Unendliche_Nummern – Große Zahlen

N0

aleph-null

Umgangssprachlich auch als Unendlichkeit bekannt. In Cantors Theorie der Transfinite wird sie als aleph-null bezeichnet, wenn sie als Kardinalzahl behandelt wird, und als Omega, wenn sie als Ordinalzahl behandelt wird. In einem informellen Sinn sind alle diese Begriffe gleich, aber es gibt wichtige technische Unterscheidungen. Die Unendlichkeit bezieht sich in der Infinitesimalrechnung auf eine reale Größe, die unbegrenzt zunimmt. Es ist nicht so sehr eine Zahl, sondern eine Art, das Verhalten einer Grenze auszudrücken. omega bezieht sich auf den Ordnungstyp der Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen. Aleph-null hingegen ist definiert als die Kardinalität der Menge der positiven ganzen Zahlen. Im Klartext: Aleph-null ist die „Zahl“ der Zahlen. Das Problem dabei ist, dass die Menge der positiven ganzen Zahlen alle Dinge repräsentieren soll, die wir zählen wollen. Sie kann jedoch nicht selbst zählen. Ist die „Zahl“ der Zahlen also überhaupt eine Zahl? Cantor dachte so. In gewisser Weise können wir aleph-null wie eine Zahl behandeln, indem wir sie mit anderen Zahlen vergleichen und feststellen können, welche größer ist. Mit Hilfe des Konzepts der Eins-zu-Eins-Korrespondenz zeigte Cantor, dass wir rational sagen können, dass aleph-null größer ist als jede positive ganze Zahl, obwohl die zuvor vorherrschende Weisheit war, dass Unendlichkeit keine Zahl sei und nicht auf diese Weise verglichen werden könne. Aber wenn man diese Ansicht akzeptiert, führt das zu einigen verblüffenden Anomalien. Mit Hilfe der Eins-zu-eins-Korrespondenz können wir zeigen, dass es genauso viele gerade Zahlen, Quadrate, Würfel usw. gibt wie positive ganze Zahlen, obwohl diese alle Teilmengen der positiven ganzen Zahlen sind. Dies verstößt gegen den Grundsatz, dass das „Ganze immer größer ist als jeder richtige Teil des Ganzen“. Aleph-Null ist also eine solche Zahl, dass ein richtiger Teil davon immer noch genauso groß ist… verblüffend. Wenn wir mit endlichen Zahlen arbeiten, verstehen wir implizit die Exklusivität von „größer“ vs. „gleich“. Eine Zahl kann nicht beides sein. Wenn also eine bestimmte Korrespondenz zeigt, dass eine endliche Menge mehr hat als eine andere endliche Menge, wissen wir, dass keine Korrespondenz existieren kann, die zeigt, dass sie gleich sind. Nicht so bei unendlichen Mengen! Selbst wenn wir eine Korrespondenz haben, die zeigt, dass eine Menge größer ist als die andere, bedeutet das nicht notwendigerweise, dass es keine Korrespondenz gibt, die zeigt, dass sie gleich sind. Im Cantor’schen Universum der Kardinalzahlen muss, damit eine Unendlichkeit wirklich größer als eine andere Unendlichkeit ist, gezeigt werden, dass „es KEINE eins-zu-eins-Entsprechungen gibt“. Da es eine unendliche Anzahl solcher Entsprechungen geben muss, ist es nicht möglich, jede einzelne zu überprüfen. Es ist notwendig, einen Beweis zu finden, der die Unmöglichkeit einer solchen Entsprechung zeigt. Man könnte annehmen, dass alle Unendlichkeiten im Wesentlichen gleich sind und in Eins-zu-Eins-Entsprechung zueinander gebracht werden können. Das Erstaunliche, was Cantor jedoch tat, war zu zeigen, dass es Unendlichkeiten gibt, die nicht in eins-zu-eins-Entsprechung mit aleph-null gebracht werden können. So zeigte Cantor, dass es nicht eine Unendlichkeit gibt … sondern eine Unendlichkeit von Unendlichkeiten … (siehe aleph-one). Das ist Cantors Paradies – oder Albtraum, je nach Perspektive.

w+1

omega und eins

Dies ist die kleinste Ordnungszahl nach „omega“. Informell können wir uns dies als Unendlichkeit plus eins vorstellen. Eine Formulierung von Ordinalzahlen ist, sie als Mengen aller kleineren Ordinalzahlen zu behandeln. Um zu sagen, dass „omega und eins“ „größer“ als „omega“ ist, definieren wir „largeness“ so, dass eine Ordinalzahl größer als eine andere ist, wenn die kleinere Ordinalzahl in der Menge der größeren enthalten ist. Die Menge w+1 wäre {w,0,1,2,3,…}. Sie würde aus allen nichtnegativen ganzen Zahlen plus Omega bestehen. Somit ist w+1 nach dieser Definition größer. Da jedoch die Kardinalität jeder Ordinalzahl durch die Kardinalität ihrer Menge repräsentiert wird, können wir auch zeigen, dass in gewissem Sinne w = w+1 ist, da w={0,1,2,3,…} und w+1={w,0,1,2,…} wir die Argumente wie folgt koppeln können: {(0,w),(1,0),(2,1),(3,2),…}, was zeigt, dass beide Mengen die gleiche Anzahl von Elementen haben, auch wenn w+1 ein Element mehr enthält. Verwirrt? Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten, den Vergleich von Unendlichkeiten zu betrachten: die kardinale Sicht und die ordinale Sicht. Nach der ordinalen Sichtweise ist omega und eins größer, nach der kardinalen Sichtweise sind omega und omega plus eins dasselbe. Kardinale spielen in der Googologie keine große Rolle, wohl aber die abzählbaren Ordinale. Für unsere Zwecke ist also die Unterscheidung zwischen w und w+1 wichtig.

w+2

omega und zwei

So wie wir große Zahlen beliebig erweitern können, können wir das auch mit der Ordnungszahl w tun. Stellen Sie sich „w“ einfach als eine SEHR große Zahl vor. Wir können also eins dazu addieren, oder zwei, oder …

2w

zwei Omega

2w+1

zwei Omega und eins

2w+2

zwei Omega und zwei

3w

drei Omega

w2

Omega zum Quadrat

w2+1

Omega zum Quadrat und eins

w2+w

omega zum Quadrat und omega

w2+w+1

omega zum Quadrat, omega und eins

2w2

zwei omega zum Quadrat

w3

Omega kubiert

ww

φ(w,0)

omega zum omega

ww^w

omega zum omega zum omega

ε0

φ(0,1)

epsilon-zero

Cantor gab dieser Ordinalzahl den speziellen Namen epsilon-zero. Was ist das? Es ist die kleinste Ordinalzahl, die größer ist als jede Ordinalzahl, die durch Addition, Multiplikation und Potenzierung mit dem Symbol w „benannt“ werden kann. Mit anderen Worten:

e0 = lim{w,w^w,w^w^w,w^w^w^w,…}

Mit anderen Worten: e0 = w^w^w^w^…, wobei es omega w’s gibt. Es kann als die kleinste Ordnungszahl „a“ definiert werden, so dass a=w^a. Dies impliziert, dass e0=w^e0. Seltsam. Es ist auch gleich phi(0,1) in der Veblen-Fixpunkthierarchie.

Informell kann man es sich als eine unendliche Potenz der Unendlichkeiten vorstellen! Man kann sie auch informell als w^^w bezeichnen.

Diese Ordnungszahl ist für uns tatsächlich wichtig, da sie die Größe von Jonathan Bowers‘ tetrationalen Arrays darstellt. Nicht nur, dass Bowers‘ tetrationale Arrays eine exakte Arität von Epsilon-Zero haben (ein tetrationales Array ist wohldefiniert, solange nur eine endliche Anzahl von Einträgen größer als 1 ist. Der Rest ist standardmäßig alle gleich 1. Wenn wir die Ordnungszahlen verwenden, um alle Einträge im tetrationalen Raum zu zählen, gibt es genau epsilon-zero Einträge), aber die Funktion epsilon-zero der schnell wachsenden Hierarchie hat eine äquivalente Wachstumsrate zu tetrationalen Arrays. Epsilon-zero stellt auch eine wichtige Sackgasse dar. Bis zu diesem Punkt ist die Notation ziemlich natürlich, und es gibt im Grunde eine universelle Übereinstimmung darüber, wie man Ordinalzahlen kleiner als epsilon-zero „benennt“ und wie man bestimmt, welche von zwei solchen Ordinalzahlen größer ist. Bei Epsilon-Zero beginnen wir jedoch, auf Probleme zu stoßen. Es gibt mindestens zwei verschiedene Möglichkeiten, Ordinalzahlen weiter zu benennen, und bestimmte Ausdrücke sind schwer zu interpretieren, wie z. B. w^^(w+1). Tatsache ist, dass wir ab diesem Punkt gezwungen sind, bestimmte Entscheidungen bezüglich der Notation zu treffen, und keine davon folgt so natürlich wie bis zu Epsilon-Zero. Es gibt jedoch eine weithin anerkannte Erweiterung, die als Veblen-Hierarchie bekannt ist. Leider ist diese Erweiterung radikal anders als Bowers‘ eigene Erweiterung zu pentationalen Ordinalzahlen und darüber hinaus. Es ist eine offene Frage, wie man von Bowers‘ Ordinalzahlen zu Veblen-Ordinalzahlen konvertiert.

ε0+1

Epsilon-Null und Eins

Was ist so schwer daran, weiterzumachen… fügen Sie einfach eins hinzu. Nun, natürlich können wir im System der Ordinalzahlen immer eins hinzufügen, genau wie wir es mit endlichen Zahlen tun (das legt nahe, dass es KEINE größte Ordinalzahl gibt, genau wie es keine größte ganze Zahl gibt). Das Problem ist nicht so sehr das Hinzufügen von eins. Es geht darum, was passiert, wenn wir weitergehen…

w^(ε0+1) / w*ε0

omega zur Epsilon-Null und eins / omega Epsilon-Null

Hier stoßen wir auf eines unserer ersten Probleme, wenn auch zugegebenermaßen ziemlich klein. Es gibt mehr als eine mögliche Ordnungsschreibweise, die wir verwenden könnten. In der ersten Version bauen wir auf einen Stapel von Omegas, in der zweiten auf einen Stapel von Epsilon-Nullen. Sie werden sehen, was ich meine, wenn wir fortfahren

w^w^(ε0+1) / ε0^w

omega zum omega zum epsilon-Null und Eins / Epsilon-Zero zum Omega

Trotz der Tatsache, dass wir mindestens zwei verschiedene Möglichkeiten haben, Ordnungszahlen nach Epsilon-Zero zu schreiben, ist die gute Nachricht, dass es bis zu diesem Punkt nicht allzu schwierig ist, eine Korrespondenz zwischen ihnen herzustellen. Das heißt, wir können die eine Notation in die andere umwandeln und so die Ordnungszahlen in beiden Systemen vergleichen und feststellen, welche größer ist. Der Schlüssel zu dieser Umrechnung ist die Definition e0=w^e0. Mit dieser können wir die erste Form wie folgt in die zweite umwandeln:

w^w^(e0+1) = w^(w*w^e0) = (w^w^e0)^w = (w^e0)^w = e0^w

Das ist etwas gewöhnungsbedürftig, aber w^e0 ist einfach e0, während w^(e0+1) > e0 ist. Tatsächlich ist es noch schlimmer, denn e0 = w^e0 = w^w^e0 = w^w^w^e0 = … usw.

ε0^ε0

Epsilon-Null zur Epsilon-Null

Das ist eine coole Ordinalzahl. Das ist Epsilon-Zero erhöht auf die Epsilon-Zero. Was ist das in der Cantor-normalisierten Form? Schauen wir mal (erinnern Sie sich an e0=w^e0):

e0^e0 = (w^e0)^e0 = w^(e0*e0) = w^(w^e0*w^e0) = w^w^(2e0)

Merkwürdig. Trotzdem scheint es, als ob die Ordnungszahlen nach epsilon-zero sich bisher gut verhalten. Was ist allerdings die Grenze der Erweiterung von e0 mittels Potenzierung…

ε1

φ(1,1)

Epsilon-eins

Epsilon-eins ist der nächste große Schritt in der Veblen-Fixpunkt-Hierarchie. Epsilon-one kann definiert werden als die kleinste Ordinalzahl, die größer ist als jede Ordinalzahl, die nur durch Addition, Multiplikation und Potenzierung auf den Ordinalzahlen „w“ und „e0“ ausgedrückt werden kann. Eine Möglichkeit, es zu definieren, ist:

e1 = lim{e0+1,w^(e0+1),w^w^(e0+1),w^w^w^(e0+1),…}

Jetzt, wo Sie das gesehen haben, können Sie wahrscheinlich erraten, was als nächstes passiert…

ε2

φ(2,1)

epsilon-two

Epsilon-two ist der Grenzwert der Ausdrücke mit w,e0 und e1:

e2 = lim{e1+1,w^(e1+1),w^w^(e1+1),…}

εw

φ(w,1)

epsilon-omega

Nachdem wir nun eine allgemeine Regel aufgestellt haben, können wir zu jedem Ordinalindex von epsilon übergehen…. einschließlich unendlicher Ordnungszahlen. YIKES …

εw^w

φ(w^w,1)

epsilon-omega-to-the-omega

εe0

φ(φ(0,1),1)

epsilon-epsilon-zero

εe(e0)

φ(φ(0,1),1),1)

epsilon-epsilon-epsilon-zero

εe(e(e(…

φ(0,2)

Epsilon-Grenzordinale / zeta-minor-naught

Hier erreichen wir die Grenze der Idee der „Epsilon-Zahlen“. Diese Ordnungszahl wird manchmal auch als Zeta-Zahl bezeichnet. Ich habe es jedoch vermieden, diese Notation hier zu verwenden, weil ich zeta-naught für das hypothetische Ordinal w^^^w reserviert habe. Es ist zweifelhaft, dass dieses Ordinal so groß ist. Trotzdem ist dies ein ziemlich cooles Ordinal. Es ist normalerweise das größte Ordinal, das in einer populären Diskussion über Cantors transfinite Ordinale erwähnt wird. Das liegt wahrscheinlich daran, dass wir danach ein verallgemeinertes Mittel für die Fortsetzung entwickeln müssen, und es wird weit weniger natürlich und mehr technisch. Die meisten Autoren würden dies als Einführung in Cantors Ordinalzahlen für ausreichend halten. Danach beginnt es etwas akademisch zu werden…