AP Calculus Review: Newton’s Method
Wenn wir versuchen, die Wurzeln einer Funktion zu finden, sind die algebraischen Methoden, die wir in früheren Mathekursen gelernt haben, entweder mühsam oder unmöglich. Mit der Newtonschen Methode können wir dies überwinden. Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, die Wurzeln von f(x) = x4 – 3×2 + 2x – 1 zu finden. Wir wissen, dass die Gleichung entweder 0, 2 oder 4 reelle Wurzeln hat, obwohl dies beim bloßen Betrachten nicht offensichtlich wäre.
Der Graph zeigt uns, dass die Gleichung tatsächlich 2 Wurzeln hat, aber wir sind uns immer noch nicht sicher, welche diese Wurzeln sind (obwohl unser graphischer Rechner dies für uns lösen kann; siehe unseren Beitrag über Taschenrechnerstrategien für die AP Calculus-Prüfung für mehr).
Die Newton-Methode ist eine iterative Methode, um ungefähre Wurzeln von Gleichungen zu finden.
Die Newton-Methode liefert normalerweise nicht die exakte Antwort, aber sie erlaubt uns, sehr genaue Näherungen zu finden. Die erste Voraussetzung für die Newton-Methode ist, dass wir die Ableitung der Funktion kennen.
Lassen Sie uns ein Beispiel durchgehen, um zu zeigen, woher die Newton-Methode kommt.
Erster Schritt: Stellen Sie eine zufällige Vermutung darüber an, was die Wurzel sein könnte. Lassen Sie uns x = 2 für diese erste Vermutung wählen. Wir nennen dies x0. Abhängig von unserer ersten Vermutung findet unsere Methode die erste oder die zweite Wurzel.
Zweiter Schritt: Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die die Kurve im Punkt x0 tangiert.
Beachten Sie, dass unsere Tangentengerade eine eigene Wurzel hat, die nahe an der Wurzel unserer ursprünglichen Gleichung liegt. Es ist einfach, die Wurzel einer linearen Funktion zu finden. Wenn wir die Wurzel aus y = 22x-37 nehmen, erhalten wir 37/22, was ungefähr 1,682 ist. Das ist keine perfekte Annäherung, aber es ist nahe dran. Wenn wir diese ganze Methode wiederholen würden, indem wir x = 1,682 statt x = 2 verwenden, würden wir eine noch genauere Annäherung erhalten.
Nun gibt es eine schnelle Formel, die Sie ableiten können, die uns unsere Folge von immer genaueren Annäherungen liefert.
Wenn wir x0 = 2 einsetzen, erhalten wir x1 = 1.682, genau das, was wir oben gefunden haben. Wenn wir das ein paar Mal machen, sehen wir, dass wir unserer Wurzel immer näher kommen:
x0 = 1,682
x1 = 1,51
x2 = 1,454
x3 = 1,448
Jeder Schritt bringt uns näher und näher an die Wurzel. In diesem Beispiel werden wir nie perfekt dorthin gelangen, aber innerhalb von 4 Schritten sind wir innerhalb von 0,001. Ein paar Schritte mehr und wir wären bis auf ein Millionstel an der richtigen Antwort dran.
Die Newton-Methode ist eine extrem effiziente Methode, um ungefähre Wurzeln von Gleichungen zu finden. Sie funktioniert auch, wenn die Gleichung unglaublich kompliziert ist oder es unmöglich oder schwierig wäre, algebraisch exakte Wurzeln zu finden. Sie liefert selten eine exakte, korrekte Antwort, ermöglicht es uns aber, sehr nahe heranzukommen. Numerische Methoden, wie z. B. die Newton-Methode, zum Finden von Wurzeln sind die Art und Weise, wie viele Computerprogramme (einschließlich vieler grafischer Rechner) Antworten auf Gleichungen finden. Die Voraussetzung für die Newton-Methode ist, dass Sie die Ableitung der Funktion kennen.
Nun lassen Sie uns üben:
Nehmen Sie f(x) = x2 – 9. Sie wissen, dass die Antwort auf diese Gleichung +/- 3 ist. Versuchen Sie die Newton-Methode mit dieser Gleichung, um zu sehen, wie viele Iterationen nötig sind, um bis auf ein paar Tausend an die richtige Antwort heranzukommen.
Verbessern Sie Ihr SAT- oder ACT-Ergebnis, garantiert. Starten Sie noch heute Ihre 1 Woche kostenlose Testversion von Magoosh SAT Prep oder Ihre 1 Woche kostenlose Testversion von Magoosh ACT Prep!
