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Jacobi

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Gegeben eine Menge y=f(x) von n Gleichungen in n Variablen x_1x_n, explizit geschrieben als

y=,
(1)

oder expliziter als

{y_1=f_1(x_1,...,x_n); |; y_n=f_n(x_1,...,x_n),
(2)

die Jacobimatrix, manchmal einfach „die Jacobimatrix“ genannt (Simon und Blume 1994), ist definiert durch

J(x_1,...,x_n)=.
(3)

Die Determinante von J ist die Jacobische Determinante (verwirrenderweise, oft auch „die Jakobi“ genannt) und wird bezeichnet

J=|(partial(y_1,...,y_n))/(teilweise(x_1,...,x_n))|.
(4)

Die Jacobimatrix und Determinante können in der WolframLanguage berechnet werden mit

 JacobianMatrix := Outer /; Equal @@ (Dimensions /@ {f, x}) JacobianDeterminant := Det] /; Equal @@ (Dimensions /@ {f, x})

Das Differential

dy=y_(x)dx
(5)

Zeigt, dass J die Determinante der Matrix y_(x) ist, und gibt somit die Verhältnisse der n-dimensionalen Volumina (Inhalte) in y und x an,

dy_1...dy_n=|(partial(y_1,...,y_n))/(partial(x_1,...,x_n))|dx_1...dx_n.
(6)

Sie taucht daher zum Beispiel im Satz vom Variablenwechsel auf.

Das Konzept der Jacobi kann auch auf n Funktionen in mehr als n Variablen angewendet werden. Betrachten Sie zum Beispiel f(u,v,w) und g(u,v,w), die Jacobi

(partial(f,g))/(teilweise(u,v)) = |f_u f_v; g_u g_v|
(7)
(partial(f,g))/(teilweise(u,w)) = |f_u f_w; g_u g_w|
(8)

kann definiert werden (Kaplan 1984, S. 99).

Für den Fall von n=3 Variablen nimmt der Jacobian die spezielle Form

Jf(x_1,x_2,x_3)=|(partialy)/(partialx_1)-(partialy)/(partialx_2)×(partialy)/(partialx_3)|,
(9)

wobei a-b ist das Punktprodukt und b×c ist das Kreuzprodukt, was erweitert werden kann zu

|(partial(y_1,y_2,y_3))/(partial(x_1,x_2,x_3))|=|(partialy_1)/(partialx_1) (partialy_1)/(partialx_2) (partialy_1)/(partialx_3); (partialy_2)/(partialx_1) (partialy_2)/(partialx_2) (partialy_2)/(partialx_3); (partialy_3)/(partialx_1) (partialy_3)/(partialx_2) (partialy_3)/(partialx_3)|.
(10)

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