Conservatieve krachten

Sravanth en Julian

Tot nu toe hebben we een kort begrip van conservatieve krachten; nu gaan we proberen enkele methoden te vinden om te bepalen of een kracht conservatief is. In dit gedeelte zullen we proberen dit te begrijpen, met behulp van vier verschillende methoden. Om dit te begrijpen moet je bekend zijn met de stelling van Stokes, partiële afgeleiden en Groen-functies in de natuurkunde. Laten we eens kijken hoe we een conservatieve kracht kunnen identificeren:

Methode 1: Test verschillende paden waarbij de eindpunten hetzelfde blijven

Bron: Khan Academy

Deze methode is niets anders dan controleren of het veld padonafhankelijk is of niet. Volgens deze methode, als we bewijzen dat de verrichte arbeid niet verandert met het afgelegde pad, is de kracht conservatief. Voor deze methode is geen bewijs nodig, omdat de methode zelf de kern is van de conservatieve krachten. We hoeven dus alleen maar te zorgen dat

∫C1f→⋅dr→=∫C2f→⋅dr→.\displaystyle \int_{C_1} {\overrightarrow {f}}} \{C_1} {{overrightarrow {f}} = {int_{C_2}} {\overrightarrow {f} ∫C1f⋅dr=∫C2f⋅dr.

Het bovenstaande plaatje specificeert 2 verschillende paden C1C_1C1 en C2C_2C2. Ons vectorveld is conservatief als en slechts als de bovenstaande uitdrukking goed is. Het laat gewoon zien dat de verrichte arbeid niet verandert, welk pad je ook neemt, zolang je maar op hetzelfde punt begint en eindigt.

Methode 2: Lus-eigenschap van conservatieve krachten

Laten we zeggen dat we een gesloten lus/pad hebben, met als begin- en eindpunt AAA en BBB, dus volgens deze methode, als de verrichte arbeid bij het bewegen van AAA naar BBB en terug naar AAA vanuit BBB nul is, dan is de kracht conservatief. Wiskundig staat er

∮Any Closed Pathf→⋅dr→=0∀f→∈ Conservative Fields.\displaystyle \oint_{\color{#D61F06}{{Any Closed Path}} {\overrightarrow {f} \cdot \overrightarrow {dr}} = 0 \quad \forall \overrightarrow{f}} \in ##3D99F6}{text{ Conservatieve Velden}}. ∮Elk gesloten pad⋅dr=0∀f∈ Conservatieve Velden.

Voordeel van 2 over 1: We kunnen er in 1 niet zeker van zijn dat f→overrightarrow{f}f conservatief is, ook al volgt het 1, want het pad of de punten die we genomen hebben kunnen een speciaal geval zijn wanneer het aan de voorwaarde voldoet. Laten we nu het bewijs van de methode 2 bekijken.

Bron: Thomas’ Calculus

Laten we zeggen dat we twee punten AAA en BBB hebben die eenvoudig verbonden zijn (zie figuur) op de lus CCC. Laten we zeggen dat het pad van AAA naar BBB C1C_1C1 is en het pad van BBB naar AAA C2C_2C2. Maar als we de richting van het pad C2C_2C2 van AAA naar BBB omkeren, verandert het teken ervan in -C2-C_2-C2, dus hebben we

∮Cf⃗⋅dr=∫C1f⃗⋅dr+∫C2f⃗⋅dr=∫ABf⃗⋅dr-∫ABf⃗⋅dr=0. □begin{aligned} \vec{f} \cdot dr &= \int_{C_1} \vec{f} \dr + \int_{C_2} \vec{f} \&= \int_{A}^{B} \vec{f} \cdot dr – \int_{A}^{B} \vec{f} \&= 0.□∮Cf⋅dr=∫C1f⋅dr+∫C2f⋅dr=∫ABf⋅dr-∫ABf⋅dr=0. □

Method 3: Elke conservatieve kracht kan worden uitgedrukt als f⃗=∇F.\f = \nabla F.f=∇F.

Volgens deze methode, als een vectorveld f⃗ ff kan worden uitgedrukt als f⃗=∇F\vec f = \nabla Ff=∇F voor een differentieerbare functie FFF, dan is het conservatief. Met andere woorden, als f⃗=∇F,\vec f = \nabla F,f=∇F, dan is de waarde van de lijnintegraal ∫Cf⃗dr⃗int_C \vec f \vec{dr}∫Cfdr padonafhankelijk. Meer formeel kan het als volgt gedefinieerd worden:

Als f=Mi+Nj+Pk f=M\mathbf i + N\mathbf j + P\mathbf kf=Mi+Nj+Pk een vectorveld is waarvan de drie componenten continu zijn in een open gebied DDD in de ruimte, dan kan f⃗vec{f}f worden uitgedrukt als

f→=∇F waarin F een scalair is,\overrightarrow{f} = \nabla F \text{ waarin F een } f=∇F waarbij F een scalair is,

dan is f⃗↪Sm_vec{f} f een conservatieve kracht.

Laten we eens kijken hoe dit bewezen kan worden:

Laat f=Mi+Nj+Pk f=M\mathbf i + N\mathbf j + P\mathbf kf=Mi+Nj+Pk. Stel nu dat we 222 punten hebben in de ruimte AAA en BBB, en als f→overrightarrow ff een gradiëntveld is dan

∫Cf→⋅dr=F(B)-F(A).\int_{C} ∫Cf⋅dr=F(B)-F(A).

Laten we zeggen dat het pad een gladde kromme CCC is, en laten we ook zeggen dat we een punt B0B_0B0 hebben met coördinaten (x0,y,z)(x_0,y,z)(x0,y,z) in de buurt van BBB met coördinaten (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z), die verbonden zijn door een lijnstuk LLL. Laten we ook zeggen dat het pad van AAA naar B0B_0B0 weer een kromme C0C_0C0 is.

Als we dan van AAA naar B,B,B moeten reizen, moeten we het pad van AAA naar B0B_0B0 en dan van B0B_0B0 naar BBB doorkruisen, of kortweg langs C0C_0C0 en dan LLL. Dus,

F(x,y,z)=∫C0f→⋅dr+∫Lf→⋅dr.F(x,y,z) = \int_{C_0} \overrightarrow f\cdot dr + \int_{L} \overrightarrow f\cdot dr.F(x,y,z)=∫C0f⋅dr+∫Lf⋅dr.

Differentiëren we dit, dan krijgen we

∂f∂xF(x,y,z)=∂f∂x∫C0f→⋅dr+∂f∂x∫Lf→⋅dr.\F(x,y,z) = \frac{{fractief f}{fractief x} \int_{C_0} \dr + \frac{gedeeltelijk f}{gedeeltelijk x} ∂x∂fF(x,y,z)=∂x∂f∫C0f⋅dr+∂x∂f∫Lf⋅dr.

Aangezien het de tweede term is die van xxx afhangt, krijgen we

∂xF(x,y,z)=∂f∂x∫Lf→⋅dr.\frac{{partieel}{partieel x} F(x,y,z) = \frac{partieel f}{{partieel x}{int_{L} ∂x∂F(x,y,z)=∂x∂f∫Lf⋅dr.

We kunnen het pad LLL parametriseren als r(t)=ti+yj+zk,\mathbf r(t) = t \mathbf i + y\mathbf j + z\mathbf k,r(t)=ti+yj+zk, waarbij de waarde van ttt is x0≤t≤xx_0\leq t \leq xx0≤t≤x. We hebben dus drdt=i,f⋅drdt=M,\frac{d\mathbf r}{dt} = \mathbf i, \frac{d\mathbf f\cdot d\mathbf r}{dt} = M,dtdr=i,dtf⋅dr=M, en ∫Lf⋅dr=∫x0xM(t,y,z) dt.\int_L \mathbf f\cdot d\mathbf r = \int_{x_0}^x M(t,y,z)dt.∫Lf⋅dr=∫x0xM(t,y,z)dt. Substitueren van deze in bovenstaande integraal geeft

∂∂xF(x,y,z)=∂f∂x∫x0xM(t,y,z) dt=M(x,y,z).\F(x,y,z) = F(x,y,z) = F(t,y,z), dt = M(x,y,z).∂x∂F(x,y,z)=∂x∂f∫x0xM(t,y,z)dt=M(x,y,z).

Hetzelfde kunnen we doen voor de andere twee deelafgeleiden ∂f∂z=Pz\frac{∂f}{∂f=Pz en ∂f∂y=N,∂y∂f=N,∂y∂f=N, waaruit we concluderen dat

F=∇f. □mathbf F = □nabla f.□squareF=∇f. □

Hier is een andere manier om het te bewijzen: klik hier.

Methode 4: Krul van een conservatief veld is 0.

De kromming van een vectorveld, zeg f⃗=Mi+Nj+Pk\vec f =M\mathbf i + N\mathbf j + P\mathbf kf=Mi+Nj+Pk is gedefinieerd als

∇×f⃗=(∂P∂y-∂N∂z)i+(∂M∂z-∂P∂x)j+(∂N∂x-∂M∂y)k.\nabla keer \vec f = \left(\dfrac{\partieel P}{\partieel y}} – \dfrac{\partieel N}{\partieel z}}rechts)\mathbf i + \left(\dfrac{\partieel M}{\partieel z} – \dfrac{\partieel P}{\partieel x}}rechts)\mathbf j + \left(\dfrac{\partieel N}{\partieel x} – \dfrac{\partieel M}{\partieel y}}rechts)\mathbf k.∇×f=(∂y∂P-∂z∂N)i+(∂z∂M-∂x∂P)j+(∂x∂N-∂y∂M)k.

En volgens deze methode, als de krul van een veld nul is, dan is het conservatief. Een formele verklaring staat hieronder:

Als ∇×f⃗=0 ⟹ f⃗=0 in elk punt van een eenvoudig verbonden gebied van DDD in de ruimte, dan

∮Cf⃗⋅dr⃗=0 ⟹ f⃗ is conservatief.∮Cf⃗=0 ⟹ f⃗=0 ∮Cf⃗=0 ∮Cf⃗=0 ⟹ f⃗ is conservatief. ∮Cf⋅dr=0⟹f is conservatief.

En dus impliceert het dat het een conservatieve kracht is over het gebied van de ruimte.

Hier is een manier om het te bewijzen met behulp van de stelling van Stokes:

We hebben een stelling uit een tak van de wiskunde die “topologie” heet en die luidt: “elke gladde eenvoudige gesloten kromme CCC in een eenvoudig verbonden open gebied DDD is de grens van een glad tweezijdig oppervlak SSS dat ook in DDD ligt.”

Dus, gebruikmakend van de stelling van Stokes, hebben we

∮Cf⃗dr⃗=∬S∇×f⃗⋅n dσ=0.∮Cfdr=∬S∇×f⋅n dσ=0.