Series R, L, and C

Laten we de volgende voorbeeldschakeling eens analyseren:

Voorbeeld serieschakeling van R, L en C.

Oplossen van reactantie

De eerste stap is het bepalen van de reactantie (in ohm) voor de spoel en de condensator.

De volgende stap is het uitdrukken van alle weerstanden en reactanties in een wiskundig gangbare vorm: impedantie. (Onderstaande figuur)

Bedenk dat een inductieve reactantie zich vertaalt in een positieve imaginaire impedantie (of een impedantie bij +90°), terwijl een capacitieve reactantie zich vertaalt in een negatieve imaginaire impedantie (impedantie bij -90°). Weerstand wordt natuurlijk nog steeds beschouwd als een zuiver “echte” impedantie (poolhoek van 0°):

Voorbeeld serieschakeling R, L, en C waarbij de componentwaarden zijn vervangen door impedanties.

Resultaten tabelleren:

Nu alle grootheden van weerstand tegen elektrische stroom zijn uitgedrukt in een gemeenschappelijk, complex getalformaat (als impedanties, en niet als weerstanden of reactanties), kunnen ze op dezelfde manier worden behandeld als gewone weerstanden in een gelijkstroomschakeling.

Dit is het ideale moment om een analysetabel voor deze schakeling op te stellen en alle “gegeven” getallen (totale spanning, en de impedantie van de weerstand, de spoel en de condensator) in te voeren.

Niet anders vermeld, is de bronspanning onze referentie voor de faseverschuiving, en zal dus worden geschreven onder een hoek van 0°. Onthoud dat er niet zoiets bestaat als een “absolute” hoek van faseverschuiving voor een spanning of stroom, omdat het altijd een grootheid is ten opzichte van een andere golfvorm.

Fasehoeken voor impedantie echter (zoals die van de weerstand, de spoel en de condensator) zijn absoluut bekend, omdat de faseverhoudingen tussen spanning en stroom op elke component absoluut gedefinieerd zijn.

Merk op dat ik uitga van een perfect reactieve spoel en condensator, met impedantie-fasehoeken van respectievelijk precies +90 en -90°.

Hoewel echte componenten in dit opzicht niet perfect zullen zijn, zouden ze toch redelijk in de buurt moeten komen. Om het eenvoudig te houden, ga ik in mijn voorbeeldberekeningen uit van perfect reagerende spoelen en condensatoren, tenzij anders vermeld.

Omdat de bovenstaande voorbeeldschakeling een serieschakeling is, weten we dat de totale impedantie van de kring gelijk is aan de som van de individuen, dus:

Invoeren van dit getal voor totale impedantie in onze tabel:

We kunnen nu de wet van Ohm (I=E/R) verticaal in de kolom “Totaal” toepassen om de totale stroom voor deze serieschakeling te vinden:

Aangezien het om een serieschakeling gaat, moet de stroom door alle componenten gelijk zijn. We kunnen dus het getal voor de totale stroomsterkte nemen en dit over de andere kolommen verdelen:

Nu zijn we klaar om de wet van Ohm (E=IZ) toe te passen op elk van de afzonderlijke kolommen in de tabel, om de spanningsval te bepalen:

Merk hier iets vreemds op: hoewel onze voedingsspanning slechts 120 volt is, bedraagt de spanning over de condensator 137.46 volt! Hoe kan dit? Het antwoord ligt in de interactie tussen de inductieve en capacitieve reactanties.

Uitgedrukt als impedanties zien we dat de spoel de stroom tegenwerkt op een manier die precies tegenovergesteld is aan die van de condensator. Uitgedrukt in rechthoekige vorm heeft de impedantie van de spoel een positieve imaginaire term en de condensator een negatieve imaginaire term.

Wanneer deze twee tegengestelde impedanties bij elkaar worden opgeteld (in serie), hebben ze de neiging elkaar op te heffen! Hoewel ze nog steeds bij elkaar worden opgeteld om een som te maken, is die som in feite kleiner dan elk van de afzonderlijke (capacitieve of inductieve) impedanties afzonderlijk.

Het is analoog aan het optellen van een positief en een negatief (scalair) getal: de som is een hoeveelheid kleiner dan de individuele absolute waarde van elk van beide.

Als de totale impedantie in een serieschakeling met zowel inductieve als capacitieve elementen kleiner is dan de impedantie van elk element afzonderlijk, dan moet de totale stroom in die schakeling groter zijn dan wat hij zou zijn met alleen de inductieve of alleen de capacitieve elementen erbij.

Met deze abnormaal hoge stroom door elk van de componenten, kunnen over sommige van de afzonderlijke componenten spanningen worden verkregen die groter zijn dan de bronspanning! Verdere gevolgen van de tegengestelde reactanties van inductoren en condensatoren in dezelfde stroomkring zullen in het volgende hoofdstuk worden onderzocht.

Als je de techniek van het herleiden van alle componentwaarden tot impedanties (Z) eenmaal onder de knie hebt, is het analyseren van een wisselstroomkring nog maar ongeveer even moeilijk als het analyseren van een gelijkstroomkring, behalve dat de behandelde grootheden vectoren zijn in plaats van scalairen.

Met uitzondering van de vergelijkingen die betrekking hebben op vermogen (P), zijn de vergelijkingen in wisselstroomkringen dezelfde als die in gelijkstroomkringen, waarbij impedanties (Z) worden gebruikt in plaats van weerstanden (R). De wet van Ohm (E=IZ) geldt nog steeds, evenals de spannings- en stroomwetten van Kirchhoff.

Om de spanningswet van Kirchhoff in een wisselstroomcircuit te demonstreren, kunnen we kijken naar de antwoorden die we hebben afgeleid voor spanningsverliezen van componenten in het laatste circuit. KVL zegt ons dat de algebraïsche som van de spanningsverliezen over de weerstand, de spoel en de condensator gelijk moet zijn aan de aangelegde spanning van de bron.

Ook al lijkt dit op het eerste gezicht niet waar te zijn, een beetje optellen van complexe getallen bewijst het tegendeel:

Op een beetje afrondingsfout na, is de som van deze spanningsverliezen inderdaad gelijk aan 120 volt. Uitgevoerd op een rekenmachine (met behoud van alle cijfers) zou het antwoord precies 120 + j0 volt moeten zijn.

We kunnen ook SPICE gebruiken om onze cijfers voor deze schakeling te verifiëren:

Voorbeeld serie R, L, en C SPICE-schakeling.

r1 1 2 250 l1 2 3 650m c1 3 0 1.5u .ac lin 1 60 60 .print ac v(1,2) v(2,3) v(3,0) i(v1) .print ac vp(1,2) vp(2,3) vp(3,0) ip(v1) .end freq v(1,2) v(2,3) v(3) i(v1) 6.000E+01 1.943E+01 1.905E+01 1.375E+02 7.773E-02 freq vp(1,2) vp(2,3) vp(3) ip(v1) 6.000E+01 8.068E+01 1.707E+02 -9.320E+00 -9.932E+01 

De SPICE-simulatie laat zien dat onze met de hand berekende resultaten nauwkeurig zijn.

Zoals je ziet is er weinig verschil tussen AC-circuitanalyse en DC-circuitanalyse, behalve dat alle grootheden spanning, stroom, en weerstand (eigenlijk impedantie) in complexe in plaats van scalaire vorm moeten worden behandeld om rekening te houden met de fasehoek.

Dit is een goede zaak, want het betekent dat alles wat je over gelijkstroomcircuits hebt geleerd, ook van toepassing is op wat je hier leert. De enige uitzondering op deze consistentie is de berekening van vermogen, die zo uniek is dat het een hoofdstuk verdient dat alleen aan dat onderwerp is gewijd.

REVIEW:

• Impedanties van welke soort dan ook worden in serie opgeteld: ZTotaal = Z1 + Z2 + . . .
• Hoewel impedanties in serie worden opgeteld, kan de totale impedantie voor een schakeling die zowel inductie als capaciteit bevat minder zijn dan een of meer van de individuele impedanties, omdat serie-inductieve en -capacitieve impedanties de neiging hebben elkaar op te heffen. Dit kan leiden tot spanningsverliezen over componenten die de voedingsspanning overschrijden!
• Alle regels en wetten van DC-schakelingen zijn van toepassing op AC-schakelingen, zolang de waarden worden uitgedrukt in complexe vorm in plaats van een scalair. De enige uitzondering op dit principe is de berekening van vermogen, die voor AC heel anders is.

GERELATEERD WERKBLAD:

• Serie-Parallel Combinatie AC Schakelingen Werkblad