Ecuaciones Diferenciales
A finales del siglo XVII el científico británico Isaac Newton estudió el enfriamiento de los cuerpos. Los experimentos demostraron que la velocidad de enfriamiento es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo calentado y el entorno. Este hecho puede escribirse como la relación diferencial:
Como \(Q = CT,\) donde \(C\) es la capacidad calorífica del cuerpo, podemos escribir:
La ecuación diferencial dada tiene la solución en la forma:
donde \({T_0}\) denota la temperatura inicial del cuerpo.
Problemas resueltos
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Solución.
Primero, resolvemos este problema para una temperatura ambiental arbitraria y luego determinamos la temperatura final del cuerpo cuando la temperatura del ambiente es \N(0^\c.\c)
Al final de la primera hora el cuerpo se ha enfriado a \N(100^\c.\) Por lo tanto, podemos escribir la siguiente relación:
Después de \(2\)ª hora la temperatura del cuerpo se hace igual a \(X\) grados:
Así, obtenemos el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas: \({T_S},\) \(k\) y \(X:\)
Por lo tanto,
La dependencia \(X\left( {{T_S}} \ right)\Ntiene la forma:
Si, por ejemplo, la temperatura del ambiente circundante es de cero grados, la temperatura del cuerpo \(X\) en \(2\) horas será
En el ejemplo dado el valor de \(X\) depende de \({T_S}\) como se muestra en la figura \(2.\)
