Serie R, L und C

Lassen Sie uns die folgende Beispielschaltung nehmen und analysieren:

Beispiel Reihenschaltung R, L und C.

Lösen der Reaktanz

Der erste Schritt besteht darin, die Reaktanz (in Ohm) für die Spule und den Kondensator zu bestimmen.

Der nächste Schritt besteht darin, alle Widerstände und Reaktanzen in einer mathematisch üblichen Form auszudrücken: der Impedanz. (Abbildung unten)

Erinnern Sie sich, dass ein induktiver Blindwiderstand in eine positive imaginäre Impedanz (oder eine Impedanz bei +90°) übersetzt wird, während ein kapazitiver Blindwiderstand in eine negative imaginäre Impedanz (Impedanz bei -90°) übersetzt wird. Der Widerstand wird natürlich weiterhin als rein „reale“ Impedanz (Polarwinkel von 0°) betrachtet:

Beispiel für eine Reihenschaltung von R, L und C, bei der die Werte der Komponenten durch Impedanzen ersetzt werden.

Ergebnisse tabellieren:

Nun, da alle Größen des Widerstands gegen elektrischen Strom in einem gemeinsamen, komplexen Zahlenformat ausgedrückt sind (als Impedanzen und nicht als Widerstände oder Reaktanzen), können sie auf die gleiche Weise behandelt werden wie einfache Widerstände in einem Gleichstromkreis.

Dies ist ein idealer Zeitpunkt, um eine Analysetabelle für diese Schaltung zu erstellen und alle „gegebenen“ Zahlen (Gesamtspannung und die Impedanz des Widerstands, der Induktivität und des Kondensators) einzufügen.

Wenn nicht anders angegeben, ist die Quellenspannung unsere Referenz für die Phasenverschiebung und wird daher mit einem Winkel von 0° geschrieben. Denken Sie daran, dass es so etwas wie einen „absoluten“ Winkel der Phasenverschiebung für eine Spannung oder einen Strom nicht gibt, da es sich immer um eine Größe relativ zu einer anderen Wellenform handelt.

Phasenwinkel für Impedanzen (wie die des Widerstands, der Induktivität und des Kondensators) sind jedoch absolut bekannt, da die Phasenbeziehungen zwischen Spannung und Strom an jeder Komponente absolut definiert sind.

Beachten Sie, dass ich eine perfekt reaktive Induktivität und einen perfekt reaktiven Kondensator mit Impedanz-Phasenwinkeln von genau +90 bzw. -90° annehme.

Auch wenn reale Komponenten in dieser Hinsicht nicht perfekt sind, sollten sie ziemlich nahe dran sein. Der Einfachheit halber werde ich in meinen Beispielrechnungen von nun an von perfekt reaktiven Induktivitäten und Kondensatoren ausgehen, sofern nicht anders angegeben.

Da es sich bei der obigen Beispielschaltung um eine Reihenschaltung handelt, wissen wir, dass die Gesamtimpedanz der Schaltung gleich der Summe der Einzelimpedanzen ist, also:

Einfügen dieser Zahl für die Gesamtimpedanz in unsere Tabelle:

Wir können nun das Ohmsche Gesetz (I=E/R) vertikal in der Spalte „Gesamt“ anwenden, um den Gesamtstrom für diese Reihenschaltung zu finden:

Da es sich um eine Reihenschaltung handelt, muss der Strom durch alle Komponenten gleich sein. Daher können wir die Zahl, die wir für den Gesamtstrom erhalten haben, auf jede der anderen Spalten verteilen:

Nun sind wir bereit, das Ohmsche Gesetz (E=IZ) auf jede der einzelnen Komponentenspalten in der Tabelle anzuwenden, um die Spannungsabfälle zu bestimmen:

Beachten Sie hier etwas Seltsames: Obwohl unsere Versorgungsspannung nur 120 Volt beträgt, ist die Spannung über dem Kondensator 137.46 Volt! Wie kann das sein? Die Antwort liegt in der Wechselwirkung zwischen den induktiven und kapazitiven Reaktanzen.

Ausgedrückt als Impedanz sehen wir, dass die Induktivität dem Strom genau entgegengesetzt zum Kondensator wirkt. In Rechteckform ausgedrückt, hat die Impedanz der Induktivität einen positiven Imaginärteil und der Kondensator einen negativen Imaginärteil.

Wenn diese beiden gegensätzlichen Impedanzen addiert werden (in Reihe), heben sie sich gegenseitig auf! Obwohl sie immer noch addiert werden, um eine Summe zu ergeben, ist diese Summe tatsächlich kleiner als jede der einzelnen (kapazitiven oder induktiven) Impedanzen allein.

Es ist analog zur Addition einer positiven und einer negativen (skalaren) Zahl: Die Summe ist eine Größe, die kleiner ist als der individuelle Absolutwert der beiden.

Wenn die Gesamtimpedanz in einer Reihenschaltung mit sowohl induktiven als auch kapazitiven Elementen kleiner ist als die Impedanz jedes einzelnen Elements, dann muss der Gesamtstrom in dieser Schaltung größer sein, als wenn nur die induktiven oder nur die kapazitiven Elemente vorhanden wären.

Bei diesem ungewöhnlich hohen Strom durch die einzelnen Komponenten können sich an einigen der einzelnen Komponenten Spannungen ergeben, die größer sind als die Quellspannung! Weitere Folgen der gegensätzlichen Reaktanzen von Induktivitäten und Kondensatoren in derselben Schaltung werden im nächsten Kapitel untersucht.

Sobald Sie die Technik beherrschen, alle Komponentenwerte auf Impedanzen (Z) zu reduzieren, ist die Analyse einer Wechselstromschaltung nur etwa so schwierig wie die Analyse einer Gleichstromschaltung, nur dass es sich bei den behandelten Größen um Vektoren statt um Skalare handelt.

Mit Ausnahme der Gleichungen, die sich mit der Leistung (P) befassen, sind die Gleichungen in Wechselstromkreisen die gleichen wie in Gleichstromkreisen, wobei Impedanzen (Z) anstelle von Widerständen (R) verwendet werden. Das Ohm’sche Gesetz (E=IZ) gilt immer noch, ebenso wie die Kirchhoff’schen Spannungs- und Stromgesetze.

Um das Kirchhoff’sche Spannungsgesetz in einem Wechselstromkreis zu demonstrieren, können wir uns die Antworten ansehen, die wir für die Spannungsabfälle der Komponenten im letzten Kreis abgeleitet haben. Das KVL sagt uns, dass die algebraische Summe der Spannungsabfälle über dem Widerstand, der Induktivität und dem Kondensator gleich der von der Quelle angelegten Spannung sein sollte.

Auch wenn dies auf den ersten Blick nicht so aussieht, beweist ein bisschen komplexe Zahlenaddition das Gegenteil:

Abgesehen von einem kleinen Rundungsfehler ist die Summe dieser Spannungsabfälle tatsächlich gleich 120 Volt. Auf einem Taschenrechner ausgeführt (unter Beibehaltung aller Ziffern), sollte die Antwort genau 120 + j0 Volt betragen.

Wir können auch SPICE verwenden, um unsere Zahlen für diese Schaltung zu überprüfen:

Beispiel für eine SPICE-Schaltung der Reihen R, L und C.

r1 1 2 250 l1 2 3 650m c1 3 0 1.5u .ac lin 1 60 60 .print ac v(1,2) v(2,3) v(3,0) i(v1) .print ac vp(1,2) vp(2,3) vp(3,0) ip(v1) .end freq v(1,2) v(2,3) v(3) i(v1) 6.000E+01 1.943E+01 1.905E+01 1.375E+02 7.773E-02 freq vp(1,2) vp(2,3) vp(3) ip(v1) 6.000E+01 8.068E+01 1.707E+02 -9.320E+00 -9.932E+01 

Die SPICE-Simulation zeigt, dass unsere von Hand berechneten Ergebnisse korrekt sind.

Wie Sie sehen, gibt es kaum einen Unterschied zwischen der Analyse von Wechselstromkreisen und Gleichstromkreisen, außer dass alle Größen von Spannung, Strom und Widerstand (eigentlich Impedanz) in komplexer und nicht in skalarer Form behandelt werden müssen, um den Phasenwinkel zu berücksichtigen.

Das ist gut, denn es bedeutet, dass alles, was Sie über elektrische Gleichstromkreise gelernt haben, auf das zutrifft, was Sie hier lernen. Die einzige Ausnahme von dieser Konsistenz ist die Berechnung der Leistung, die so einzigartig ist, dass sie ein eigenes Kapitel verdient.

Rückblick:

• Impedanzen jeglicher Art addieren sich in Reihe: ZTotal = Z1 + Z2 + . . . Zn
• Obwohl sich Impedanzen in Reihe addieren, kann die Gesamtimpedanz für eine Schaltung, die sowohl Induktivität als auch Kapazität enthält, geringer sein als eine oder mehrere der Einzelimpedanzen, weil sich induktive und kapazitive Impedanzen in Reihe gegenseitig aufheben. Dies kann zu Spannungsabfällen über Komponenten führen, die die Versorgungsspannung übersteigen!
• Alle Regeln und Gesetze von Gleichstromkreisen gelten für Wechselstromkreise, solange die Werte in komplexer Form und nicht als Skalar ausgedrückt werden. Die einzige Ausnahme von diesem Prinzip ist die Berechnung der Leistung, die sich bei Wechselstrom stark unterscheidet.

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER:

• Arbeitsblatt Serien-Parallelschaltung von Wechselstromkreisen