Conjunto de potencias
Un conjunto puede considerarse como un álgebra que no tiene operaciones no triviales ni ecuaciones definitorias. Desde esta perspectiva, la idea del conjunto de potencias de X como el conjunto de subconjuntos de X se generaliza naturalmente a las subálgebras de una estructura algebraica o álgebra.
El conjunto de potencias de un conjunto, cuando se ordena por inclusión, es siempre un álgebra booleana atómica completa, y toda álgebra booleana atómica completa surge como el entramado de todos los subconjuntos de algún conjunto. La generalización a las álgebras arbitrarias es que el conjunto de subálgebras de un álgebra, de nuevo ordenado por inclusión, es siempre un entramado algebraico, y todo entramado algebraico surge como el entramado de subálgebras de alguna álgebra. Así que en ese sentido, las subálgebras se comportan de forma análoga a los subconjuntos.
Sin embargo, hay dos propiedades importantes de los subconjuntos que no se trasladan a las subálgebras en general. En primer lugar, aunque los subconjuntos de un conjunto forman un conjunto (además de un entramado), en algunas clases puede no ser posible organizar las subálgebras de un álgebra como un álgebra en sí misma en esa clase, aunque siempre se pueden organizar como un entramado. En segundo lugar, mientras que los subconjuntos de un conjunto están en biyección con las funciones de ese conjunto al conjunto {0,1} = 2, no hay garantía de que una clase de álgebras contenga un álgebra que pueda desempeñar el papel de 2 de esta manera.
Ciertas clases de álgebras disfrutan de estas dos propiedades. La primera propiedad es más común, el caso de tener ambas es relativamente raro. Una clase que sí tiene ambas es la de los multigrafos. Dados dos multigrafos G y H, un homomorfismo h: G → H consiste en dos funciones, una que mapea vértices a vértices y la otra que mapea aristas a aristas. El conjunto HG de homomorfismos de G a H puede entonces organizarse como el grafo cuyos vértices y aristas son respectivamente las funciones de vértice y arista que aparecen en ese conjunto. Además, los subgrafos de un multigrafo G están en biyección con los homomorfismos del grafo desde G al multigrafo Ω definible como el grafo dirigido completo sobre dos vértices (por tanto, cuatro aristas, a saber, dos bucles propios y dos aristas más que forman un ciclo) aumentado con una quinta arista, a saber, un segundo bucle propio en uno de los vértices. Por lo tanto, podemos organizar los subgrafos de G como el multigrafo ΩG, llamado objeto potencia de G.
Lo que tiene de especial un multigrafo como álgebra es que sus operaciones son unarias. Un multigrafo tiene dos clases de elementos que forman un conjunto V de vértices y E de aristas, y tiene dos operaciones unarias s,t: E → V que dan los vértices origen (inicio) y destino (final) de cada arista. Un álgebra cuyas operaciones son unarias se llama preforma. Toda clase de presheaf contiene un presheaf Ω que juega para las subálgebras el papel que 2 juega para los subconjuntos. Tal clase es un caso especial de la noción más general de topos elementales como una categoría que es cerrada (y además cartesianamente cerrada) y tiene un objeto Ω, llamado subobjeto clasificador. Aunque el término «objeto potencia» se utiliza a veces como sinónimo de objeto exponencial YX, en la teoría de los topos se requiere que Y sea Ω.