Opmerkingen over hydrostatische druk

Het basisgeval van een stilstaande vloeistof wordt eerst bekeken, waarbij alleen gewichts- en drukkrachten van belang worden geacht. Er wordt een (x, y, z) coördinatenstelsel gedefinieerd waarbij de verticale z-as naar boven wijst. Hierbij is de absolute druk p per definitie hydrostatisch, dus p=p_{\mathrm{h}}.\) Met $\rho $ de plaatselijke vloeistofdichtheid en g de versnelling van de zwaartekracht, levert een evenwicht van de verticale krachten op een vloeistofelement het bekende resultaat op:

(1)

Het linkerlid is eigenlijk een exacte afgeleide omdat p ook onafhankelijk blijkt te zijn van de horizontale coördinaten. In praktische situaties waarin de vloeistofdichtheid uniform is, levert Eq. (1) op

$$$$

(2)

In dit stadium is \(p_{0}) slechts een integratieconstante die gekoppeld is aan de keuze van de oorsprong van de z-as.

Voor elke ruimte(veld)functie f gedefinieerd in een gesloten volume V begrensd door het oppervlak S, stelt de divergentiestelling van Gauss dat

$$ V=$$$$$$$$$$$$$$$$ {f{\vec {n}};\mathrm{d}}S}, \eind{aligned}$

(3)

waarbij het minteken in het linkerdeel aangeeft dat de normaal \({\vec {n}}}) naar S naar binnen wijst, en \(\nabla f}) de gradiënt van f is.

Bedenk een lichaam met een volume van ${\mathrm{w}}}) dat volledig is ondergedompeld in water (dichtheid \(\rho _{mathrm{w}})$. Wanneer Eq. (3) in dit geval wordt toegepast met (f=p), wordt de verticale (niet nul) component van de hydrostatische drukkracht (F_{\mathrm{w}}) bepaald en verkrijgt men het bekende resultaat van Archimedes: \{F_{\mathrm{w}} = {{\rho _{\mathrm{w}} g{\mathrm{w}}}). Voor drijvende lichamen wordt het ondergedompelde volume ({{\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}}) niet alleen begrensd door het natgemaakte oppervlak ({{\mathrm{w}}}), zoals voorheen, maar ook door het wateroppervlak {{\mathcal {S}}_{0}}}}. Dit suggereert een natuurlijke keuze voor de oorsprong van de z-as aan het wateroppervlak; dienovereenkomstig is \(p_{0}}) de atmosferische druk (op “waterniveau”). De divergentiestelling levert hier

$begin{aligned} {F_{\mathrm{w}}=\rho _{\mathrm{w}}g{\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}+p_{0}{0}} \einde{aligned}$

(4)

Met $p_{0}}) ongeveer een orde van grootte groter dan \(\rho _{\mathrm{w}} g$, lijkt het moeilijk of arbitrair om de term te negeren die ontstaat door drukkrachten die op {0}} zouden worden uitgeoefend (in het algemeen is {0}} geen fysische grens tenzij het lichaam precies drijft op het wateroppervlak). Om dit probleem op te lossen kan ook het droge oppervlak van het lichaam {{\mathcal {S}}_{0}}}}) in aanmerking worden genomen. Met weinig verlies aan algemeenheid kan worden aangenomen dat het lichaam convex is, met een droog volume ({{\mathcal {V}}_{\mathrm{A}}) begrensd door \({{\mathcal {S}}_{\mathrm{A}}) en \({{\mathcal {S}}_{0}}}). In dit geval is het totale volume {\mathrm{w}}={\mathrm{w}} +{\mathrm{A}}}_{\mathrm{A}}}}) zoals in fig. 1 is weergegeven. Zolang de dichtheid van lucht (\rho _athrm{A}) niet veel varieert, kan de luchtdruk worden geschreven als p_athrm{A}=p_0-\rho _athrm{A}gz). De divergentiestelling kan worden toegepast op het droge volume om de verticale drukkracht (F_{\mathrm{A}}) te bepalen die door de lucht op het lichaam wordt uitgeoefend:

$\begin{aligned} {F_\mathrm{A} = {rho _\mathrm{A} g {\mathcal {V}}_\mathrm{A} -p_0{\mathcal {S}}_0} \eind{aligned}$

(5)

Hieruit volgt dat de totale verticale vloeistofkracht F gelijk is aan

$${begin{aligned} {F=g(\rho _{\mathrm{w}}{\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} + \rho _\mathrm{A} {\mathrm{A}}_{\mathrm{A} )} \eind{aligned}$

(6)

Het moment uitgeoefend door vloeistofdrukkrachten om de oorsprong is

$begin{aligned} {\vec {M}}= & {} \{\int} {{S}} \{\int _{S}} {{\int {r}} keer p{\vec {n}}},\mathrm{d}S}} & {} \. \int _{\mathrm{w}}_{\mathrm{w}} } p_{\mathrm{w}} {{\mathrm{d}}} + {{\mathrm{w}}} {{\mathrm{A}}} } {{\vec {r}} keer p_\mathrm{A} {\vec {n}},\mathrm{d}S}, \eind{aligned}$

waarin \({\vec {r}}) de positievector is. Na uitbreiding van de kruisproducten en uitdrukking van de druk via Eq. (2) in zowel water als lucht, is het eenvoudig om aan te tonen dat door toepassing van de divergentiestelling van Gauss alleen integranden die n_{z} bevatten niet-nul termen bijdragen. Meer specifiek verkrijgen we

$begin{aligned} {{\vec {M}}=\rho _{\mathrm{w}} g\int \!\!\int _{\mathrm{w}}}{left( {begin{array}{c} -yz \ xz \ 0 \einde{array}}}rechts) } n_{z},\mathrm{d}S+\rho _{mathrm{A}} g \int _{{mathrm{A}}} } {links( {begin{array}{c} -yz \ xz \ 0 \eind{array}}rechts) }n_{z},\mathrm{d}S} \end{aligned}$

Let $C_{\mathrm{w}}=(x_{\mathrm{w}},y_{\mathrm{w}},z_{\mathrm{w}})$ and $C_\mathrm{A}=(x_\mathrm{A},y_mathrm{A},z_mathrm{A})$ zijn respectievelijk de volumemiddelpunten van \({{mathrm{w}}}) en \({{mathrm{A}}}). Toepassing van Eq. (3) met \(f =yz) en \(f=xz) leidt tot de volgende eindvorm:

$$begin{aligned} {{\vec {M}}=g\left( {begin{array}{c} \rho _{\mathrm{w}} {\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} y_{\mathrm{w}} +\rho _{mathrm{A}} {\mathrm{A} y_{mathrm{A}} -\rho _{\mathrm{w}} {\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} x_{\mathrm{w}} -\rho _{\mathrm{A}} {\mathrm{A}} x_{\mathrm{A}} \\ 0 \eind{array}}rechts) }

(7)

Omdat \rho _{\mathrm{A}} \rho _{\mathrm{w}}), met bijna drie orden van grootte, de termen die voortkomen uit luchtdrukkrachten kan worden verwaarloosd in Eqs. (6) en (7) verwaarloosbaar, zolang ({{\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}}) niet veel groter is dan ${{\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}}}). Hier worden de traditionele hydrostatische formules voor een drijvend lichaam afgeleid zonder enige aanname te doen over \(p_{0},$ maar met een beroep op het feit dat de dichtheid van lucht veel kleiner is dan die van water. In feite komt $p_{0},$ niet expliciet voor in de bovenstaande resultaten. Ook wordt het geval van ondergedompelde lichamen hersteld als we \(\rho _{mathrm{A}= \rho _{mathrm{w}}) stellen in Eqs. (6) en (7).

Met concave drijvende lichamen, waarvoor geldt: {{\mathrm {V}}={\mathrm {V}}_{w}} -{\mathrm {V}}_\mathrm{A}}}, kan een soortgelijke benadering worden gevolgd. Dergelijke geometrieën zijn wellicht meer representatief voor scheepsrompen. De resultaten staan hieronder, maar details zijn weggelaten:

$$$$$$$$$ F= & {} g(\rho _{\mathrm{w}} {\mathcal {V}}_{\mathrm{w}}-\rho _{\mathrm{A} {\mathrm{A}}_{\mathrm{A})\eind{aligned}$

(8)

$${\begin{aligned}} {{\vec {M}}= & {} g( {{\begin{array}{c} \rho _{\mathrm{w}} {\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} y_{\mathrm{w}} -\rho _{mathrm{A}} {\mathrm{A}} y_{mathrm{A}} -\rho _{\mathrm{w}} {\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} x_{\mathrm{w}} + {{\mathrm{A}} {\mathrm{A}} x_{\mathrm{A}} \\ 0 \eend{array}}rechts) \eend{aligned}$

(9)

In wat volgt wordt \(\rho _\mathrm{A}) verwaarloosd, en omdat is aangetoond dat de totale vloeistofkrachten op het lichaam onafhankelijk zijn van \(p_{0}}), kan \(p_{0}}) ook op 0 worden gesteld.

Opgemerkt moet worden dat in veel gangbare leerboeken over scheepsbouwkunde het Archimedesprincipe als uitgangspunt wordt genomen voor de studie van de stabiliteit van schepen, zonder dat de hydrostatische druk expliciet wordt uitgedrukt en de hydrostatische krachten op ondergedompelde of drijvende lichamen worden opgelost (bijv, Gillmer en Jonhson 1982; Lewis 1988; Zubaly 1996; Tupper 2004). Soms wordt \(p_{0}) impliciet op nul gezet zoals in Newman (1977), waar de atmosferische druk formeel in rekening wordt gebracht bij het afleiden van golfpotentialen (b.v. Vergelijking (3), p. 239), maar later wordt weggelaten bij het behandelen van de reacties van lichamen in golven (b.v. Vergelijking (129), p. 289). Andere auteurs erkennen dat \(p_{0}) ook werkt op de bovenbouw van een drijvend lichaam; zij stellen (Molin 2002) of tonen aan op een eenvoudige vorm (Biran 2003) dat \(p_{0}) niet resulteert in enige netto kracht op het gehele lichaam en daarom op nul kan worden gesteld. Semyonov-Tyan-Shansky (1966) is opmerkelijk voor zijn nauwkeurige afleiding van Eq. (8) in het praktische geval van dunne holle drijvende lichamen zoals scheepsrompen \({({\mathcal {V}}_{\mathrm{w}} ={\mathcal {V}}_\mathrm{A} )}), wat leidt tot Vergelijking (4.)17), p. 19.

Wanneer een drijvend lichaam verticaal wordt verplaatst over een afstand Z (zonder de vloeistof te verstoren), verandert de verticale kracht met een hoeveelheid gelijk aan ${\delta F_{\mathrm{w}} = {\rho _{\mathrm{w}} g\delta {\mathrm{w}}} $, waarbij het incrementele (algebraïsche) onderwatervolume {\delta {\mathrm{w}}}}} wordt begrensd door oppervlakken {\mathcal {S}}_{0},{\mathcal {S}}_{1}}}) en {\mathcal {S}}_{\mathrm{ring}}}}), zoals geïllustreerd in Fig. 2. Merk op dat als Z klein is, de integraal van de hydrostatische drukkrachten over {{\mathrm{ring}}}}) van orde Z^{2}} is en kan worden verwaarloosd; in dit geval is de enige niet-nul bijdrage aan de incrementele verticale kracht gelijk aan {\rho _{\mathrm{w}}g{\mathrm{w}}g{\}_{0}Z}}, een bekend resultaat voor de hydrostatische herstelkracht in de gelineariseerde analyse van de beweging van drijvende lichamen. Hoewel deze resultaten nogal voor de hand liggen, werd het geval van verticaal verplaatste drijvende lichamen in een stilstaande vloeistof in de eerste plaats bekeken om aan te tonen dat het effect van een golfveld op de hydrostatische druk fundamenteel verschilt van het effect van de beweging van het lichaam.

Opmerkingen over hydrostatische druk

Geef een reactie Antwoord annuleren

Archief

Meta