Oneindige_getallen – Grote Getallen

N0

aleph-null

Ook wel in de volksmond oneindig genoemd. In Cantors transfinietenleer wordt het aleph-null genoemd wanneer het als een kardinaal getal wordt behandeld, en omega wanneer het als een ordinaal getal wordt behandeld. In informele zin zijn al deze begrippen hetzelfde, maar er moet een belangrijk technisch onderscheid worden gemaakt. Oneindig in de calculus verwijst naar een reële grootheid die onbeperkt toeneemt. Het is niet zozeer een getal, als wel een manier om het gedrag van een limiet uit te drukken. omega verwijst naar het orde-type van de verzameling van niet-negatieve gehele getallen. Aleph-null daarentegen is gedefinieerd als de kardinaliteit van de verzameling van positieve gehele getallen. In gewone taal is Aleph-null het “getal” der getallen. Het probleem hiermee is dat de verzameling van positieve gehele getallen verondersteld wordt alle dingen voor te stellen die we zouden willen tellen. Hij kan zichzelf echter niet tellen. Is het “getal” der getallen dan wel een getal? Cantor dacht van wel. In zekere zin kunnen we aleph-null behandelen als een getal, in die zin dat we het kunnen vergelijken met andere getallen en kunnen bepalen welk getal groter is. Met behulp van het begrip één-op-één correspondentie toonde Cantor aan dat we rationeel kunnen zeggen dat aleph-null groter is dan elk positief geheel getal, ook al was de voorheen heersende wijsheid dat oneindig geen getal was en niet op deze manier vergeleken kon worden. Maar het aanvaarden van deze zienswijze leidt tot enkele geestverruimende anomalieën. Door gebruik te maken van één-op-één correspondentie kunnen we aantonen dat er evenveel even getallen, vierkanten, kubussen, enz. zijn als er positieve gehele getallen zijn, ondanks het feit dat dit allemaal deelverzamelingen zijn van de positieve gehele getallen. Dit is in strijd met het principe dat “het geheel altijd groter is dan elk juist deel van het geheel”. Dus aleph-null is een getal zodanig dat een juist deel ervan nog steeds even groot is… verbijsterend. Bij het werken met eindige getallen begrijpen we impliciet de exclusiviteit van “groter” vs. “gelijk”. Een getal kan niet beide zijn. Dus als een bepaalde overeenkomst aantoont dat een eindige verzameling meer heeft dan een andere eindige verzameling, dan weten we dat er geen overeenkomst kan bestaan die aantoont dat ze gelijk zijn. Niet zo bij oneindige verzamelingen! Zelfs als we een correspondentie hebben die aantoont dat de ene groter is dan de andere, betekent dat niet noodzakelijk dat er geen correspondentie bestaat die aantoont dat ze gelijk zijn. In het Cantoriaanse universum van kardinalen kan een oneindigheid pas echt groter zijn dan een andere oneindigheid als aangetoond kan worden dat “er geen enkele één-op-één correspondentie bestaat”. Aangezien er een oneindig aantal van zulke overeenkomsten moet bestaan, is het geen optie om ze allemaal afzonderlijk te controleren. Men moet met een bewijs komen dat de onmogelijkheid van zo’n overeenkomst aantoont. Men zou kunnen aannemen dat alle oneindigheden in wezen gelijk zijn en één-op-één met elkaar kunnen corresponderen. Het verbazingwekkende dat Cantor echter deed, was aantonen dat er oneindigheden waren die niet één-op-één konden corresponderen met aleph-null. Zo toonde Cantor aan dat er niet één oneindigheid was … maar een oneindigheid van oneindigheden … (Zie aleph-one). Dit is Cantor’s paradijs, of nachtmerrie, afhankelijk van je perspectief.

w+1

omega en één

Dit is het kleinste rangtelwoord na “omega”. Informeel kunnen we dit zien als oneindig plus één. Eén formulering van ordinalen is om ze te behandelen als verzamelingen van alle kleinere ordinalen. Om te zeggen dat omega en één “groter” is dan “omega” definiëren we grootheid als een ordinaal getal dat groter is dan een ander als het kleinere ordinaal getal in de verzameling van het grotere is opgenomen. De verzameling w+1 zou {w,0,1,2,3,…} zijn. Zij zou bestaan uit alle niet-negatieve gehele getallen plus omega. Dus w+1 is volgens deze definitie groter. Maar aangezien de kardinaliteit van elke ordinaal wordt voorgesteld door de kardinaliteit van zijn verzameling, kunnen we ook aantonen dat in zekere zin w = w+1, aangezien w={0,1,2,3,…} en w+1={w,0,1,2,…} we de argumenten kunnen koppelen als: {(0,w),(1,0),(2,1),(3,2),…}, waaruit blijkt dat beide verzamelingen evenveel elementen hebben, ook al bevat w+1 er één meer. In de war? In principe zijn er twee manieren om naar de vergelijking van oneindigheden te kijken: de kardinale kijk en de ordinale kijk. Volgens de ordinale kijk is omega en één groter, volgens de kardinale kijk zijn omega en omega plus één hetzelfde. Kardinalen spelen geen grote rol in de googologie, maar de telbare ordinalen wel. Voor ons doel is het onderscheid tussen w en w+1 dus belangrijk.

w+2

omega en twee

Net zoals we grote getallen willekeurig kunnen uitbreiden, kunnen we hetzelfde doen met de ordinaal w. Denk gewoon aan “w” als een ZEER groot getal. Dus we kunnen er één bij optellen, of twee, of …

2w

twee omega

2w+1

twee omega en één

2w+2

twee omega en twee

3w

drie omega

w2

omega in het kwadraat

w2+1

omega in het kwadraat en één

w2+w

omega in het kwadraat en omega

w2+w+1

omega in het kwadraat, omega en één

2w2

twee omega kwadraat

w3

omega gekubd

w

φ(w,0)

omega tot de omega

ww^w

omega naar de omega naar de omega

ε0

φ(0,1)

epsilon-nul

Cantor gaf deze ordinaal de speciale naam epsilon-nul. Wat is het? Het is de kleinste ordinaal groter dan elke ordinaal die kan worden “benoemd” door optellen, vermenigvuldigen en exponentiëren met het symbool w. Met andere woorden:

e0 = lim{w,w^w,w^w^w,w^w^w^w,…}

Met andere woorden, e0 = w^w^w^w^… waarbij er omega w’s zijn. Het kan worden gedefinieerd als de kleinste ordinaal “a”, zodanig dat a=w^a. Dit impliceert dat e0=w^e0. Raar. Het is ook gelijk aan phi(0,1) in de vastepuntenhiërarchie van Veblen.

Informeel kun je het zien als een oneindige machtstoren van oneindigheden! Het kan ook informeel w^^w worden genoemd.

Deze ordinaal is eigenlijk belangrijk voor ons omdat hij de grootte van Jonathan Bowers’ tetrationale matrices weergeeft. Niet alleen hebben Bowers’ tetrationale matrices een exacte ariteit van epsilon-nul (een tetrationale matrix is goed gedefinieerd zolang slechts een eindig aantal entries groter is dan 1. De rest is standaard allemaal gelijk aan 1. Als we de ordinalen gebruiken om alle entries in de tetrationale ruimte te tellen, zijn er precies epsilon-nul entries), maar de functie epsilon-nul van de snelgroeiende hiërarchie heeft een gelijkwaardige groeisnelheid als tetrationale matrices. Epsilon-nul vertegenwoordigt ook een belangrijke impasse. Tot op dit punt is de notatie vrij natuurlijk, en er is in principe universele overeenstemming over hoe ordinalen kleiner dan epsilon-nul te “benoemen” en hoe te bepalen welke van twee zulke ordinalen groter is. Bij epsilon-nul beginnen we echter in de problemen te komen. Er zijn minstens twee verschillende manieren om ordinalen te blijven benoemen, en bepaalde uitdrukkingen zijn moeilijk te interpreteren, zoals w^^(w+1). Het is een feit dat we gedwongen zijn om na dit punt bepaalde keuzes te maken over de notatie, en geen enkele daarvan volgt zo natuurlijk als tot epsilon-nul. Er is echter een algemeen aanvaarde uitbreiding die bekend staat als de Veblen-hiërarchie. Helaas is deze uitbreiding radicaal verschillend van Bowers’ eigen uitbreiding tot pentationale ordinalen en verder. Het is een open vraag hoe van Bowers’ ordinalen naar Veblen-ordinalen te converteren.

ε0+1

epsilon-nul en één

Wat is er zo moeilijk aan doorgaan… voeg er gewoon één toe. We kunnen natuurlijk altijd één toevoegen in het systeem van ordinalen, net zoals we dat doen met eindige getallen (dit suggereert dat er GEEN grootste ordinaal is, net zoals er geen grootste geheel getal is). Het probleem is niet zozeer het toevoegen van één. Het gaat erom wat er gebeurt als we verder gaan…

w^(ε0+1) / w*ε0

omega tot de epsilon-nul en één / omega epsilon-nul

Hier stuiten we op een van onze eerste problemen, zij het weliswaar vrij klein. Er is meer dan één mogelijke ordinale notatie die we zouden kunnen gebruiken. In de eerste versie bouwen we naar een stapel omega’s, in de tweede naar een stapel epsilon-zeros. U zult zien wat ik bedoel als we verder gaan

w^w^(ε0+1) / ε0^w

omega tot de omega tot de epsilon-nul en één / epsilon-nul naar de omega

Ondanks het feit dat we minstens twee verschillende manieren hebben om ordinalen na epsilon-nul te schrijven, is het goede nieuws dat het tot nu toe niet al te moeilijk is om er een overeenkomst tussen te maken. Dat wil zeggen, we kunnen de ene notatie omzetten naar de andere en zo ordinalen in beide systemen vergelijken en bepalen welke groter is. De sleutel tot deze omzetting is de definitie e0=w^e0. Met behulp hiervan kunnen we de eerste vorm als volgt omzetten in de tweede:

w^w(e0+1) = w^(w*w^e0) = (w^w^e0)^w = (w^e0)^w = e0^w

Hier moeten we even aan wennen, maar w^e0 is slechts e0, terwijl w^(e0+1) > e0. In feite is het nog erger dan dat, want e0 = w^e0 = w^w^e0 = w^w^w^e0 = … enz.

ε0^ε0

epsilon-nul tot de epsilon-nul

Dit is een coole ordinaal. Dit is epsilon-nul verheven tot de epsilon-nul. Wat is dit in de genormaliseerde vorm van Cantor? Laten we eens kijken (onthoud e0=w^e0):

e0^e0 = (w^e0)^e0 = w^(e0*e0) = w^(w^e0*w^e0) = w^w^(2e0)

Raar. Toch lijkt het erop dat de ordinalen na epsilon-nul zich tot nu toe goed gedragen. Wat is echter de limiet van het uitbreiden van e0 met exponentiatie…

ε1

φ(1,1)

epsilon-één

Epsilon-één is de volgende grote stap in de Veblen-vaste-puntenhiërarchie. Epsilon-één kan worden gedefinieerd als de kleinste ordinaal groter dan elke ordinaal die kan worden uitgedrukt met alleen optellen, vermenigvuldigen en exponentiëren op de ordinalen “w” en “e0”. Een manier om het te definiëren is als:

e1 = lim{e0+1,w^(e0+1),w^w^(e0+1),w^w^(e0+1),…}

Nu je dit gezien hebt, kun je waarschijnlijk wel raden wat er nu gebeurt…

ε2

φ(2,1)

epsilon-twee

Epsilon-twee is de limiet van uitdrukkingen met w,e0 en e1:

e2 = lim{e1+1,w^(e1+1),w^w^(e1+1),…}

εw

φ(w,1)

epsilon-omega

Nu we een algemene regel hebben vastgesteld kunnen we doorgaan naar elke ordinale index van epsilon …. inclusief oneindige ordinalen. JIKES …

εw^w

φ(w^w,1)

epsilon-omega-to-the-omega

εe0

φ(φ(0,1),1)

epsilon-epsilon-nul

εe(e0)

φ(φ(0,1),1),1)

epsilon-epsilon-epsilon-nul

εe(e(…

φ(0,2)

Epsilon Limit Ordinal / zeta-minor-naught

Hier bereiken we de limiet van het idee van “Epsilon-nummers”. Deze ordinaal wordt soms zeta-naught genoemd. Ik heb echter vermeden deze notatie hier te gebruiken, omdat ik zeta-naught gereserveerd heb voor de hypothetische ordinaal w^^w. Het is twijfelachtig of deze ordinaal zo groot is. Toch is dit een vrij coole ordinaal. Het is meestal de grootste ordinaal die genoemd wordt in een populaire discussie over Cantor’s transfiniete ordinalen. Dat komt waarschijnlijk omdat we hierna een meer gegeneraliseerd middel moeten ontwikkelen om verder te gaan en het veel minder natuurlijk en meer technisch wordt. De meeste auteurs zouden dit voldoende vinden als inleiding tot de ordinalen van Cantor. Hierna begint het wat academisch te worden…