AP Calculus Review: Newton’s Method

Często, gdy próbujemy znaleźć korzenie funkcji, algebraiczne metody, których nauczyliśmy się we wcześniejszych klasach matematyki są albo żmudne, albo niemożliwe. Metoda Newtona pozwala nam przezwyciężyć ten problem. Wyobraźmy sobie, że próbujemy znaleźć korzenie funkcji f(x) = x4 – 3×2 + 2x – 1. Wiemy, że to równanie ma albo 0, albo 2, albo 4 korzenie rzeczywiste, choć patrząc tylko na nie, nie byłoby to oczywiste.

Wykres pokazuje nam, że równanie rzeczywiście ma 2 korzenie, ale nadal nie jesteśmy pewni, jakie są te korzenie (chociaż nasz kalkulator graficzny może rozwiązać to za nas; Zobacz nasz post na Strategie kalkulatora dla egzaminu AP Calculus dla więcej).

Metoda Newtona jest iteracyjną metodą znajdowania przybliżonych korzeni równań.

Metoda Newtona zazwyczaj nie daje dokładnej odpowiedzi, ale pozwoli nam znaleźć bardzo dokładne przybliżenia. Podstawowym wymaganiem metody Newtona jest znajomość pochodnej funkcji.

Przejrzyjmy przykład, aby pokazać, skąd się wzięła metoda Newtona.

Pierwszy krok: Podejmij losowe przypuszczenie, jaki może być korzeń. Wybierzmy x = 2 dla tego pierwszego przypuszczenia. Nazwiemy to x0. W zależności od naszego początkowego przypuszczenia, nasza metoda może znaleźć pierwszy lub drugi korzeń.

Drugi krok: Znajdź równanie prostej stycznej do krzywej w punkcie x0.

Zauważ, że nasza linia styczna ma swój pierwiastek w pobliżu pierwiastka naszego oryginalnego równania. Łatwo jest znaleźć pierwiastek funkcji liniowej. Jeśli weźmiemy pierwiastek z y = 22x-37, otrzymamy 37/22, co wynosi około 1,682. Nie jest to idealne przybliżenie, ale jest bliskie. Gdybyśmy powtórzyli całą tę metodę, używając x = 1,682 zamiast x =2, otrzymalibyśmy jeszcze dokładniejsze przybliżenie.

Jest teraz szybki wzór, który można wyprowadzić, a który daje nam sekwencję coraz dokładniejszych przybliżeń.

Podłączając x0 = 2, otrzymujemy x1 = 1,682, czyli dokładnie to, co znaleźliśmy powyżej. Jeśli zrobimy to kilka razy, zobaczymy, że coraz bardziej zbliżamy się do naszego korzenia:

x0 = 1,682
x1 = 1,51
x2 = 1,454
x3 = 1,448

Każdy krok przybliża nas coraz bardziej do korzenia. W tym przykładzie nigdy nie uda nam się osiągnąć idealnego wyniku, ale w ciągu 4 kroków znaleźliśmy się w granicach 0,001. Jeszcze kilka kroków i bylibyśmy w granicach milionowych części poprawnej odpowiedzi.

Metoda Newtona jest niezwykle skutecznym sposobem znajdowania przybliżonych pierwiastków równań. Działa nawet jeśli równanie jest niewiarygodnie skomplikowane lub byłoby niemożliwe lub trudne do algebraicznego znalezienia dokładnych korzeni. Rzadko udaje się uzyskać dokładną poprawną odpowiedź, ale pozwala nam się do niej zbliżyć. Metody numeryczne, takie jak Metoda Newtona, do znajdowania korzeni są sposobem, w jaki wiele programów komputerowych (w tym wiele kalkulatorów graficznych) znajduje odpowiedzi na równania. Warunkiem zastosowania Metody Newtona jest znajomość pochodnej funkcji.

Teraz poćwiczmy:

Przyjmijmy f(x) = x2 – 9. Wiesz, że odpowiedź na to równanie to +/- 3. Wypróbuj Metodę Newtona z tym równaniem, aby zobaczyć, ile iteracji potrzeba, aby dostać się w granicach kilku tysięcy od poprawnej odpowiedzi.

Popraw swój wynik SAT lub ACT, gwarantowane. Rozpocznij tygodniowy bezpłatny okres próbny programu Magoosh SAT Prep lub tygodniowy bezpłatny okres próbny programu Magoosh ACT Prep już dziś!