Equazioni differenziali

Nella fine del \(17)º secolo lo scienziato inglese Isaac Newton studiò il raffreddamento dei corpi. Gli esperimenti dimostrarono che la velocità di raffreddamento è approssimativamente proporzionale alla differenza di temperatura tra il corpo riscaldato e l’ambiente. Questo fatto può essere scritto come la relazione differenziale:

Come \(Q = CT,\) dove \(C\) è la capacità termica del corpo, possiamo scrivere:

L’equazione differenziale data ha la soluzione nella forma:

dove \({T_0}\ indica la temperatura iniziale del corpo.

Problemi risolti

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Soluzione.

Prima di tutto, risolviamo questo problema per una temperatura ambiente arbitraria e poi determiniamo la temperatura finale del corpo quando la temperatura dell’ambiente circostante è \(0^\circa.\)

Al termine della prima ora il corpo si è raffreddato a \(100^\circa.

Pertanto, possiamo scrivere la seguente relazione:

Dopo \(2\)ª ora la temperatura del corpo diventa uguale a \(X\) gradi:

Così, si ottiene il sistema di due equazioni con tre incognite: \({T_S},\) \(k\) e \(X:\)

Quindi,

Quindi la dipendenza \(X\left( {{T_S}} \right)\) ha la forma:

Se, per esempio, la temperatura dell’ambiente circostante è di zero gradi, la temperatura del corpo \(X\) in \(2\) ore sarà

Nell’esempio dato il valore di \(X\) dipende da \({T_S}\ come mostrato nella figura \(2.\(2.)