Machtsverzameling
Een verzameling kan worden beschouwd als een algebra die geen niet-triviale operaties of definiërende vergelijkingen heeft. Vanuit dit perspectief generaliseert het idee van de machtverzameling van X als de verzameling deelverzamelingen van X op natuurlijke wijze naar de deelalgebra’s van een algebraïsche structuur of algebra.
De machtverzameling van een verzameling is, wanneer geordend door inclusie, altijd een volledige atomaire Booleaanse algebra, en elke volledige atomaire Booleaanse algebra ontstaat als het rooster van alle deelverzamelingen van een verzameling. De veralgemening naar willekeurige algebra’s is dat de verzameling van subalgebra’s van een algebra, ook weer geordend door inclusie, altijd een algebraïsch rooster is, en elk algebraïsch rooster ontstaat als het rooster van subalgebra’s van een of andere algebra. In dat opzicht gedragen subalgebra’s zich dus analoog aan deelverzamelingen.
Echter, er zijn twee belangrijke eigenschappen van deelverzamelingen die niet overgaan op subalgebra’s in het algemeen. Ten eerste, hoewel de deelverzamelingen van een verzameling een verzameling vormen (evenals een rooster), kan het in sommige klassen niet mogelijk zijn om de deelalgebra’s van een algebra te organiseren als zelf een algebra in die klasse, hoewel ze altijd kunnen worden georganiseerd als een rooster. Ten tweede, terwijl de deelverzamelingen van een verzameling in bijectie zijn met de functies van die verzameling naar de verzameling {0,1} = 2, is er geen garantie dat een klasse van algebra’s een algebra bevat die op deze manier de rol van 2 kan spelen.
Zekere klassen van algebra’s genieten beide van deze eigenschappen. De eerste eigenschap komt vaker voor, het geval dat ze beide hebben is betrekkelijk zeldzaam. Een klasse die beide heeft is die van de multigrafische algebra’s. Gegeven twee multigrafieën G en H, bestaat een homomorfisme h: G → H bestaat uit twee functies, één die hoekpunten met hoekpunten verbindt, de andere die ribben met ribben verbindt. De verzameling HG van homomorfismen van G naar H kan dan worden georganiseerd als de grafiek waarvan de hoekpunten en ribben respectievelijk de hoekpunt- en randfuncties zijn die in die verzameling voorkomen. Bovendien zijn de deelgrafieken van een multigrafiek G in bijectie met de grafiekhomomorfismen van G naar de multigrafiek Ω definieerbaar als de volledige gerichte grafiek op twee hoekpunten (dus vier ribben, namelijk twee zelflussen en nog twee ribben die een cyclus vormen) vermeerderd met een vijfde rand, namelijk een tweede zelflus op één van de hoekpunten. We kunnen dus de deelgrafieken van G ordenen als de multigraaf ΩG, die het machtsobject van G wordt genoemd.
Het bijzondere van een multigraaf als algebra is dat de operaties unair zijn. Een multigraf heeft twee soorten elementen, die een verzameling V van hoekpunten en E van ribben vormen, en heeft twee unaire operaties s,t: E → V die de bron- (begin-) en doel- (eind-) hoekpunten van elke rand geven. Een algebra waarvan alle operaties unair zijn heet een presheaf. Elke klasse van presheaves bevat een presheaf Ω die voor subalgebra’s de rol speelt die 2 speelt voor deelverzamelingen. Zo’n klasse is een speciaal geval van het meer algemene begrip elementaire topos als een categorie die gesloten is (en bovendien cartesisch gesloten) en een object Ω heeft, dat een machtsobject wordt genoemd. Hoewel de term “machtsobject” soms synoniem wordt gebruikt met exponentieel object YX, is in de topos-theorie vereist dat Y Ω is.