Proiezione di Mercatore

Modello sfericoModifica

Anche se la superficie della Terra è meglio modellata da un ellissoide oblato di rivoluzione, per le mappe a piccola scala l’ellissoide è approssimato da una sfera di raggio a. Esistono molti metodi diversi per calcolare a. I più semplici includono (a) il raggio equatoriale dell’ellissoide, (b) la media aritmetica o geometrica dei semiassi dell’ellissoide, e (c) il raggio della sfera che ha lo stesso volume dell’ellissoide. L’intervallo tra le scelte possibili è di circa 35 km, ma per applicazioni su piccola scala (grande regione) questa variazione può essere ignorata, e si possono prendere valori medi di 6.371 km e 40.030 km rispettivamente per il raggio e la circonferenza. Questi sono i valori usati per gli esempi numerici nelle sezioni successive. Solo la cartografia di alta precisione su mappe a grande scala richiede un modello ellissoidale.

Proiezioni cilindricheModifica

L’approssimazione sferica della Terra con raggio a può essere modellata da una sfera più piccola di raggio R, chiamata globo in questa sezione. Il globo determina la scala della mappa. Le varie proiezioni cilindriche specificano come il dettaglio geografico viene trasferito dal globo a un cilindro tangente ad esso all’equatore. Il cilindro viene poi srotolato per dare la mappa planare. La frazione R/a è chiamata la frazione rappresentativa (RF) o la scala principale della proiezione. Per esempio, una mappa di Mercatore stampata in un libro potrebbe avere una larghezza equatoriale di 13,4 cm corrispondente a un raggio del globo di 2,13 cm e un RF di circa 1/300M (M è usato come abbreviazione di 1.000.000 nella scrittura di un RF) mentre la mappa originale di Mercatore del 1569 ha una larghezza di 198 cm corrispondente a un raggio del globo di 31.5 cm e un RF di circa 1/20M.

Una proiezione di mappa cilindrica è specificata da formule che collegano le coordinate geografiche di latitudine φ e longitudine λ alle coordinate cartesiane sulla mappa con origine sull’equatore e asse x lungo l’equatore. Per costruzione, tutti i punti sullo stesso meridiano giacciono sulla stessa generatrice del cilindro ad un valore costante di x, ma la distanza y lungo la generatrice (misurata dall’equatore) è una funzione arbitraria della latitudine, y(φ). In generale questa funzione non descrive la proiezione geometrica (come quella dei raggi di luce su uno schermo) dal centro del globo al cilindro, che è solo uno dei tanti modi di proiettare concettualmente una mappa cilindrica.

Siccome il cilindro è tangente al globo all’equatore, il fattore di scala tra globo e cilindro è l’unità all’equatore ma in nessun altro posto. In particolare, poiché il raggio di un parallelo, o cerchio di latitudine, è R cos φ, il parallelo corrispondente sulla mappa deve essere stato allungato di un fattore di 1/cos φ = sec φ. Questo fattore di scala sul parallelo è convenzionalmente indicato con k e il corrispondente fattore di scala sul meridiano è indicato con h.

Geometria dei piccoli elementiModifica

Le relazioni tra y(φ) e le proprietà della proiezione, come la trasformazione degli angoli e la variazione di scala, seguono dalla geometria dei piccoli elementi corrispondenti sul globo e sulla mappa. La figura qui sotto mostra un punto P a latitudine φ e longitudine λ sul globo e un punto Q vicino a latitudine φ + δφ e longitudine λ + δλ. Le linee verticali PK e MQ sono archi di meridiani di lunghezza Rδφ. Le linee orizzontali PM e KQ sono archi di parallelo di lunghezza R(cos φ)δλ.

Per elementi piccoli, l’angolo PKQ è approssimativamente un angolo retto e quindi

tan α ≈ R cos φ δ λ R δ φ , tan β = δ x δ y , {\displaystyle \tan \alpha \approx \frac {Rcos \varphi \,\delta \lambda }R\,\delta \varphi }},\qquad \qquad \tan \beta ={frac {delta x}{delta y}},

${{displaystyle \tano \alfa \approx {\frac {Ricos \varphi \,\delta \lambda }R\,\delta \varphi },\qquad \qquad \tan \beta ={frac {\delta x}{delta y}},$

I fattori di scala precedentemente menzionati dal globo al cilindro sono dati da

fattore di scala parallelo k ( φ ) = P ′ M ′ P M = δ x R cos φ δ λ , {displaystyle \quad k(\varphi )\;=\{\frac {P’M’}{PM}};=\frac {\frac {\delta x}{Rcos \varphi \,\delta \lambda },}

${{displaystyle \quad k(\varphi )\;=;{\frac {P'M'}{PM}}};=\frac {\frac {\delta x}{R\cos \varphi \,\delta \lambda },}'M'}{PM}}\;=\;{\frac {\delta x}{R\cos \varphi \,\delta \lambda }},}$

fattore di scala meridiano h ( φ ) = P ′ K ′ P K = δ y R δ φ . {\displaystyle \quadro h(\varphi )\;=\frac {P’K’}{PK}};=\frac {\frac {delta y}{R\delta \varphi \,}.

${displaystyle \quadro h(\varphi )\;=\frac {P'K'}{PK}};==;{\frac {delta y}{R\delta \varphi \,}.'K'}{PK}}\;=\;{\frac {\delta y}{R\delta \varphi \,}}.}$

Siccome i meridiani sono mappati su linee di x costante, dobbiamo avere x = R(λ – λ0) e δx = Rδλ, (λ in radianti). Quindi, nel limite di elementi infinitesimamente piccoli

tan β = R sec φ y ′ ( φ ) tan α , k = sec φ , h = y ′ ( φ ) R . {\displaystyle \tan \beta ={{frac {R\sec \varphi }{y'(\varphi )}{tan \alpha \,,\qquad k=sec \varphi \,,\qquad h={\frac {y'(\varphi )}R}.}

${{displaystyle \tan \beta ={frac {R{sec \varphi }{y'(\varphi )}}}tan \alpha \,\qquad k={sec \varphi \,\qquad h={frac {y'(\varphi )}}.'(\varphi )}}\tan \alpha \,,\qquad k=\sec \varphi \,,\qquad h={\frac {y'(\varphi )}{R}}.}$

Derivazione della proiezione di MercatoreModifica

La scelta della funzione y(φ) per la proiezione di Mercatore è determinata dalla richiesta che la proiezione sia conforme, una condizione che può essere definita in due modi equivalenti:

Uguaglianza degli angoli. La condizione che una rotta di navigazione di azimut costante α sul globo è mappata in un rilevamento di griglia costante β sulla mappa. Impostando α = β nelle equazioni precedenti si ottiene y ′(φ) = R sec φ.
Isotropia dei fattori di scala. Questa è l’affermazione che il fattore di scala del punto è indipendente dalla direzione, così che le forme piccole sono conservate dalla proiezione. Impostando h = k nelle equazioni di cui sopra si ottiene nuovamente y ′(φ) = R sec φ.

Integrando l’equazione

y ′ ( φ ) = R sec φ , {\displaystyle y'(\varphi )=R\sec \varphi ,

$y'(\varphi )=R\sec \varphi ,}'(\varphi )=R\sec \varphi ,$

con y(0) = 0, usando le tavole integrali o i metodi elementari, si ottiene y(φ). Quindi,

x = R ( λ – λ 0 ) , y = R ln . x = R(λ – λ 0}),\qquadro y = R ln λ.

${displaystyle x=R(\lambda -\lambda _{0}),\qquad y=Rln \left.}$

Nella prima equazione λ0 è la longitudine di un meridiano centrale arbitrario solitamente, ma non sempre, quello di Greenwich (cioè zero). La differenza (λ – λ0) è in radianti.

La funzione y(φ) è tracciata accanto a φ per il caso R = 1: tende all’infinito ai poli. I valori lineari dell’asse y non sono di solito mostrati sulle mappe stampate; invece alcune mappe mostrano la scala non lineare dei valori di latitudine sulla destra. Più spesso le mappe mostrano solo un reticolo di meridiani e paralleli selezionati

Trasformazioni inverseModifica

λ = λ 0 + x R , φ = 2 tan – 1 – π 2 . \displaystyle \lambda _{0}+{frac {x}{R}},\qquadro \varphi =2\tan ^{-1}{sinistra-{frac {\pi }{2}},.}

${displaystyle \lambda =\lambda _{0}+{frac {x}{R}},\qquadro \varphi =2\tan ^{-1}{sinistra-{frac {\pi }{2}},.L'espressione a destra della seconda equazione definisce la funzione di Gudermannian; cioè, φ = gd(y/R): l'equazione diretta può quindi essere scritta come y = R-gd-1(φ).$

Espressioni alternativeModifica

Ci sono molte espressioni alternative per y(φ), tutte derivate da manipolazioni elementari.

y = R 2 ln = R ln = R ln ( sec φ + tan φ ) = R tanh – 1 ( sin φ ) = R sinh – 1 ( tan φ ) = R sgn ( φ ) cosh – 1 ( sec φ ) = R gd – 1 ( φ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}y&&{frac {R}{2}}\ln \left&&{R}ln \left&=R\ln \left(\sec \varphi \tan \varphi \destra)\&

=&R\tanh ^{-1}{\sinistra(\sin \varphi \destra)&&R\sinh ^{-1}\sinistra(\tan \varphi \destra)&=R\operatorname {sgn} (\varphi )\cosh ^{-1}(\sec \varphi \destra)=R\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi ).\end{aligned}}

${{displaystyle {begin{aligned}y=&{frac {R}{2}}\ln \left=&{R}\ln \left=R\ln \left(\sec \varphi + \tan \varphi \right)=R\tanh ^{-1}a sinistra(\sin \varphi \destra)=R\sinh ^{-1}a sinistra(\tan \varphi \destra)=R\operatorname {sgn} (\varphi )\cosh ^{-1} a sinistra(\sec \varphi \destra)=R\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi ).\end{aligned}}}$

Gli inversi corrispondenti sono:

φ = sin – 1 ( tanh y R ) = tan – 1 ( sinh y R ) = sgn ( y ) sec – 1 ( cosh y R ) = gd y R . {\displaystyle \varphi = {sin ^{-1}} a sinistra(\tanh {\frac {y}{R}} a destra)=\tan ^{-1} a sinistra(\sinh {\frac {y}{R}} a destra)=\operatorname {sgn} (y)\sec ^{-1}left(\cosh {\frac {y}{R}}}right)=\operatorname {gd} {\frac {y}{R}}.}

${{displaystyle \varphi =\sin ^{-1}sinistra(\tanh {\frac {y}{R}}destra)=\tan ^{-1}sinistra(\sinh {\frac {y}{R}}destra)=\operatorname {sgn} (y)\sec ^{-1}left(\cosh {\frac {y}{R}}}right)=\operatorname {gd} {\frac {y}{R}.}$

Per angoli espressi in gradi:

x = π R ( λ ∘ – λ 0 ∘ ) 180 , y = R ln . {displaystyle x={frac {\frac {\pi R(\lambda ^{\circ}-lambda _{0}^{\circ})}{180},\qquad \quad y=R\ln \left.}

${{displaystyle x={frac {\frac {\pi R(\lambda ^{\circ}- \lambda _{0}^{\circ})}{180},\qquad \quad y=R\ln \left.$

Le formule di cui sopra sono scritte in termini del raggio del globo R. È spesso conveniente lavorare direttamente con la larghezza della mappa W = 2πR. Per esempio, le equazioni di trasformazione di base diventano

x = W 2 π ( λ – λ 0 ) , y = W 2 π ln . x = W 2 π (λ – λ 0), y = W 2 π (λ 0).

${{displaystyle x={frac {W}{2\2\pi }}sinistra(\lambda -\lambda _{0}destra),\qquad \quad y={frac {W}{2\pi }}ln \sinistra.$ Troncamento e rapporto d’aspettoModifica

L’ordinata y della proiezione di Mercatore diventa infinita ai poli e la mappa deve essere troncata a qualche latitudine inferiore ai novanta gradi. Questo non deve essere fatto simmetricamente. La mappa originale di Mercatore è troncata a 80°N e 66°S con il risultato che i paesi europei sono stati spostati verso il centro della mappa. Il rapporto d’aspetto della sua mappa è 198/120 = 1,65. Sono stati usati troncamenti ancora più estremi: un atlante scolastico finlandese è stato troncato a circa 76°N e 56°S, un rapporto di aspetto di 1,97.

Molte mappe basate sul web usano una versione zoomabile della proiezione Mercator con un rapporto di aspetto di uno. In questo caso la latitudine massima raggiunta deve corrispondere a y = ±W/2, o equivalentemente y/R = π. Qualsiasi formula di trasformazione inversa può essere usata per calcolare le latitudini corrispondenti:

φ = tan – 1 = tan – 1 = tan – 1 = 85.05113 ∘ . {\displaystyle \varphi = \tan ^{-1}{{{\1}}sinistra = \tan ^{-1}{\1}sinistra=85,05113^{\circ}.}

${displaystyle \varphi =\tan ^{-1}left=\tan ^{-1}left=\tan ^{-1}left=\tan ^{-1}left=85.05113^{\circ}.$

Fattore di scalaModifica

La figura che confronta gli elementi infinitesimali su globo e proiezione mostra che quando α=β i triangoli PQM e P′Q′M′ sono simili in modo che il fattore di scala in una direzione arbitraria è uguale ai fattori di scala parallelo e meridiano:

δ s ′ δ s = P ′ Q ′ P Q = P ′ M ′ P M = k = P ′ K ′ P K = h = sec φ . {\displaystyle {\frac {\delta s’}{\delta s}}={frac {P’Q’}{PQ}={frac {P’M’}{PM}}=k={\frac {P’K’}{PK}}=h=sec \varphi .}

${{displaystyle {\frac {\delta s'}{delta s}}={\frac {P'Q'}{PQ}}={\frac {P'M'}{PM}}=k={\frac {P'K'}{PK}}=h=sec \varphi .'}{\delta s}}={\frac {P'Q'}{PQ}}={\frac {P'M'}{PM}}=k={\frac {P'K'}{PK}}=h=\sec \varphi .}$

Questo risultato vale per una direzione arbitraria: la definizione di isotropia del fattore di scala del punto. Il grafico mostra la variazione del fattore di scala con la latitudine. Alcuni valori numerici sono elencati qui sotto.

alla latitudine 30° il fattore di scala è k = sec 30° = 1,15, alla latitudine 45° il fattore di scala è k = sec 45° = 1,41, alla latitudine 60° il fattore di scala è k = sec 60° = 2, alla latitudine 80° il fattore di scala è k = sec 80° = 5.76, alla latitudine 85° il fattore di scala è k = sec 85° = 11,5

Lavorare dalla mappa proiettata richiede il fattore di scala in termini di ordinata y di Mercatore (a meno che la mappa non sia fornita con una scala di latitudine esplicita). Poiché le misure del righello possono fornire l’ordinata y della mappa e anche la larghezza W della mappa, allora y/R = 2πy/W e il fattore di scala è determinato usando una delle forme alternative per le forme della trasformazione inversa:

k = sec φ = cosh ( y R ) = cosh ( 2 π y W ) . {\displaystyle k=sec \varphi =\cosh \sinistra({frac {y}{R}}destra)=\cosh \sinistra({frac {2\pi y}{W}}destra).}

${{displaystyle k=sec \varphi =\cosh \left({frac {y}{R}}}right)=\cosh \left({frac {2\pi y}{W}}}right).}$

La variazione con la latitudine è talvolta indicata da scale di barre multiple come mostrato sotto e, per esempio, su un atlante scolastico finlandese. L’interpretazione di tali scale a barre non è banale. Vedere la discussione sulle formule di distanza qui sotto.

Scala di areaModifica

Il fattore di scala di area è il prodotto delle scale parallele e meridiane hk = sec2φ. Per la Groenlandia, prendendo 73° come latitudine mediana, hk = 11,7. Per l’Australia, prendendo 25° come latitudine mediana, hk = 1,2. Per la Gran Bretagna, prendendo 55° come latitudine mediana, hk = 3,04.

DistortionEdit

Le indicatrici di Tissot sulla proiezione di Mercatore

Il modo classico di mostrare la distorsione inerente a una proiezione è quello di utilizzare l’indicatrice di Tissot. Nicolas Tissot notò che i fattori di scala in un punto della proiezione di una mappa, specificati dai numeri h e k, definiscono un’ellisse in quel punto. Per le proiezioni cilindriche, gli assi dell’ellisse sono allineati ai meridiani e ai paralleli. Per la proiezione Mercator, h = k, quindi le ellissi degenerano in cerchi con raggio proporzionale al valore del fattore di scala per quella latitudine. Questi cerchi sono resi sulla mappa proiettata con un’estrema variazione di dimensioni, indicativa delle variazioni di scala di Mercatore.

AccuracyEdit

Una misura della precisione di una mappa è un confronto della lunghezza degli elementi di linea corrispondenti sulla mappa e sul globo. Quindi, per costruzione, la proiezione di Mercatore è perfettamente accurata, k = 1, lungo l’equatore e in nessun altro punto. A una latitudine di ±25° il valore di sec φ è circa 1,1 e quindi la proiezione può essere considerata accurata entro il 10% in una striscia di larghezza 50° centrata sull’equatore. Strisce più strette sono migliori: sec 8° = 1,01, quindi una striscia di larghezza 16° (centrata sull’equatore) è precisa entro l’1% o 1 parte su 100. Allo stesso modo sec 2,56° = 1,001, quindi una striscia di larghezza 5,12° (centrata sull’equatore) è precisa entro lo 0,1% o 1 parte su 1.000. Pertanto, la proiezione di Mercatore è adeguata per la mappatura dei paesi vicini all’equatore.

Proiezione secanteModifica

In una proiezione di Mercatore secante (nel senso di taglio) il globo è proiettato su un cilindro che taglia la sfera a due paralleli con latitudini ±φ1. La scala è ora vera a queste latitudini mentre i paralleli tra queste latitudini sono contratti dalla proiezione e il loro fattore di scala deve essere inferiore a uno. Il risultato è che la deviazione della scala dall’unità è ridotta su una gamma più ampia di latitudini.

Un esempio di tale proiezione è

x = 0.99 R λ y = 0.99 R ln tan ( π 4 + φ 2 ) k = 0.99 sec φ . x = 0,99 R λ y = 0,99 R λ tan!\sinistra({\frac {\pi }4}}+{frac {\varphi }2}}destra)\qquad k\;=0,99\sec \varphi .}

${{displaystyle x=0.99R\lambda \qquad y=0.99R\ln \tan \!\left({\frac {\pi }{4}}+{frac {\varphi }{2}}destra)\qquad k\;=0.99\sec \varphi .La scala sull'equatore è 0,99; la scala è k = 1 ad una latitudine di circa ±8° (il valore di φ1); la scala è k = 1,01 ad una latitudine di circa ±11,4°. Pertanto, la proiezione ha una precisione dell'1%, su una fascia più ampia di 22° rispetto ai 16° della proiezione normale (tangente). Questa è una tecnica standard per estendere la regione su cui una proiezione cartografica ha una data precisione.$

Generalizzazione all’ellissoideModifica

Quando la Terra è modellata da uno sferoide (ellissoide di rivoluzione) la proiezione Mercator deve essere modificata se vuole rimanere conforme. Le equazioni di trasformazione e il fattore di scala per la versione non secante sono

x = R ( λ – λ 0 ) , y = R ln = R ( sinh – 1 ( tan φ ) – e tanh – 1 ( e sin φ ) ) , k = sec φ 1 – e 2 sin 2 φ . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\left(\lambda -\lambda _{0}\destra),\y&=R\ln \left=R\left(\sinh ^{-1}(\tan \varphi \right)-e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\right),\\k&==sec \varphi {sqrt {1-e^{2}sin ^{2}\varphi}.\end{aligned}}}

${displaystyle {\begin{aligned}x=R\sinistra(\lambda -lambda _{0}destra),\y=Reln \sinistra=Registro(\sinh ^{-1}sinistra(\tan \varphi \destra)-e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\destra),\k=sec \varphi {sqrt {1-e^{2}sin ^{2}varphi }}.\Il fattore di scala è l'unità all'equatore, come deve essere poiché il cilindro è tangente all'ellissoide all'equatore. La correzione ellissoidale del fattore di scala aumenta con la latitudine, ma non è mai maggiore di e2, una correzione inferiore all'1%. (Il valore di e2 è circa 0,006 per tutti gli ellissoidi di riferimento.) Questo è molto più piccolo dell'imprecisione della scala, tranne che molto vicino all'equatore. Solo le accurate proiezioni di Mercatore delle regioni vicine all'equatore richiederanno le correzioni ellissoidali.$

Formule per la distanzaModifica

Convertire la distanza del righello sulla mappa di Mercatore in distanza reale (grande cerchio) sulla sfera è semplice lungo l’equatore ma in nessun altro punto. Un problema è la variazione di scala con la latitudine, e un altro è che le linee rette sulla mappa (lossodromie), diverse dai meridiani o dall’equatore, non corrispondono ai grandi cerchi.

La distinzione tra distanza lossodromica (navigazione) e distanza del grande cerchio (vero) era chiaramente compresa da Mercatore. Egli ha sottolineato che la distanza lossodromica è un’approssimazione accettabile per la vera distanza dei grandi cerchi per rotte di breve o moderata distanza, in particolare alle latitudini più basse. Egli quantifica persino la sua affermazione: “Quando le distanze dei grandi cerchi che devono essere misurate in prossimità dell’equatore non superano i 20 gradi di un grande cerchio, o i 15 gradi vicino alla Spagna e alla Francia, o gli 8 e persino i 10 gradi nelle parti settentrionali, è conveniente usare le distanze lossodromiche”.

Per una misura con righello di una linea corta, con punto medio alla latitudine φ, dove il fattore di scala è k = sec φ = 1/cos φ:

Distanza vera = distanza lossodromica ≅ distanza del righello × cos φ / RF. (linee brevi)

Con raggio e circonferenza del grande cerchio uguali rispettivamente a 6.371 km e 40.030 km un RF di 1/300M, per cui R = 2,12 cm e W = 13,34 cm, implica che una misura del righello di 3 mm. in qualsiasi direzione da un punto dell’equatore corrisponde a circa 900 km. Le distanze corrispondenti per le latitudini 20°, 40°, 60° e 80° sono rispettivamente 846 km, 689 km, 450 km e 156 km.

Distanze più lunghe richiedono vari approcci.

All’equatoreModifica

La scala è unitaria all’equatore (per una proiezione non secante). Pertanto, interpretare le misure del righello all’equatore è semplice:

Distanza vera = distanza del righello / RF (equatore)

Per il modello precedente, con RF = 1/300M, 1 cm corrisponde a 3.000 km.

Su altri paralleliModifica

Su qualsiasi altro parallelo il fattore di scala è sec φ in modo che

Distanza parallela = distanza del righello × cos φ / RF (parallelo).

Per il modello di cui sopra 1 cm corrisponde a 1.500 km a una latitudine di 60°.

Questa non è la distanza più breve tra i punti finali scelti sul parallelo perché un parallelo non è un grande cerchio. La differenza è piccola per distanze brevi, ma aumenta all’aumentare di λ, la separazione longitudinale. Per due punti, A e B, separati da 10° di longitudine sul parallelo a 60° la distanza lungo il parallelo è circa 0,5 km maggiore della distanza del grande cerchio. (La distanza AB lungo il parallelo è (a cos φ) λ. La lunghezza della corda AB è 2(a cos φ) sin λ/2. Questa corda sottende un angolo al centro pari a 2arcsin(cos φ sin λ/2) e la distanza del grande cerchio tra A e B è 2a arcsin(cos φ sin λ/2). Nel caso estremo in cui la separazione longitudinale è di 180°, la distanza lungo il parallelo è la metà della circonferenza di quel parallelo; cioè 10.007,5 km. D’altra parte, la geodetica tra questi punti è un arco di grande cerchio attraverso il polo che sottende un angolo di 60° al centro: la lunghezza di questo arco è un sesto della circonferenza del grande cerchio, circa 6.672 km. La differenza è di 3.338 km, quindi la distanza del righello misurata dalla mappa è abbastanza fuorviante anche dopo aver corretto per la variazione di latitudine del fattore di scala.

Su un meridianoModifica

Un meridiano della mappa è un grande cerchio sul globo, ma la continua variazione di scala significa che la sola misurazione del righello non può fornire la vera distanza tra punti distanti sul meridiano. Tuttavia, se la mappa è contrassegnata da una scala di latitudine accurata e finemente spaziata da cui la latitudine può essere letta direttamente – come nel caso del mappamondo Mercator 1569 (fogli 3, 9, 15) e tutte le successive carte nautiche – la distanza meridiana tra due latitudini φ1 e φ2 è semplicemente

m 12 = a | φ 1 – φ 2 | . m_{12}=a|a|varphi _{1}-\varphi _{2}|.}

$m_{12}=a|\varphi _{1}-\varphi _{2}|.$

Se le latitudini dei punti finali non possono essere determinate con sicurezza allora possono essere trovate invece con un calcolo sulla distanza dei righelli. Chiamando le distanze dei punti finali sul meridiano della mappa misurate dall’equatore y1 e y2, la vera distanza tra questi punti sulla sfera è data utilizzando una qualsiasi delle formule dell’inverso di Mercatore:

m 12 = a | tan – 1 – tan – 1 | , {\displaystyle m_{12}=a\sinistra ^{-1}{{1}}sinistra- ^{-1}{1}sinistra-destra|,}

$m_{12}=a{12}=a\left|itan ^{-1}left-\tan ^{-1}left\right|,$

dove R può essere calcolato dalla larghezza W della mappa da R = W/2π. Per esempio, su una mappa con R = 1 i valori di y = 0, 1, 2, 3 corrispondono a latitudini di φ = 0°, 50°, 75°, 84° e quindi gli intervalli successivi di 1 cm sulla mappa corrispondono a intervalli di latitudine sul globo di 50°, 25°, 9° e distanze di 5.560 km, 2.780 km, e 1.000 km sulla Terra.

Su una lossodromia

Una linea retta sulla mappa di Mercatore ad angolo α rispetto ai meridiani è una lossodromia. Quando α = π/2 o 3π/2 la lossodromia corrisponde a uno dei paralleli; solo uno, l’equatore, è un grande cerchio. Quando α = 0 o π corrisponde a un grande cerchio meridiano (se continua intorno alla Terra). Per tutti gli altri valori è una spirale da un polo all’altro del globo che interseca tutti i meridiani allo stesso angolo, e quindi non è un grande cerchio. Questa sezione discute solo l’ultimo di questi casi.

Se α non è né 0 né π allora la figura precedente degli elementi infinitesimali mostra che la lunghezza di una lossodromia infinitesimale sulla sfera tra le latitudini φ; e φ + δφ è un sec α δφ. Poiché α è costante sulla lossodromia questa espressione può essere integrata per dare, per lossodromie finite sulla Terra:

r 12 = a sec α | φ 1 – φ 2 | = a sec α Δ φ . {\displaystyle r_{12}=a\sec \alpha \,|\varphi _{1}-\varphi _{2}|=a\,\sec \alpha \;\Delta \varphi .}

${{displaystyle r_{12}=a\sec \alpha \,|\varphi _{1}-\varphi _{2}|=a\,\sec \alpha \;\Delta \varphi .$

Ancora una volta, se Δφ può essere letto direttamente da un’accurata scala di latitudine sulla mappa, allora la distanza lossodromica tra punti della mappa con latitudini φ1 e φ2 è data da quanto sopra. Se non c’è una tale scala, allora le distanze del righello tra i punti finali e l’equatore, y1 e y2, danno il risultato attraverso una formula inversa:

r 12 = a sec α | tan – 1 sinh ( y 1 R ) – tan – 1 sinh ( y 2 R ) | . {\displaystyle r_{12}=a\sec \alpha \left|{tan ^{-1}{sinh \left({frac {y_{1}}{R}{right)-{tan ^{-1}{sinh \left({frac {y_{2}{R}{right)\right|.}

$r_{12}=a\sec \alpha \left|itan ^{-1}sinh \left({y_frac {y_{1}{R}}destra)- \tan ^{-1}sinh \left({y_frac {y_{2}{R}}destra)\right|.$