più grande ordinale menzionato in una discussione popolare sugli ordinali transfiniti di Cantor. Questo probabilmente perché dopo questo, dobbiamo sviluppare un mezzo più generalizzato per continuare e diventa molto meno naturale e più tecnico. La maggior parte degli autori lo considererebbe sufficiente come introduzione agli ordinali di Cantor. Dopo questo inizia a diventare un po’ accademico…