Differentialgleichungen

Im späten 17. Jahrhundert untersuchte der britische Wissenschaftler Isaac Newton die Abkühlung von Körpern. Experimente zeigten, dass die Abkühlungsrate ungefähr proportional zur Temperaturdifferenz zwischen dem erhitzten Körper und der Umgebung ist. Diese Tatsache kann als Differentialgleichung geschrieben werden:

Als \(Q = CT,\) wobei \(C\) die Wärmekapazität des Körpers ist, können wir schreiben:

Die gegebene Differentialgleichung hat die Lösung in der Form:

wobei \({T_0}\) die Anfangstemperatur des Körpers bezeichnet.

Gelöste Probleme

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Lösung.

Zunächst lösen wir dieses Problem für eine beliebige Umgebungstemperatur und bestimmen dann die endgültige Temperatur des Körpers, wenn die Umgebungstemperatur \(0^\circ.\)

Am Ende der ersten Stunde hat sich der Körper auf \(100^\circ.\) Daher können wir die folgende Beziehung schreiben:

Nach der \(2\)ten Stunde wird die Temperatur des Körpers gleich \(X\) Grad:

Damit erhalten wir das System aus zwei Gleichungen mit drei Unbekannten: \({T_S},\) und \(X:\)

Damit hat die Abhängigkeit \(X\links( {{T_S}} \rechts)\) die Form:

Wenn beispielsweise die Umgebungstemperatur null Grad beträgt, ist die Körpertemperatur \(X\) in \(2\) Stunden gleich

Im gegebenen Beispiel hängt der Wert von \(X\) von \({T_S}}) ab, wie in Abbildung \(2.\)