AP Calculus Review: Metodo di Newton
Spesso quando cerchiamo di trovare le radici di una funzione, i metodi algebrici che abbiamo imparato nelle precedenti lezioni di matematica sono noiosi o impossibili. Il metodo di Newton ci permette di superare questo problema. Immaginate di cercare di trovare le radici di f(x) = x4 – 3×2 + 2x – 1. Sappiamo che l’equazione ha 0, 2 o 4 radici reali, anche se solo guardandola, questo non sarebbe ovvio.
Il grafico ci mostra che l’equazione ha effettivamente 2 radici, ma non siamo ancora sicuri di quali siano queste radici (sebbene la nostra calcolatrice grafica possa risolverlo per noi; vedi il nostro post sulle strategie della calcolatrice per l’esame AP Calculus per saperne di più).
Il metodo di Newton è un metodo iterativo per trovare le radici approssimate delle equazioni.
Il metodo di Newton di solito non dà la risposta esatta, ma ci permetterà di trovare approssimazioni molto precise. Il primo requisito del Metodo di Newton è che conosciamo la derivata della funzione.
Passiamo attraverso un esempio per mostrare da dove viene il Metodo di Newton.
Prima fase: Indovinate a caso quale potrebbe essere la radice. Scegliamo x = 2 per questa prima ipotesi. Chiameremo questo x0. A seconda della nostra ipotesi iniziale, il nostro metodo potrebbe trovare la prima o la seconda radice.
Secondo passo: Trovare l’equazione di una linea tangente alla curva nel punto x0.
Nota che la nostra linea tangente ha la sua radice vicino alla radice della nostra equazione originale. È facile trovare la radice di una funzione lineare. Se prendiamo la radice di y = 22x-37, otteniamo 37/22, che è circa 1,682. Questa non è un’approssimazione perfetta, ma è vicina. Se dovessimo ripetere l’intero metodo, usando x = 1,682 invece di x =2, otterremmo un’approssimazione ancora più vicina.
Ora c’è una formula veloce che si può derivare che ci dà la nostra sequenza di approssimazioni sempre più accurate.
Infilando x0 = 2, otteniamo x1 = 1,682, esattamente quello che abbiamo trovato sopra. Se facciamo questo un po’ di volte, vediamo che ci avviciniamo sempre più alla nostra radice:
x0 = 1,682
x1 = 1,51
x2 = 1,454
x3 = 1,448
Ogni passo ci porta sempre più vicino alla radice. Non ci arriveremo mai perfettamente in questo esempio, ma entro 4 passi, siamo entro .001. Qualche altro passo e saremmo a pochi milionesimi dalla risposta corretta.
Il metodo di Newton è un modo estremamente efficiente di trovare le radici approssimative delle equazioni. Funziona anche se l’equazione è incredibilmente complicata o sarebbe impossibile o difficile trovare algebricamente le radici esatte. Raramente ottiene una risposta esatta, ma ci permette di andarci molto vicino. I metodi numerici, come il Metodo di Newton, per trovare le radici sono il modo in cui molti programmi per computer (comprese molte calcolatrici grafiche) trovano le risposte alle equazioni. Il requisito per il Metodo di Newton è che tu conosca la derivata della funzione.
Ora facciamo pratica:
Prendiamo f(x) = x2 – 9. Sai che la risposta a questa equazione è +/- 3. Prova il metodo di Newton con questa equazione per vedere quante iterazioni ci vogliono per arrivare entro poche migliaia dalla risposta corretta.
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