Solving Real-World Problems

Una lezione per la prima elementare

di Chris Confer

Quando i bambini usano la matematica per risolvere problemi del mondo reale, imparano che la matematica non è solo qualcosa da fare per il bene dell’insegnante, ma offre loro strumenti importanti per modellare il loro mondo. In questa lezione, che appare nel nuovo libro di Chris Confer Teaching Number Sense, Grade 1 (Math Solutions Publications, 2005), ai bambini viene chiesto di capire di quanti biscotti hanno bisogno per una festa di classe.

“Domani è la giornata dei bambini”, ho detto, “e potremmo festeggiare con dei biscotti. Sarei felice di portare due biscotti per ognuno di voi, ma vorrei sapere quanti biscotti portare. Cosa dobbiamo sapere per capirlo?”

“Quanti biscotti? Chiese Juanita.

“Sì, è questo che dobbiamo sapere, quanti biscotti ci servono perché ognuno di voi possa averne due. Quanti bambini ci sono nella nostra classe?”. Continuai. I bambini concordarono che erano ventidue. Ho scritto Sulla lavagna ci sono 22 bambini. Poi ho aggiunto Se ogni bambino prende 2 biscotti, di quanti biscotti abbiamo bisogno?

“Potete fare dei disegni o usare dei cubi o qualsiasi altra cosa per capirlo”, ho detto. “Potete lavorare da soli o con uno o più partner.”

Di nuovo ho chiesto: “Quanti bambini ci sono in questa stanza? I bambini hanno risposto: “Ventidue.”

“E di quanti biscotti ha bisogno ognuno?”. “Due biscotti”, hanno detto.

“Voglio che ognuno di voi mostri la sua risposta e come l’ha calcolata su un pezzo di carta”, ho continuato.

Alfredo ha iniziato a disegnare figure a bastoncino e due biscotti accanto a ciascuna, ma dopo due figure a bastoncino, ha abbandonato l’idea. “È troppo difficile”, mi ha detto. “Posso ricominciare?” Girò il suo foglio e cominciò a disegnare serie di due biscotti. Ogni coppia di biscotti aveva uno spazio leggermente più grande tra la coppia successiva.

Alejandrina, Navin e Alicia avevano disegnato coppie di biscotti e avevano cerchiato le coppie. Stavano contando per verificare di avere ventidue coppie. Navin aveva scritto 2 1 2 1 2 1 2 . . . e stava contando per uno. “Quarantaquattro!” disse trionfante.

Lorena fece dei puntini per i suoi biscotti. Le coppie di biscotti erano chiaramente separate l’una dall’altra. Li contò, ne disegnò altri e li ricontò da uno a uno per controllare quanti biscotti aveva.

Passai a Sereslinda, che aveva fatto dei cerchi per i biscotti, tutti in fila, senza nessuno spazio che separasse le coppie di biscotti. Si fermò a contare i biscotti e arrivò a sedici. Mi chiedevo cosa avrebbe fatto dopo.

Alfredo aveva deciso di circondare le sue coppie di biscotti. “Questi vanno insieme”, disse. “Sono due bambini”. Sembrava che Alfredo avesse iniziato a confondere ciò che i cerchi rappresentavano: erano biscotti o bambini? Decisi di non intervenire e vedere se sarebbe stato in grado di risolvere la cosa da solo. (Vedi Figura 1.)

Figura 1. Anche se aveva cerchiato le coppie,
il foglio di Alfredo mostrava ventidue biscotti, piuttosto
che ventidue coppie di biscotti.

Anche Sereslinda aveva iniziato a cerchiare le coppie di biscotti, forse per mostrare che ogni bambino riceveva due biscotti. Periodicamente si fermava a contare le coppie di biscotti. Quando ne aveva ventidue, si fermò.

Poi cominciò a disegnare persone a bastoncino. Ha fatto dieci e poi ha iniziato a scrivere numeri per rappresentare gli altri bambini della classe. I suoi numeri arrivarono a ventidue, ma lei aveva disegnato solo undici figurine e dieci numeri. Sereslinda aveva contato male, ma ero interessata a come era passata ad un modo più efficiente di rappresentare: usando i numeri piuttosto che i disegni.

Ho osservato come Sereslinda ha iniziato a controllare di avere abbastanza coppie di biscotti per ogni bambino della classe. Tracciò delle linee per collegare ogni persona con una coppia di biscotti o ogni numero con una coppia di biscotti. Ma questa divenne una strategia di rappresentazione ingombrante. (Vedi Figura 2.) Sereslinda cominciava a sembrare frustrata. Era ora di intervenire.

Figura 2. Sereslinda ha disegnato delle linee per collegare le sue
figure con coppie di biscotti. Le molte linee sul
disegno l’hanno confusa, e lei ha cambiato la sua
risposta da quarantaquattro a ventidue.

“Sai quale cosa intelligente ti vedo fare? Ho chiesto a Sereslinda. “Stai abbinando per controllare di avere due biscotti per ogni persona disegnando delle linee. Questo funziona benissimo per i numeri più piccoli, ma diventa difficile con i numeri più grandi come ventidue. Posso darti un suggerimento?” Lei annuì. “Potresti provare a indicare ogni coppia di due biscotti e vedere se si contano ventidue coppie, proprio come noi abbiamo ventidue bambini”. Glielo dimostrai e lei continuò a contare da sola.

“Sono abbastanza”, mi disse. Ero contento che questa strategia alternativa le fosse stata utile.

Lorena aveva fatto ventidue coppie di biscotti e cominciò a contarli da uno in inglese. Ha sbagliato a contare a metà strada e in qualche modo ha riconosciuto il suo errore. “Potresti voler contare in spagnolo”, ho suggerito. Quando i bambini fanno qualcosa di difficile, spesso hanno più successo quando usano la loro prima lingua.

Lorena ha cominciato a contare di nuovo in spagnolo, partendo da due. Lo fece diverse volte, assicurandosi di contare correttamente. Lorena scrisse attentamente 44 biscotti in cima alla sua pagina. (Vedi Figura 3.)

Figura 3. Lorena ha disegnato ventidue coppie di biscotti e poi ha contato per uno, in spagnolo, fino a quarantaquattro.

Sono tornata da Sereslinda. Sul suo foglio c’erano ventidue coppie di biscotti. “Quanti biscotti dobbiamo avere?”. Chiesi. Sereslinda contò i gruppi di due. “Abbiamo bisogno di ventidue biscotti”, annunciò.

“Quindi abbiamo ventidue bambini, e ogni bambino riceve due biscotti, e noi dobbiamo portare ventidue biscotti? Ho chiesto. Sereslinda annuì e scrisse 22 biscotti in cima al suo foglio.

“Ha ragione”, disse Alfredo. Ma il suo foglio aveva una rappresentazione molto diversa: solo ventidue biscotti piuttosto che ventidue coppie di biscotti.

Rappresentare due biscotti per ogni bambino è difficile, poiché c’è una quantità di bambini che è rilevante e una quantità di biscotti che non corrisponde al primo numero ma rappresenta un raddoppio di quel numero. Dopo aver rappresentato queste diverse quantità, i bambini devono ricordare e interpretare quale è quale.

Dopo un po’, ho riunito i bambini sul tappeto e ho chiesto: “Quanti biscotti devo portare se siete ventidue e ognuno di voi ha bisogno di due biscotti? Ho chiesto ad Alfredo di condividere per primo.

“Ci sono due bambini qui”, disse Alfredo indicando i due cerchietti che aveva disegnato per rappresentare i biscotti. “E due bambini qui e due bambini qui. E fanno uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette, otto, nove, dieci, undici, dodici, tredici, quattordici, quindici, sedici, diciassette, diciotto, diciannove, venti, ventuno, ventidue. E ci sono ventidue bambini e ventidue biscotti.”

“Quindi pensi che se abbiamo ventidue biscotti, ce ne sarà abbastanza per ognuno di voi per avere due biscotti”, ho detto. Alfredo annuì.

“Quanti di voi sono d’accordo che abbiamo bisogno di ventidue biscotti? Chiesi. Circa un terzo dei bambini alzò la mano. Ho scritto 22 biscotti sulla lavagna.

Ho chiesto a Lorena di condividere.

“Dobbiamo vedere tutti i ventidue bambini e contare i biscotti”, ha detto Lorena, indicando le coppie di biscotti che aveva disegnato. “Sono uno, due, tre, quattro…” Contò fino a quarantaquattro, riconoscendo che ogni coppia era composta da due biscotti.

“No,” disse Alfredo. “Sono ventidue.”

“Guardiamo cosa ha disegnato Lorena. Dove sono i bambini?”. Le chiesi. Ha indicato ogni coppia di biscotti, dicendo: “Questo è per me e questo è per Sereslinda e questo è per Heriberto. . . “

“Hai lasciato uno spazio tra ciascuno per mostrare che il prossimo paio di biscotti era per una persona diversa. E poi hai contato tutti i biscotti?”. Ho chiesto. Lorena annuì. Abbiamo contato tutti i biscotti che Lorena aveva disegnato e siamo arrivati a quarantaquattro. Ho scritto 44 biscotti sulla lavagna.

“Quindi non siamo d’accordo”, ho detto al gruppo. “Alcuni di voi pensano che abbiamo bisogno di ventidue biscotti e altri pensano che siano quarantaquattro. Come possiamo saperlo con certezza?”

“Dacci i biscotti”, gridarono alcuni bambini.

“Ma io non ho biscotti”, dissi. “Ho bisogno di sapere quanti portarne”. “Possiamo usare dei biscotti finti”, disse Carina.

“Cosa possiamo usare?” Ho chiesto. “Cubi”, suggerì Heriberto.

Passammo un sacchetto di cubi intorno al cerchio, e mi assicurai che i bambini ricordassero spesso cosa rappresentavano i cubi. “Due biscotti per Cristina, due biscotti per Heriberto. . .

Abbiamo messo tutti i cubi in fila, tenendo insieme le coppie di cubi. Poi abbiamo contato i cubi partendo da uno. Abbiamo finito con quarantaquattro. “Quindi abbiamo ventidue bambini e quarantaquattro biscotti”, ho detto. Ho scritto 44 biscotti sulla lavagna.

“Porta quarantaquattro”, ha detto Carina.

Il giorno dopo ho portato quarantaquattro biscotti e i bambini erano felici di riceverne due ciascuno.