Serie R, L, i C

Przyjrzyjrzyjmy się następującemu przykładowemu obwodowi i przeanalizujmy go:

Przykładowy obwód szeregowy R, L, i C.

Rozwiązywanie reaktancji

Pierwszym krokiem jest określenie reaktancji (w omach) dla cewki i kondensatora.

Kolejnym krokiem jest wyrażenie wszystkich rezystancji i reaktancji w matematycznie wspólnej formie: impedancji. (Rysunek poniżej)

Pamiętajmy, że reaktancja indukcyjna przekłada się na dodatnią impedancję urojoną (lub impedancję pod kątem +90°), podczas gdy reaktancja pojemnościowa przekłada się na ujemną impedancję urojoną (impedancję pod kątem -90°). Rezystancja, oczywiście, jest nadal uważana za czysto „rzeczywistą” impedancję (kąt biegunowy 0°):

Przykładowy obwód szeregowy R, L, i C z wartościami składowych zastąpionymi impedancjami.

Tabela wyników:

Teraz, gdy wszystkie wielkości oporu wobec prądu elektrycznego są wyrażone we wspólnym, złożonym formacie liczbowym (jako impedancje, a nie jako rezystancje lub reaktancje), mogą być traktowane w taki sam sposób jak zwykłe rezystancje w obwodzie prądu stałego.

Jest to idealny moment, aby sporządzić tabelę analizy dla tego obwodu i wstawić wszystkie „dane” liczby (całkowite napięcie, impedancję rezystora, cewki i kondensatora).

Jeśli nie określono inaczej, napięcie źródłowe będzie naszym odniesieniem dla przesunięcia fazowego, a więc będzie zapisane pod kątem 0°. Pamiętaj, że nie ma czegoś takiego jak „absolutny” kąt przesunięcia fazowego dla napięcia lub prądu, ponieważ zawsze jest to wielkość względna w stosunku do innej fali.

Kąty fazowe dla impedancji, jednakże (jak te dla rezystora, cewki i kondensatora), są znane absolutnie, ponieważ relacje fazowe pomiędzy napięciem i prądem na każdym komponencie są absolutnie określone.

Zauważ, że zakładam doskonale reaktywny cewkę i kondensator, z kątami fazowymi impedancji równymi odpowiednio +90 i -90°.

Ale rzeczywiste komponenty nie będą idealne pod tym względem, powinny być dość bliskie. Dla uproszczenia, od teraz w moich przykładowych obliczeniach będę zakładał idealnie reaktywne cewki i kondensatory, chyba że zaznaczono inaczej.

Ponieważ powyższy przykładowy obwód jest obwodem szeregowym, wiemy, że całkowita impedancja obwodu jest równa sumie jednostek, więc:

Wstawiając tę liczbę dla całkowitej impedancji do naszej tabeli:

Możemy teraz zastosować prawo Ohma (I=E/R) pionowo w kolumnie „Total”, aby znaleźć całkowity prąd dla tego obwodu szeregowego:

Będąc obwodem szeregowym, prąd musi być równy przez wszystkie komponenty. Możemy więc wziąć liczbę otrzymaną dla prądu całkowitego i rozdzielić ją na każdą z pozostałych kolumn:

Teraz jesteśmy gotowi zastosować prawo Ohma (E=IZ) do każdej z kolumn poszczególnych komponentów w tabeli, aby wyznaczyć spadki napięcia:

Zauważ coś dziwnego tutaj: chociaż nasze napięcie zasilania wynosi tylko 120 V, to napięcie na kondensatorze wynosi 137.46 V! Jak to możliwe? Odpowiedź leży w interakcji pomiędzy reaktancjami indukcyjną i pojemnościową.

Jako impedancje widzimy, że cewka indukcyjna przeciwstawia się prądowi w sposób dokładnie odwrotny niż kondensator. Wyrażona w postaci prostokątnej impedancja cewki indukcyjnej ma dodatni człon urojony, a kondensatora ujemny człon urojony.

Gdy te dwie przeciwne impedancje zostaną dodane (w szeregu), mają tendencję do znoszenia się nawzajem! Chociaż nadal są dodawane razem, aby wytworzyć sumę, ta suma jest w rzeczywistości mniejsza niż każda z indywidualnych (pojemnościowych lub indukcyjnych) impedancji samodzielnie.

Jest to analogiczne do dodawania razem dodatniej i ujemnej (skalarnej) liczby: suma jest mniejsza niż indywidualna wartość bezwzględna każdej z nich.

Jeżeli całkowita impedancja w obwodzie szeregowym z elementami indukcyjnymi i pojemnościowymi jest mniejsza niż impedancja któregokolwiek z tych elementów osobno, to całkowity prąd w tym obwodzie musi być większy niż ten, który byłby tam tylko z elementami indukcyjnymi lub tylko z elementami pojemnościowymi.

Przy tym nienormalnie wysokim prądzie przez każdy z elementów można uzyskać napięcia większe niż napięcie źródła przez niektóre z poszczególnych elementów! Dalsze konsekwencje przeciwnych reaktancji cewek i kondensatorów w tym samym obwodzie zostaną omówione w następnym rozdziale.

Gdy już opanujesz technikę sprowadzania wartości wszystkich elementów do impedancji (Z), analiza dowolnego obwodu prądu zmiennego jest tak samo trudna jak analiza obwodu prądu stałego, z tą różnicą, że rozpatrywane wielkości są wektorowe, a nie skalarne.

Z wyjątkiem równań dotyczących mocy (P), równania w obwodach AC są takie same jak te w obwodach DC, używając impedancji (Z) zamiast rezystancji (R). Prawo Ohma (E=IZ) nadal obowiązuje, podobnie jak prawa Kirchhoffa dotyczące napięcia i prądu.

Aby zademonstrować prawo Kirchhoffa dotyczące napięcia w obwodzie prądu zmiennego, możemy spojrzeć na odpowiedzi, które uzyskaliśmy dla spadków napięcia składowych w ostatnim obwodzie. Prawo KVL mówi nam, że algebraiczna suma spadków napięć na rezystorze, cewce i kondensatorze powinna być równa przyłożonemu napięciu ze źródła.

Mimo że na pierwszy rzut oka może to nie wyglądać na prawdę, odrobina dodawania liczb zespolonych dowodzi, że jest inaczej:

Oprócz odrobiny błędu zaokrąglenia, suma tych spadków napięć jest równa 120 woltów. Wykonana na kalkulatorze (z zachowaniem wszystkich cyfr), odpowiedź, którą otrzymasz, powinna wynosić dokładnie 120 + j0 woltów.

Możemy również użyć SPICE’a do zweryfikowania naszych danych liczbowych dla tego obwodu:

Przykładowy szeregowy obwód R, L, i C SPICE.

r1 1 2 250 l1 2 3 650m c1 3 0 1.5u .ac lin 1 60 60 .print ac v(1,2) v(2,3) v(3,0) i(v1) .print ac vp(1,2) vp(2,3) vp(3,0) ip(v1) .end freq v(1,2) v(2,3) v(3) i(v1) 6.000E+01 1.943E+01 1.905E+01 1.375E+02 7.773E-02 freq vp(1,2) vp(2,3) vp(3) ip(v1) 6.000E+01 8.068E+01 1.707E+02 -9.320E+00 -9.932E+01 

Symulacja SPICE pokazuje, że nasze ręcznie obliczone wyniki są dokładne.

Jak widać, nie ma dużej różnicy między analizą obwodu AC a analizą obwodu DC, z wyjątkiem tego, że wszystkie wielkości napięcia, prądu i rezystancji (właściwie impedancji) muszą być traktowane w postaci złożonej, a nie skalarnej, aby uwzględnić kąt fazowy.

Jest to dobre, ponieważ oznacza, że wszystko, czego nauczyłeś się o obwodach elektrycznych prądu stałego, ma zastosowanie do tego, czego nauczysz się tutaj. Jedynym wyjątkiem od tej spójności jest obliczanie mocy, które jest tak wyjątkowe, że zasługuje na rozdział poświęcony tylko temu zagadnieniu.

Przegląd:

• Impedancje dowolnego rodzaju dodają się szeregowo: ZTotal = Z1 + Z2 + . . . Zn
• Ale impedancje dodają się szeregowo, całkowita impedancja dla obwodu zawierającego zarówno indukcyjność jak i pojemność może być mniejsza niż jedna lub więcej indywidualnych impedancji, ponieważ impedancje indukcyjne i pojemnościowe mają tendencję do znoszenia się nawzajem. Może to prowadzić do spadków napięcia na komponentach przekraczających napięcie zasilania!
• Wszystkie zasady i prawa obwodów DC mają zastosowanie do obwodów AC, tak długo jak wartości są wyrażone w formie złożonej, a nie skalarnej. Jedynym wyjątkiem od tej zasady jest obliczanie mocy, która jest zupełnie inna dla prądu zmiennego.

POWIĄZANY ZESTAW PRAC:

• Arkusz roboczy dotyczący obwodów prądu zmiennego w połączeniu szeregowo-równoległym

.