Serie R, L, e C

Prendiamo il seguente circuito di esempio e analizziamolo:

Esempio di circuito serie R, L e C.

Risolvere la reattanza

Il primo passo è determinare la reattanza (in ohm) per l’induttore e il condensatore.

Il passo successivo è esprimere tutte le resistenze e reattanze in una forma matematicamente comune: l’impedenza. (Figura sotto)

Ricordate che una reattanza induttiva si traduce in un’impedenza immaginaria positiva (o un’impedenza a +90°), mentre una reattanza capacitiva si traduce in un’impedenza immaginaria negativa (impedenza a -90°). La resistenza, naturalmente, è ancora considerata come un’impedenza puramente “reale” (angolo polare di 0°):

Esempio di circuito in serie R, L e C con i valori dei componenti sostituiti dalle impedenze.

Tabulare i risultati:

Ora, con tutte le quantità di opposizione alla corrente elettrica espresse in un formato comune di numeri complessi (come impedenze, e non come resistenze o reattanze), possono essere gestite nello stesso modo delle resistenze semplici in un circuito DC.

Questo è il momento ideale per redigere una tabella di analisi per questo circuito e inserire tutte le cifre “date” (la tensione totale e l’impedenza della resistenza, dell’induttore e del condensatore).

Se non specificato diversamente, la tensione sorgente sarà il nostro riferimento per lo spostamento di fase, e quindi sarà scritta con un angolo di 0°. Ricordate che non esiste un angolo “assoluto” di sfasamento per una tensione o una corrente, poiché è sempre una quantità relativa a un’altra forma d’onda.

Gli angoli di fase per l’impedenza, invece (come quelli del resistore, dell’induttore e del condensatore), sono noti in modo assoluto, perché le relazioni di fase tra tensione e corrente in ogni componente sono assolutamente definite.

Nota che sto assumendo un induttore e un condensatore perfettamente reattivi, con angoli di fase dell’impedenza di esattamente +90 e -90°, rispettivamente.

Anche se i componenti reali non saranno perfetti in questo senso, dovrebbero essere abbastanza vicini. Per semplicità, d’ora in poi assumerò induttori e condensatori perfettamente reattivi nei miei calcoli di esempio, tranne dove indicato diversamente.

Siccome il circuito di esempio di cui sopra è un circuito in serie, sappiamo che l’impedenza totale del circuito è uguale alla somma dei singoli, quindi:

Inserendo questo dato per l’impedenza totale nella nostra tabella:

Possiamo ora applicare la legge di Ohm (I=E/R) verticalmente nella colonna “Totale” per trovare la corrente totale per questo circuito in serie:

Essendo un circuito in serie, la corrente deve essere uguale attraverso tutti i componenti. Così, possiamo prendere la cifra ottenuta per la corrente totale e distribuirla a ciascuna delle altre colonne:

Ora siamo pronti ad applicare la legge di Ohm (E=IZ) a ciascuna delle colonne dei singoli componenti nella tabella, per determinare le cadute di tensione:

Nota qualcosa di strano qui: anche se la nostra tensione di alimentazione è solo 120 volt, la tensione attraverso il condensatore è 137.46 volt! Come può essere? La risposta sta nell’interazione tra le reattanze induttive e capacitive.

Espressa come impedenza, possiamo vedere che l’induttore si oppone alla corrente in modo esattamente opposto a quello del condensatore. Espressa in forma rettangolare, l’impedenza dell’induttore ha un termine immaginario positivo e il condensatore ha un termine immaginario negativo.

Quando queste due impedenze contrarie vengono sommate (in serie), tendono ad annullarsi a vicenda! Sebbene siano ancora sommate per produrre una somma, questa somma è effettivamente inferiore a ciascuna delle impedenze individuali (capacitiva o induttiva) da sola.

È analogo alla somma di un numero positivo e uno negativo (scalare): la somma è una quantità inferiore al valore assoluto individuale di entrambi.

Se l’impedenza totale in un circuito in serie con elementi induttivi e capacitivi è inferiore all’impedenza di uno dei due elementi separatamente, allora la corrente totale in quel circuito deve essere maggiore di quella che sarebbe con solo gli elementi induttivi o solo i capacitivi.

Con questa corrente anormalmente alta attraverso ciascuno dei componenti, si possono ottenere tensioni maggiori della tensione sorgente attraverso alcuni dei singoli componenti! Ulteriori conseguenze delle reattanze opposte degli induttori e dei condensatori nello stesso circuito saranno esplorate nel prossimo capitolo.

Una volta che avete imparato la tecnica di ridurre tutti i valori dei componenti alle impedenze (Z), analizzare qualsiasi circuito AC è difficile quanto analizzare qualsiasi circuito DC, tranne che le quantità trattate sono vettoriali invece che scalari.

Con l’eccezione delle equazioni che riguardano la potenza (P), le equazioni nei circuiti in corrente alternata sono le stesse di quelle nei circuiti in corrente continua, usando impedenze (Z) invece di resistenze (R). La legge di Ohm (E=IZ) è ancora valida, così come le leggi della tensione e della corrente di Kirchhoff.

Per dimostrare la legge della tensione di Kirchhoff in un circuito AC, possiamo guardare le risposte che abbiamo derivato per le cadute di tensione dei componenti nell’ultimo circuito. La KVL ci dice che la somma algebrica delle cadute di tensione attraverso il resistore, l’induttore e il condensatore dovrebbe essere uguale alla tensione applicata dalla sorgente.

Anche se questo può non sembrare vero a prima vista, un po’ di addizione di numeri complessi dimostra il contrario:

A parte un piccolo errore di arrotondamento, la somma di queste cadute di tensione è uguale a 120 volt. Eseguita su una calcolatrice (conservando tutte le cifre), la risposta che riceverete dovrebbe essere esattamente 120 + j0 volt.

Possiamo anche usare SPICE per verificare le nostre cifre per questo circuito:

Esempio di circuito SPICE serie R, L e C.

r1 1 2 250 l1 2 3 650m c1 3 0 1.5u .ac lin 1 60 60 .print ac v(1,2) v(2,3) v(3,0) i(v1) .print ac vp(1,2) vp(2,3) vp(3,0) ip(v1) .end freq v(1,2) v(2,3) v(3) i(v1) 6.000E+01 1.943E+01 1.905E+01 1.375E+02 7.773E-02 freq vp(1,2) vp(2,3) vp(3) ip(v1) 6.000E+01 8.068E+01 1.707E+02 -9.320E+00 -9.932E+01 

La simulazione SPICE mostra che i nostri risultati calcolati a mano sono accurati.

Come potete vedere, c’è poca differenza tra l’analisi dei circuiti AC e quella dei circuiti DC, tranne che tutte le quantità di tensione, corrente e resistenza (in realtà, impedenza) devono essere gestite in forma complessa piuttosto che scalare in modo da tenere conto dell’angolo di fase.

Questo è un bene perché significa che tutto ciò che hai imparato sui circuiti elettrici DC si applica a ciò che stai imparando qui. L’unica eccezione a questa coerenza è il calcolo della potenza, che è così unico da meritare un capitolo dedicato solo a questo argomento.

RIASSUNTO:

• Impedenze di qualsiasi tipo si sommano in serie: ZTotale = Z1 + Z2 + . . . Zn
• Anche se le impedenze si sommano in serie, l’impedenza totale per un circuito contenente sia induttanza che capacità può essere inferiore a una o più delle singole impedenze, perché le impedenze induttive e capacitive in serie tendono ad annullarsi a vicenda. Questo può portare a cadute di tensione attraverso i componenti che superano la tensione di alimentazione!
• Tutte le regole e le leggi dei circuiti DC si applicano ai circuiti AC, purché i valori siano espressi in forma complessa piuttosto che scalare. L’unica eccezione a questo principio è il calcolo della potenza, che è molto diverso per la corrente alternata.

Foglio di lavoro correlato:

• Foglio di lavoro dei circuiti AC a combinazione serie-parallelo